借助一题多解 发展数学思维

[摘  要] 数学思维作为数学教育的培养目标愈发受到关注.通过对一道中考平面几何题进行解法的探究与思考，引导学生明晰图形结构，发现问题的本质，寻找不同的解答思路.结合一题多解渗透数学思维发展路径，指引学生用数学的思维思考现实世界，进一步提升其数学思维的速度、深度和宽度.

[关键词] 一题多解;数学思维;数学核心素养;中考题

数学教育一直以来承担着促进学生思维发展的重任. 正如奥加涅相所言：“区别于传统教学，现代教学的特点在于力求控制教学过程以促进学生思维发展，而基本的思维方式则成为学生掌握的专门内容.”[1]《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课程标准》）中也将“会用数学的思维思考现实世界”[2]作为数学核心素养. 由此可见，数学思维作为数学教育的培养目标愈发受到关注和重视.

一题多解是指从不同角度出发对同一个问题使用两种或两种以上的方法进行求解. 其题目设计往往综合度高，逻辑性强，解题思路多样，要求学生具备一定的数学思维[3]. 下面以一道初中平面几何题为例，挖掘一题多解的价值，以期助力学生数学思维的发展.

试题呈现

题目选自2021年贵州省毕节市中考数学卷第26题（有改编）.

例  如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接CE，BD的延长线与CE交于点F，与AC交于点G，连接AF，CD.

（1）求证：BD=CE，BD⊥CE;

（2）已知∠BDC=135°，判断AF与CD的位置关系，并说明理由.

1. 试题分析

本题是一道经典的平面几何题，以等腰直角三角形为基础图形，利用线段的旋转进行试题延伸，主要考查图形的旋转、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点. 题目构思紧扣《课程标准》的评价建议，关注学生对数学概念、性质、规律的理解和应用，注重思维过程，考查逻辑推理、空间观念等核心素养.

根据题意，不难得到△ABD≌△ACE，因此有BD=CE，∠ABD=∠ACE. 又因为∠AGB=∠FGC，依据三角形内角和为180°，有∠GAB=∠GFC=90°，从而BD⊥CE，第一小题得证. 本题主要的关注点在第二小题，要判断AF与CD的位置关系，根据图形可以将解题视角放在证明两直线平行上. 已知∠BDC=135°，故∠CDF=45°. 结合∠CFD=90°，故∠DCF=45°，可知△CFD为等腰直角三角形. 要使AF∥CD，则只需证∠AFC=135°或∠AFB=45°或∠AFE=45°即可.

2. 解法展示

视角1：寻找相似三角形. 一组相似三角形中包含相等的角和对应成比例的边，故可以从相似三角形的视角进行角的转化. 常见的相似三角形模型有：“A字型”“8字型”“K字型”、旋转型等.

思路1：根据第一题的求解过程，容易发现△ABG∽△FCG，属于左右方向“8字型”相似，可以联想到上下方向的三角形也呈“8字型”相似，即△AGF∽△BGC.

解法1：由∠ABG=∠FCG，∠AGB=∠FGC可以得到△ABG∽△FCG，从而有=;交换比例中项，得到=;又因为∠AGF=∠BGC，故有△AFG∽△BCG，从而∠AFB=∠BCG=45°，题目得证.

思路2：由已知条件容易发现，△ABC与△FDC均为等腰直角三角形，且有公共顶点C，可以将△FDC视作由△ABC绕点C经过旋转和位似得到的相似三角形，属于常见的“手拉手”模型. 此类图形变换必然存在“伴随相似（或全等）”，理清“伴随相似（或全等）”是解题的关键. 在本题中，△BCD与△ACF便属于“伴随相似”，也可视作“旋转型”相似.

解法2：因为∠ACB=∠FCD=45°，所以∠BCD=∠ACF. 又因为==，故有△BCD∽△ACF，所以∠AFC=∠BDC=135°，题目得证.

视角2：构造等腰直角三角形. 已知等腰直角三角形的底角为45°，要证明∠AFB=45°或∠AFE=45°，则只需证这两个角为等腰直角三角形的底角即可.

思路3：通过观察，不难发现点A同时是等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE的顶点. 要使∠AFB=45°，则AF必然为腰，容易联想到以A为顶点构造等腰直角三角形.

解法3：如图2，在线段BD上取一点M，使BM=CF. 因为AB=AC，∠ABM=∠ACF，BM=CF，所以△ABM≌△ACF，由全等得到AM=AF，∠BAM=∠CAF. 又因为∠BAC=∠BAM+∠MAG=90°，所以∠MAF=∠MAG+∠CAF=90°. 综上，△AMF为等腰直角三角形，故∠AFB=45°，得证.

思路4：在思路3的基础上可以继续以点A为顶点构造等腰直角三角形，尝试∠AFE为等腰直角三角形的底角.

解法4：如图3，在射线FE上取一点N，使NE=DF. 因为∠ADB=∠AEC，所以有∠ADF=∠AEN. 又因为AD=AE，DF=NE，所以△ADF≌△AEN，由全等得到AF=AN，∠DAF=∠EAN. 因为∠DAE=∠DAF+∠FAE=90°，所以∠FAN=∠FAE+∠EAN=90°. 综上，△ANF为等腰直角三角形，故∠AFN=45°，得证.

视角3：利用角平分线性质的逆定理.

思路5：已知∠BFE=90°，如果能够证明AF为∠BFE的角平分线，也可证明∠AFB=45°或∠AFE=45°. 故联想到角平分线性质的逆定理，过点A向BF，CE作垂线.

