初中数学建模教学方法的策略研究

[摘  要] 开展数学建模教学在激发学生浓厚的数学学习兴趣，培养学生分析问题和解决问题的能力，提高学生的应用意识和创新意识等方面发挥着重要的作用. 在初中数学教学中，教师要不断强化自身的模型观念，创造机会让学生亲历数学建模的全过程，由此逐步培养学生的数学建模能力，提高学生的综合能力和综合素养.

[关键词] 数学建模教学;综合能力;综合素养

数学建模是数学核心素养的主要内容之一，也是培养学生应用数学的有效途径和重要手段之一，还是学生体会和理解数学与观察世界的基本途径[1]. 在初中数学教学中，教师应重视引导学生经历数学模型抽象、应用等过程，让学生在学数学、做数学、用数学的过程中获得可以持续学习的能力和素养，培养其应用数学的能力和创新意识. 在实际教学中，教师要提高自身的建模意识，留出一定的时间和空间引导学生经历数学模型抽象的过程，以此逐步提高学生的数学建模能力. 当然，模型观念的培养是一个长期的过程，因此教师要把培养学生的模型观念贯穿教学的始终，让学生经历“实际问题—数学问题—数学模型—数学结论—解决问题”等过程，使学生充分感知数学模型在解决实际问题中的价值，以此建立模型观念.

强化建模意识，树立建模信心

模型观念的建立不是一蹴而就的，它是一个长期的过程. 在日常教学中，教师应尊重学生的认知发展规律，从一些比较容易寻找模型的题目入手，让学生充分感知数学建模的优越性，并获得数学建模的成功体验，以此逐步提升数学建模意识. 教学中，教师应立足教材，将数学建模教学与现行教材结合起来进行研究，并将培养数学建模意识贯穿数学教学的始终，让学生学会用数学的眼光看待现实生活中的问题，并能灵活应用数学知识解决现实生活中的问题，以此提高学生的数学应用意识.

例1  为了做好后期的道桥养护工作，某路段在一定时间内需要向过往车辆征收一定费用，收费标准如下：7座及以下（含7座）的小型客车每辆次收费5元，7座以上的载客汽车及各类货车和客货两用车每辆次收费10元. 已知某日通过的汽车总数为3000辆次.

（1）设该日小型客车通行的辆次为x，总的通行费为y元，试写出y关于x的函数关系式;

（2）通行车辆中，若大型车辆的数量介于20%至40%之间，试求一天收费总数的范围.

解：（1）根据已知条件可知，大型车辆为（3000-x）辆次，所以y=5x+10（3000-x），即y=30000-5x（0≤x≤3000）;

（2）根据已知可得大型车辆的数量为600辆到1200辆，所以1800≤x≤2400，于是可得18000≤y≤21000.

无论是在教材中，还是在考试中，学生经常会遇到此类数学应用问题，这些应用问题往往以数学建模为中心，注重考查学生的数学应用能力. 因此在实际教学中，教师要从学生已有的知识经验出发，逐步地渗透数学建模思想，让学生结合实际问题建构合适的数学模型，以此提高学生的解题能力，发展学生的数学素养.

关注主体价值，培养模型意识

数学教学的主体是学生，教学中教师要充分发挥学生的主体价值，鼓励学生主动参与数学建模的过程，以此让学生通过亲身经历提高数学建模能力，促进学生思维生长[2]. 不过在日常教学中，部分教师为了完成教学计划，常常先直接将数学模型或建模方法告知学生，然后让学生套用，这样忽视学生思考过程的教学将影响学生模型观念的发展. 因此在数学建模教学中，教师应该创造机会让学生去发现、去探索、去提炼、去应用，以此让学生学到有用的数学.

例2  如图1，小明和小刚同时从学校出发骑行到图书馆，小明以150米/分的速度骑行了一段后，休息了5分钟，然后以m米/分的速度继续行驶，小刚全程匀速行驶，请结合图象回答如下问题：

（1）请分别求出a，b，m的值;

（2）若小刚的速度为120米/分，试求小明和小刚第二次相遇时距离终点的距离;

（3）在（2）的条件下，小明第二次出发，何时两人相距100米？

题目给出后，教师先预留一定的时间让学生独立思考，然后通过互动交流的方式与学生共同经历数学模型的抽象、应用等过程. 教学片段如下：

师：图2是小明行驶的路程y（米）与时间x（分钟）的变化关系，从中你能获得哪些信息？

生1：根据图象可知小明前半程的速度为150米/分，后半程的速度为200米/分.

