以题理知,能思益彰

[摘  要] 为探讨“大概念”在初中数学解题教学中的应用，深化对学科核心概念和原理的理解，引导学生发展系统化和高阶的思维模式. 文章首先定义了“大概念”并强调其在教学中的重要性，接着讨论了以大概念为核心的解题教学目标，包括促进深层次知识掌握、跨学科知识迁移与创新思维的培养. 随后，文章通过具体数学问题示例，展示了如何在教学设计中整合和应用大概念，如通过构建解题平台、追求问题本质、反思解题过程以及多层次概念追问等方式，来提升学生的解题素养和综合素质.

[关键词] 大概念;初中数学;解题教学

引言

在当前的教育实践中，如何有效地提升学生的数学解题能力、创新思维与综合素质成为一项迫切的任务. 针对这一需求，本文引入了“大概念”教学策略，旨在通过探索和强调数学学科的核心理念，以及这些理念之间的内在逻辑联系，来引导学生建立更为系统化和高阶的思维模式. 通过对“大概念”教学策略的深入分析与实践探索，旨在为初中数学教学提供新的视角和方法，以促进学生在解决复杂数学问题时的能力提升.

“大概念”的定义

“大概念”为外来词语的翻译，其英文对应为“big idea”. 这一表达从本质上区分了广泛与狭窄的学术焦点，强调了对学科核心理念的深入探讨，同时暗示了一个较高的认知层次和对学科内部逻辑结构的概括能力. “大概念”因此指向那些构筑学科理论框架、揭示学科核心属性的思想体系，其功能在于指导学科知识体系的组织，本质上侧重于不同概念间的内在逻辑关联. 笔者认为，“大概念”就像是一张学科的地图，可以帮助我们看到各个知识点之间的路径和联系，而不是零散地只看到某个点. 在实践教学策略时，依据“大概念”能够打破传统的课堂教学模式，从整体上审视学科，通过揭示知识点之间的逻辑联系来明确教学的重点. 这种策略鼓励我们从更高的视角，更深的层次，去理解和掌握学科知识，而不是停留在记住公式和定理的表层次[1].

“大概念”解题教学的目标

“大概念”解题教学，旨在通过对学科核心概念和原理的深入理解与运用，引导学生建立系统化、高阶的思维模式，从而在解决复杂问题时能够跳出具体情境的局限，实现跨学科的知识迁移与创新思维的培养. 该教学的核心目标，在于促进学生对学科知识的深层次掌握，而非仅仅停留在记忆和应用层面[2]. 在这一教学过程中，教师不再是单纯的知识传递者，而是扮演着引导者和促进者的角色，通过问题导向的学习方法，激发学生的探究欲望，引导学生自主发现问题、分析问题并解决问题.

“大概念”解题教学的思考

（一）抓主线，优化教材，构建大概念解题平台

在当前教育实践中，构建以“大概念”为核心的解题平台显得尤为重要. 此过程涉及对教材内容的深度优化，旨在提炼和强调跨学科的核心概念和原理，进而促进学生在解决问题时的逻辑思维和创新能力. 在此框架下，教师需抓住教学的主线，通过精心设计的教学活动，引导学生从具体知识点抽象出广泛适用的概念. 此外，通过跨学科的整合和案例的引入，可以将抽象的概念具体化，增强学生的学习兴趣和实际应用能力. 构建的大概念解题平台应成为学生理解复杂问题、培养解决问题能力的有效工具，为学生提供一个系统性思考和综合性分析问题的思维训练场[3].

（二）寻本质，回顾反思，提升学生解题素养

在“大概念”解题教学中，寻找问题的本质成为提升学生解题素养的关键一步. 通过深入分析和探讨问题的根本原因，学生可以从本质上理解问题，从而更加高效和准确地找到解决问题的方法. 这一过程要求学生具备批判性思维和逻辑推理能力，能够在众多信息中筛选出关键因素，进行有效的逻辑构建和假设验证.

