新课标背景下优化数学认知结构的教学策略研究
作者： 肖亚娟
［摘 要］ 《义务教育数学课程标准（2022年版）》（简称“新课标”）再次强调了结构化教学、整体思想等的重要性. 究竟该如何通过课堂教学优化学生的认知结构呢？研究者以“直线与圆的位置关系”的教学为例，从教学目标的设定出发，分别从“创设情境，明确主题”“活动探索，深入理解”“例题训练，解决问题”三个方面展开教学设计与分析.
［关键词］ 新课标；认知结构；位置关系
新知的建构离不开知识框架的支持，核心知识体系架构对发展学生的数学思维具有重要意义. 但实际教学中，仍有些教师无法抓住核心知识，不能贯穿教学主线，出现教学负担重且效率低下的现象. 新课标强调数学教学要注重对学生发现问题的能力、提出问题的能力、分析问题的能力与解决问题的能力（简称“四能”）的培养. 实践发现，构建完整的认知结构对发展学生的“四基与四能”有深远的影响. 本文以“直线与圆的位置关系”的教学为例，研究优化数学认知结构的策略.
教学简录
（一）设定教学目标
新课标强调数学教学尤为关注知识的生长与延伸情况，要将每个知识点都置于整体知识结构中，以优化学生的知识体系与认知结构，让学生通过数学活动感悟数学整体思想方法，积累活动经验. “点与圆的位置关系”“直线与圆的位置关系”以及“圆与圆的位置关系”属于一根藤上的内容，自成体系，这几个内容的研究方法、蕴含的数学思想等有着高度的相似性，因此在教学目标的确定上，可将这几部分内容有机地融合在一起.
（二）教学过程
1. 创设情境，明确主题
如图1，借助PPT展示学生喜欢的切水果游戏，要求学生根据图片猜想本节课研究的知识是什么.
大部分学生在课前已经预习过，所以对本节课的教学内容有所了解，但看到老师以“切水果游戏”作为情境时，有点意外. 这也成功地激起了学生的探索欲. 在这张图片的启发下，学生很快就明确了本节课的研究主题：直线与圆的位置关系.
设计意图 本节课并没有延用常规的温故而知新的方式导入，而是选择了学生感兴趣的切水果游戏的画面作为导入的背景，因为这是学生所熟悉的游戏，很快就激发了学生的研究兴趣. 根据本节课研究的主题，引导学生探寻自己的认知的最近联想区，可促使学生自主进入类比状态，这种导入方式更符合学生的认知需求.
2. 活动探索，深入理解
活动一 探寻知识的生长点
问题1 从你们已有的认知经验出发，分析研究直线与圆位置关系的具体方法.
设计意图 类比思想是本节课的重点内容，类比思想应用的主要价值就在于能让学生结合自身已有的认知经验探寻到能够用来进行类比的知识源. 此处，教师通过问题的倒逼引发学生的回忆，让学生自主从已有的知识结构中提取有用的信息用来类比分析.
问题2 当初研究点与圆的位置关系的具体流程是怎样的？请思考并完善表1.
设计意图 引导学生再次感知“位置关系、分类讨论、刻画数量关系”的整个流程，为进一步提炼研究方法奠定基础.
问题3 为什么需要用数量关系来刻画位置关系？
引导学生从隐性圆的实际应用出发进行分析，如特殊的区域、信号覆盖区域等，若从直观图形出发，难以精准定位，而数量关系的刻画则能一目了然. 因此，用数量关系来刻画位置关系是现实生活的需要.
设计意图 从用数量关系刻画位置关系的重要性与必要性出发，扫除后续用“数”刻画“形”的障碍.
活动二 类比分析
问题4 本节课要研究的是直线与圆的位置关系，类比点与圆的位置关系的研究方法，你们觉得怎么研究比较合理？是否可以直接借鉴以前的研究经验？
设计意图 类比“点与圆的位置关系”，可让学生初步了解研究“直线与圆位置关系”的基本方法，为自主探索与合作交流做方法与步骤的铺垫，同时也在无形中渗透了数学类比思想.
问题5 实操展示：现在我们取一卷透明胶带、一支铅笔，咱们将透明胶带视为圆，铅笔视为直线，那么位于同一个平面内，你们能将这两件物品摆放出几种不同的位置关系？说明分类标准的同时画出相应的示意图.