生2：根据速度、时间、路程的数量关系，可以写出相应的函数解析式，如OA这一段的解析式为y=150x（0≤x≤10）.

生3：结合函数图象也可以得到函数解析式，设正比例函数y=kx，且函数过点（10，1500），利用待定系数法也可以求得函数解析式为y=150x.

师：很好，两位同学分别从数和形两个角度得到了线段OA的解析式，利用以上方法，你能求出线段BC的解析式吗？

教师预留时间让学生分别用不同的方法求线段BC的解析式，很快学生就有了答案.

生4：我是用两种方法求的，不过得到的最终结果却不一样，搞不懂问题出在了哪里. （许多学生点头，表示和生4遇到了同样的问题）

师：请先分别说说你的求解过程.

生4：从数的角度，利用速度、时间、路程的数量关系得y=200x（15≤x≤22.5）;从形的角度，设函数解析式为y=kx+b，函数图象过（15，1500）和（22.5，3000）两点，利用待定系数法可求得函数解析式为y=200x-1500.

师：问题到底出在了哪里呢？为什么利用两种方法得到的答案会有所不同呢？你认为哪个结果才是正确的？

教师预留时间让学生思考、交流.

生5：y=200x（15≤x≤22.5）是不对的，结合图2可以看出，该函数不过坐标原点，所以它不是正比例函数.

生6：也可以利用特殊点进行验证，点（15，1500）显然不在函数y=200x的图象上，所以y=200x不对，不过我不知道如何解释不对的原因.

师：具体应该如何解释呢？如果将以上函数图象转换为线段示意图，你有什么发现呢？

在教师的启发和指导下，学生重新绘制线段示意图，教师展示学生操作结果（如图3）. 结合图3，学生得到如下关系式：y=1500+200（x-15）=200x-1500. 这样结合线段示意图，学生恍然大悟，只有在BC段的速度才是200米/分，其所对应的时间为（x-15）分.

这样通过互动交流，不仅找到了问题的症结，而且可以规范分段函数解析式的标准书写格式，让学生充分感知数学的严谨性，提高学生的数学抽象和数学建模素养.

师：刚刚我们分析了小明的骑行路径，得到了相应的函数解析式，现在分析小刚的骑行路径，看看你又有什么发现.

在解决这一问题的过程中，教师先让学生在图2的基础上画出小刚的骑行路径（如图4），以此通过动手操作，让学生进一步感知其中蕴含的数量关系，提炼相应的数学模型，从而为后续问题的解决奠定基础.

生7：若小刚的骑行速度为120米/分，则可以求出线段OD解析式为y=120x（0≤x≤25）.

生8：不妨令两次相遇时的交点分别为E，F，根据已知易求得两交点的坐标，它们分别为E（12.5，1500）和F（18.75，2250）.

师：现在回到原题中的问题（2）和问题（3），结合图形，说说你的结论.

生9：对于第2个问题，两人第二次相遇在点F处，此时距图书馆的距离就是3000-y=3000-2250=750米.

师：很好，问题（3）呢？

生10：结合图象可知，从小明第二次出发到小明到图书馆前，两人相距100米会有两种情形，第一种情形是小刚在小明前面100米，第二种情形是小明在小刚前面100米. 也就是说，两者之间的距离之差为100米.

师：很好，具体该如何表达呢？

生11：第一种情形可以表示为y-y=100，即120x-（200x-1500）=100，解得x=17.5;第二种情形可以表示为y-y=100，即（200x-1500）-120x=100，解得x=20.

生12：也可以合并起来写，即

y

-y=100.

师：是否存在第三种情况呢？

在教师的追问下，学生继续思考，发现当小明到达时，小刚到达前，还存在两者的距离是100米的情形，即3000-120x=100，解得x=24.

在以上过程中，教师引导学生将实际问题抽象成数学模型，并应用数学模型解决相关的问题，让学生充分感知一次函数模型在解决实际问题中的优越性，不断强化学生的模型观念，提高学生分析和解决问题的能力. 另外，教师提供机会让学生主动交流、主动建构，充分调动了学生参与课堂的积极性和主动性，促进了学生思维能力的发展.

在日常教学中，教师应重视数学模型思想的渗透，使学生逐渐由“知识型”向“能力型”转化，让学生学会用数学知识分析和解决问题，不断发展和完善学生的数学素养，让学生学会灵活地应用相应的模型解决问题，促进学生多方面素质的提升.