此外，回顾反思是提升解题素养的另一重要环节. 通过对解题过程的反思，学生能够识别在解题过程中的不足和错误，系统地总结解题策略和思维方法，为未来遇到类似问题提供参考. 这一过程不仅加深了学生对知识的理解和掌握，也培养了学生的自我反思能力和终身学习能力. 因此，教育者应设计富有挑战性的问题和情景，引导学生在解题过程中不断地探索、尝试和反思，通过实践活动和交流讨论等形式，促进学生深层次的认知发展和解题技能的提升，从而在“大概念”教学的指导下，全面提高学生的综合素质.

“大概念”解题教学的设计思路

（一）回归概念的本质特征，设计多个层次的概念追问

为了促进学生对三角形相似定理的深入理解，教师可策划一系列题组，通过全面回顾三角形相似的条件及其属性，重温其核心特征，进而提出多层次的概念性追问. 如问题1所示：

问题1：如图1所示，正方形ABCD内，E为AD中点，F位于CD上，满足CF与FD之比为3 ∶ 1. 问：三角形ABE与三角形DEF是否相似？何以见得？

参考答案：应用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”原理，可得三角形ABE与三角形DEF相似的结论.

追问1：如图2所示，在正方形ABCD中，E位于AD中点，F位于CD上，满足CF与FD之比为3 ∶ 1，且BF被连接. 请问图中存在哪些相似三角形？请标明，并解释其相似的原因.

参考答案：通过“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”原理可以证明三角形ABE与三角形DEF相似. 进一步，依据“三边成比例的两个三角形相似”原理，可以证明三角形ABE与三角形EBF相似. 借助相似性的传递性质，可以推断出三角形DEF与三角形EBF也相似.

追问2：如图3所示，在矩形ABCD内，AB=m（m>1），BC=4，定点F位于DC边上，满足DF=1. 当m设为3时，若在AD上找到一点E，使得三角形ABE与三角形DEF相似，计算AE的长度.

参考答案：当∠ABE与∠DEF相等时，为满足三角形ABE与三角形DEF的相似条件，需要求解出AE的值为1或3.

设计意图  问题1作为教科书中的示例，清晰展现了位置和大小关系，通过强调“两边成比例，夹角相等则两三角形相似”的准则解决问题. 追问1在此基础上增加了线段，通过丰富图形的关系并直观地指导学生理解新的几何关系，例如通过特殊的90°角引入，促使学生通过直角的性质推导出新的相似三角形. 此时，学生可以继续应用“两边成比例，夹角相等则两三角形相似”的原理，或者转而利用“三边成比例则两三角形相似”的原理来识别相似三角形. 追问2则通过改变正方形边长的等长性质，保留线段垂直的条件，依然通过相似性质来推导线段的比例关系，并通过方程式解决问题. 由此可见，在“大概念”教学策略下，通过分层次地提出问题，可以有效地引导学生深入理解概念的本质，从而构建起更为坚实的知识结构.

（二）立足教材的原始概念，扩宽学生解题思路

在数学解题过程中，立足教材的原始概念，扩宽学生解题思路. 一般来说，学生可采取三种不同的推理方法以提升解题效率. 首先是正向逻辑推理，即利用题目所给的已知信息通过逻辑推理找到答案. 其次，逆向推理方法，这种方式从预期的结果出发，追溯回必须满足的条件. 最后，综合推理策略，要求学生在已知条件和预期结果之间建立桥梁，通过发现连接两者的中间环节，以此来解决问题[4]. 如问题2所示：

问题2：如图4所示，在给定线段AB中，点C是AB的中点，点D位于线段BC上，且AD和BD的长度分别为6和4，求CD的长度.

在解题过程中，教师可以引导学生利用“三种推理方法”进行深入分析. 首先，从已知条件推导出未知情况的方法，也称为合成法，通过使用线段AD和DB的长度作为起点，计算出AB的总长，进而利用中点的性质确定AC的长度，最终通过AD的长度来找出CD的长度;其次，从结论出发逆向推导至已知条件的方法，即分析法，在审视题目给定条件的基础上，可以观察到要求解CD，需要先得到AD-AC或CB-DB的值，而计算AC和BC的长度又需先知AB的长度，而AB的长度是AD与DB之和，这一点是题目中的已知信息;第三种方法是从已知条件和结论两个方向同时进行分析，根据线段AD和DB的长度，可以推出AB的总长，结合中点的性质得到AC，BC的长度，为了求出线段CD的长度，需要计算AD-AC或BC-DB，这些条件在分析过程中均已得出，说明三种思路都能有效解决这个问题.