解法5：如图4，过点A分别向BF，CE作垂线，垂足分别为P、Q，得到Rt△ABP和Rt△ACQ，有∠APB=∠AQC=90°. 又因为∠ABP=∠ACQ，AB=AC，所以△ABP≌△ACQ，故垂线段AP=AQ，则AF为∠BFE的角平分线，即∠AFB=45°，得证.

视角4：构造辅助圆. “四点共圆”是初中平面几何常见的基本图形，通常教师会直接给出证明“四点共圆”的结论：定弦对定角或四边形对角互补. 在圆内，同弧所对的圆周角相等，因此通过“四点共圆”可转化角的求解.

思路6：∠ACB与∠AFB共同对应边AB，且∠ACB=45°，若能判断A、B、C、F四点共圆，则可证明∠AFB=45°.

解法6：如图5，过A、B、C、F四点画圆，圆心为O. 由于所对的圆周角∠BAC=∠BFC=90°，所以☉O成立，且BC为该圆的直径. 由于所对的圆周角为∠AFB和∠ACB，所以∠AFB=∠ACB=45°，得证.

视角5：根据视角2和视角4，可以先尝试证明已有的等腰直角三角形，从而生成45°角，再构造辅助圆进行角的转化.

思路7：由于AE由AD绕点A旋转90°得到，容易联想到△ADE也为等腰直角三角形. 而∠DFA与∠DEA共同对应边AD，若能够证明A，D，F，E四点共圆，则可证明∠AED=45°.

解法7：如图6，连接DE，过A，D，F，E四点画圆，圆心为O. 因为∠DAE=∠DFE=90°，所以有∠DAE+∠DFE=180°，故四边形ADFE对角互补，☉O成立，且DE为该圆直径. 由旋转可知，△ADE为等腰直角三角形且∠AED=45°，所以∠AFD=∠AED=45°，得证.

思路8：在理解思路7的基础上，可以尝试将AG绕点A逆时针旋转90°得到AH，从而构造等腰直接三角形生成45°角，再构造辅助圆进行角的转化.

解法8：如图7，在射线FE上取一点H，使得EH=DG，连接AH，CH，过A、G、F、H四点作圆，圆心为O. 因为AD=AE，∠ADG=∠AEH（等角的外角相等），DG=EH，故△ADG≌AEH，易证∠HAG=90°，所以△AGH为等腰直角三角形. 又因为∠GFH=90°，所以∠HAG+∠GFH=180°，因此☉O成立. 由同弧所对的圆周角相等，得到∠AFB=∠AHG=45°，得证.

教学导向

1. 关注数学直觉，提升思维速度

思维速度指思维的敏捷性，具备一定思维速度能缩减运算环节和推理过程，以“直接”得出结论，因此思维速度和数学直觉有较强关联. 《课程标准》所提倡的数感、量感、几何直观、空间观念等核心素养依托于数学直觉，实质上是在强调思维速度的发展. 徐利治教授曾说：“数学直觉是可以后天培养的. ”直觉的诞生具有偶然性，但这种偶然性并非无源之水. 就本题而言，数学直觉建立在长期对几何图形观察和思考的基础之上，如识别题设“8字型”相似、旋转型相似的敏感性. 因此，要想提升思维速度就必须关注数学直觉，这一直觉来源于对图形的全面观察，既要重视点、线和简单几何图形等元素之间的整体性、系统性关联，又要积累丰富的读图经验和完善的图形认知结构[4].

2. 重视逻辑推理，强化思维深度

思维深度指思维的深刻性，要求对数学对象和数学对象之间的联系建立起准确而深刻的理解. 思维深度的发展离不开逻辑推理，《课程标准》也多次提及应当形成重依据、有条理、合乎逻辑的思维品质，这与学生的运算能力、推理能力等数学核心素养息息相关. 在一题多解的探究过程中，无论采用何种数学方法或何种思考方式，其本质都是抓住题设条件特征进行合情推理和演绎推理. 因此，教师应着重设计能够实现一题多解的问题情境，为学生进行大胆猜想、严谨推理提供空间，以强化其思维深度，提高其分析问题、解决问题的能力.

3. 引导发散思考，拓展思维宽度

思维宽度指思维的发散性，即从问题出发，抓住重要的细节和特殊因素，沿着不同途径寻求答案的思考方式. 因此，发散性思维与创新意识、应用能力等有关. 尤其是在核心素养时代强调现实情境教学的背景下，解决数学问题的过程并非单一的方法路线，基于不同思路能够得到多样化的开放性答案. 在这一过程中，引导学生的发散性思维就需要激发其解题兴趣，鼓励其勇于探索、积极参与，而教师则需要提升专业素养，钻研开放性的试题，既可以是条件冗余，也可以是一题多解. 教学评价不拘泥于固定的答题模板和思路，鼓励开放性的回答和高水平的数学思维，引导学生发散思考.

参考文献：

[1]B.A.奥加涅相. 中小学数学教学法[M]. 刘远图，等，译. 北京：测绘出版社，1983.

[2]中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）[M]. 北京： 北京师范大学出版社，2022.

[3]丁淑琳，王罗那，黄韬. 基于“一题多解”的初中数学核心素养培养[J]. 湖州师范学院学报，2021，43（8）：112-116.

[4]苏立云. 论小学数学直觉思维及其培养[J]. 当代教育理论与实践，2009，1（3）：141-144.