经历建模过程，掌握建模方法

数学建模既是一种数学思想方法，也是学生解决实际问题的重要工具. 数学建模的目的不仅仅是解决几个简单数学问题或者获得几个数学结论，更重要的是通过经历数学建模的过程，促进知识的内化和思维的升华. 在实际教学中，教师应重视引导学生经历数学建模的过程，由此通过亲身经历逐渐掌握数学建模的方法，提升学生的数学建模素养，实现数学知识的融会贯通.

例3  如图5，直线l表示一条小河，一个少年骑马从点A出发到小河饮水，饮水后返回位于点B的家中，你能为少年规划一条路径，使得他所走的路程最短吗？

在解决这一问题的过程中，教师预留时间让学生思考、交流，引导学生经历模型的建立、诠释、拓展、应用等过程，逐步培养学生的模型观念.

师：你能否将以上问题进一步简化呢？

生1：已知直线l的同侧有两个定点A，B，请在直线l上确定一点P，使得PA+PB的值最小.

师：这样的点P在何位置呢？你能利用几何方法加以证明吗？

生2：如图6，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，点P即为所求. 为了进一步验证，不妨在直线l上任取一点P′，连接AP′，A′P′，BP′. 因为A，A′关于直线l对称，所以AP′=A′P′，AP=A′P，于是有AP′+P′B=A′P′+P′B，AP+PB=A′P+PB=A′B. 在△A′P′B中，A′P′+P′B>A′B，由此可证得点P即为所求，此时PA+PB的值最小.

师：非常好！现在我们换个问题. 如图7，在直线m，n的内侧有两点A，B，若分别在直线m，n上任取两点C，D，使得AC+CD+DB的值最小，你能找到满足条件的两点吗？

师：求满足条件的一个点现在变为了两个点，我们该如何寻找呢？

问题给出后，学生积极思考，主动操作，很快就有了答案.

生3：作点A关于直线m的对称点A′，作点B关于直线n的对称点B′，连接A′B′，A′B′与直线m，n的交点即为所求.

师：如果在图5的基础上变一变，将直线同侧的两个定点A，B改为直线异侧的两个定点，且两个定点到直线l的距离不相等，如何在直线l上求一点P，使PA-PB的值最大呢？

教师话音刚落，学生就已经开始积极操作了.

生4：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，并延长AB′使之与直线l交于点P，此时PA-PB的值最大.

答案给出后，教师预留时间让学生进一步验证，从而加深学生对相关知识、方法的理解. 在此基础上，教师又给出一些相关的题目进行强化练习，以此加深学生对“将军饮马”这一重要数学模型的理解，让学生在变化的图形中感受不变的原理，提高举一反三的能力.

此模型为著名的“将军饮马”问题，其主要研究两条不在同一直线上的线段和的最小值问题. 在研究这一问题时，主要就是通过变换将两条不在同一条直线上的线段集中在同一条线段上，从而利用“两点之间线段最短”这一原理来解决问题. 该模型在生产生活中有着重要的应用，因此教师应提供充足的时间让学生经历抽象、验证、拓展、应用等环节，从而让学生获得全面且深刻的理解，使学生可以灵活应用该模型解决现实问题.

图形是千变万化的，方法是多种多样的，但若能抛开这些表象的内容进行归纳总结，则不难发现许多题目都有着相似的背景和解题思想，因此教师要重视引导学生对这些相似内容进行归纳总结，以此逐步培养学生的模型观念，进而培养学生敏锐的洞察力和想象力. 随着模型观念的不断强化，学生的数学学习也变得更加简单化、有序化，有利于他们优化知识结构和发展思维能力.

总之，在日常教学中，教师应该全方位地理解教学内容，逐步提高自身的建模意识，并做好建模教学的教学设计，始终贯彻“以师为主导、以生为主体”的教学理念，针对不同的知识点选择不同的数学模型，充分发挥学生的主体价值，提高学生参与数学建模的积极性，逐步培养学生的模型观念，落实学生数学核心素养的发展.

参考文献：

[1]刘雪萍. 核心素养视角下的初中数学建模教学策略[J]. 数学教学通讯，2023（29）：76-78.

[2]蔡丽明. “数学建模”核心素养在初中数学助学案课堂中的构建[J]. 数学教学通讯，2021（14）：41-42.