在学生熟悉了如何运用这三种不同的思维途径来推导出题目要求的条件后，教师可以通过提供变式题目，进一步培养学生运用“大概念”来分析和解决问题的习惯.

追问1：在给定的AB线段图中，C点是中点，D点位于BC线段上，已知AD=6，CD=1，求BD线段的长度.

追问2：在相同的AB线段图示中，C点为中点，D点仍位于BC线段上，已知BD=4，CD=1，求AD线段的长度.

设计意图  本设计旨在通过变式问题的引入，进一步发展学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，使其对互逆命题等数学概念有更深刻的理解. 变式问题的设计不仅巧妙地利用了学生已知的信息点，还设置了需要逆向操作或综合思考的情景，有助于学生在实际问题解决中实现知识与技能的迁移和综合运用.

（三）抓住概念考查的主线，打通概念之间的壁垒

在解题教学中，迅速凸显“大概念”教学的层次，可遵循以下步骤：首先，界定大概念层次，即图形间的相互关系;其次，识别大概念层次，如三角形的相似性质及其判定方法;接着，拆解概念间的关联，包括数量关系与位置关系;最后，对概念关系进行重构，涉及数量和位置的相互作用. 如问题3所示：

问题3：如图5所示，在一边长为4的正方形ABCD中，E点位于AD边的中点，F点位于CD边上，满足CF与FD之比为3 ∶ 1，连接BF. 如果圆O为△ABE的外接圆，求解圆O的半径大小.

参考答案：通过应用“勾股定理”，可以计算得出.

追问1：如图6所示，在边长为4的正方形ABCD中，设点E为边AD的中点，点F位于边CD上，满足条件CF = 3FD. 连接BF. 若圆O为三角形BEF的外接圆，求圆O的半径.

参考答案：应用勾股定理，可推导出BF的长度为5.

追问2：如图7所示，在正方形ABCD中，点G位于边BC上，圆O为三角形ABG的外接圆，该圆与边AD相交于点E. 点F位于边CD上，且∠DFE与∠AGB相等. 需证明：（1）EF为圆O的切线;（2）若AB的长度为4单位，DF的长度为1单位，则求半径OA的长度.

参考答案：（1）通过连接BE，根据正方形的性质推出AE与BG平行. 依据平行线的性质，可以得出∠AGB等于∠GAE，从而证明OE垂直于EF，说明EF是圆O的切线. （2）通过连接EG，证明三角形EDF与三角形BAE相似. 根据相似三角形的性质，可以计算得出BG的长度为2. 最后，应用勾股定理求得半径OA的长度.

设计意图  本设计要点在于明确和界定复杂几何形态中的基础与高级概念，如从简单的线段比例到复杂的圆的性质及其交互作用策略. 通过具体问题设置，引导学习者从识别基础图形（如正方形、三角形）开始，逐渐深入到较为复杂的几何关系（如圆的外接性质、切线特征）.

结语

综上所述，“大概念”在初中数学解题教学中的应用不仅有助于学生对学科核心概念和原理的深入理解，而且促进了高阶思维技能的发展和跨学科知识的迁移能力. 通过抓住概念的本质，优化教材内容，以及设计富有挑战性的问题和反思活动，教师可以有效地引导学生探索数学的世界，培养其解决问题的能力和终身学习的能力. 因此，“大概念”教学策略的实施，对于提升学生的数学素养、创新思维和综合素质具有重要意义.

参考文献：

[1]左朋法. 初中数学解题教学中“圆”的解题解析[J]. 数理天地（初中版），2023（21）：26-27.

[2]胡敬婷. 例谈“设而不求”技巧在初中数学解题中的应用[J]. 新课程导学，2022（9）：60-62.

[3]徐晓丽. 数形结合 并蒂花开——数形结合思想在初中数学教学中的运用探讨[J]. 中学课程辅导，2022（14）：33-35.

[4]束晓松. 初中数学解题教学中逆向思维的运用[J]. 数理天地（初中版），2023（9）：52-55.