设计意图 实操是获取学习经验的重要方法，学生亲历操作过程，通过分类、总结可明确思维的方向，这对提升学生的探索能力具有重要价值.
问题6 接下来该研究哪些量的数量关系？说明你的理由.
如图2，学生经过自主分析与合作交流展现出相应的对比过程，为探索此问明确了方向.
[点与圆数量关系刻画位置关系 形 数 点P到圆心的距离d和半径r的关系 ]<D：＼数学教学通讯中旬＼2024数学教学通讯中旬（11期）＼2024数学教学通讯中旬（11期） c＼8-104.tif>[P][d][O][r][直线与圆数量关系刻画位置关系 形 数 ？ ]<D：＼数学教学通讯中旬＼2024数学教学通讯中旬（11期）＼2024数学教学通讯中旬（11期） c＼8-105.tif>[l][O][r] [类比研究][图2]
追问1：既然大家一致认为需应用到“圆心与直线的距离d”以及“半径r”这两个条件，那么从“形→数”的角度来看，三种位置关系必然存在什么样的数量关系？
追问2：若明确了圆心与直线的距离d与圆半径r之间具有怎样的数量关系，是不是就一定能确定直线与圆的位置关系？
追问3：如果将这种研究方法应用到两个圆之间的位置关系研究中，该怎么处理？
设计意图 让学生从类比的角度来分析研究的量，可进一步强化学生对研究方法的理解，为提炼数形关系夯实基础. 两个圆位置关系问题的提出，进一步拓展了学生的思维，让学生通过自主类比分析，不断优化认知结构.
3. 例题训练，解决问题
例1 由形推数
（1）若明确直线l和☉O相切，且圆心与直线的距离d=3，圆的半径r=______.
（2）若明确直线l和☉O相交，圆心与直线的距离d=3，求圆的半径r的取值范围.
（3）已知直线l与☉O的位置如图3，☉O的半径r=3，求圆心与直线的距离d的范围.
例2 由数推形
已知在△ABC中，AC=4，∠A=45°，那么以点C为圆心，r为半径的圆和直线AB之间存在怎样的位置关系？说明理由.
（1）r=2； （2）r=2；（3）r=3.
例3 关注细节
若☉O的半径r=5，点A为直线l上的一点，AO=5，那么直线l和☉O之间具有怎样的位置关系？
设计意图 根据图形的位置关系来判定图形的数量关系，再从图形的数量关系出发研究位置关系，这是提炼“数形结合思想”的重要途径，随着两者的结合，可帮助学生更好地构建完整的知识体系.
几点思考
1. 积累是优化知识结构的基础
华罗庚认为：“读书经历了由薄到厚，再由厚到薄的过程.” 随着我们年龄的增长，所学的数学知识也越来越多，这就与读书一样，我们对知识的掌握经历由薄到厚的过程，当我们学的内容越来越多时，就要像读书一样将大量的同类知识进行整合，一旦厘清知识间的脉络就能建构完整、清晰的知识框架，形成结构明朗的知识体系，这对优化学生的认知结构具有重要意义.
2. 以生为本是优化知识结构的前提
新课标强调学生是课堂的主人. 如今的数学教学不再是教师侃侃而谈，学生被动接受的过程，而是学生主动参与，教师适当引导的过程. 想要优化学生的认知结构，最好的方法就是鼓励学生自主通过对新旧知识的类比、分析、拓展，建构完整的知识体系，这是完善知识体系的关键. 如本节课，整个教学过程都在教师的组织下进行，但所有探究活动与练习训练都以学生为主体自主探索的基础上实施教学，取得了不错的成效.
3. 有效整合是优化知识结构的关键
知识是解决实际问题的基本力量，而认知结构的加工系统又能有效联动数学概念与表征系统. 因此，加强知识间的纵横联系可帮助学生从各个角度理解问题，帮助学生构建完整的知识网络，深化学生对知识的理解. 如本节课，学生在教师的点拨下，通过对“点与圆”“直线与圆”“圆与圆”之间的位置关系的分析，提炼了研究方法与数学思想，优化了认知结构.
总之，新课标的修订印发对课堂教学具有指导意义. 新课标背景下优化数学认知结构的教学策略不外乎从知识的积累到形成结构出发，在“以生为本”的基础上有效整合知识结构，让所学内容形成体系，这也是促进核心素养发展的关键.