“三个理解”视域下的数学教学实践与思考

［摘  要］ “三个理解”是由章建跃博士所提出，该理念对当前的初中数学教学具有指导意义.研究者以“二次函数”的概念为例，基于“三个理解”的维度分别从“练习训练，初步建模”“温故知新，抽象概念”“整体视域，类比探究”“对比思考，深刻理解”“巩固训练，实际应用”“总结提炼，反思升华”等环节展开教学实践与思考.

［关键词］ 三个理解；理解学生；理解教学；理解数学

章建跃博士认为：一节好的数学课需要建立在“理解数学、理解学生、理解教学”的基础上，从而设计教学活动. 其中，理解数学是教学的方向，理解学生可为课堂教学提供强有力的保障，理解教学又能让课堂充满生命力. 最值得关注的是理解数学为教学的基本前提，教师基于理解数学的基础上，着眼于学生关键能力与个体品质的培养，可进一步发挥数学的教育价值，为拔高数学思维，发展理性精神，提升核心素养夯牢根基. 本研究以“二次函数”的第一课时教学为例，分别从如下几方面展开教学实践与思考.

教学分析

学生在本节课之前已经掌握了一次函数与反比例函数等基本函数知识，二次函数与这两种函数有着高度相似性，即都以定义的形式表达，且和一元二次方程雷同. 从知识的整体结构上来看，二次函数的逻辑结构和一次函数相似. 观察知识的形成过程，可见这些函数都蕴含了特殊到一般、类比、数形结合、一般到特殊等常用的数学思想，这些思想方法是学生发展逻辑推理、抽象、直观想象、运算等素养的基础［1］. 基于学生实际认知水平与知识特点来看，本节课具有较强的教育价值与意义.

教学过程简录

1. 练习训练，初步建模

课堂伊始，教师用多媒体展示如下几个问题，鼓励学生独立思考问题并解决问题.

（1）李师傅准备用一根长16米的绳子围一个长方形，设长方形的长与宽分别为x米，y米，那么x，y之间存在怎样的函数关系？请写出相应的表达式.

（2）用长宽分别为x米，y米的绳子围成一个面积为16平方米的长方形，那么x，y之间存在怎样的函数关系？请写出相应的表达式.

（3）已知a为正方体的棱长，S为表面积，则S与a之间存在怎样的函数关系？请写出相应的表达式.

（4）圆的半径r分别与该圆的周长C与面积S之间存在怎样的函数关系？请写出相应的表达式.

（5）赵阿姨准备用总长度为16米的篱笆，围一个长为x米，面积为y平方米的长方形小型家禽饲养场，那么x，y之间存在怎样的函数关系？请写出相应的表达式.

（6）某种矩形的镜面的长宽之比为2 ∶ 1，四周需要镶边框，假设镜面的宽度是x米，镜面的单价为每平方米120元，边框的单价为每米30元，加工费为每个成品45元. 那么一面镜子的总金额y（元）和镜面的宽x（米）之间存在怎样的函数关系？请写出相应的表达式.

设计意图 以上6个问题均与学生的实际生活相贴合，学生通过对问题的观察可逐步抽象出函数模型，并在各个实例的引导下逐步形成良好的数学逻辑推理、抽象与建模能力. 从某种意义上而言，这些丰富的生活实例也是学生自主概括与抽象二次函数概念的素材，为学生更好地理解教学提供基础.

2. 温故知新，抽象概念

依然借助多媒体展示一组式子，要求学生通过对式子的观察，从中挑选出自己所熟悉的函数，并说说函数类别与相对应的概念.

①y=4-x；②y=；③C=2πr；④S=5x2；⑤S=πr2；⑥y=360x2+240x+48；⑦y=-x2+7x.

设计意图 函数类别的判定及定义的回顾，进一步强化学生对一次函数与反比例函数的认识，体会它们的概念均由其书写形式所确定，这一理解为接下来探索二次函数的概念奠定了方法基础.

师：观察式子④⑤⑥⑦，说说它们之间具备怎样的共同点.

生1：这几个式子中都出现了平方.

师：根据你们的认知经验，该如何给这一类函数命名？说明理由.

生2：应该要出现“二次”这一词语，考虑到都是函数，所以命名为“二次函数”.

师：从一次函数与反比例函数的定义出发，可否通过类比法为二次函数下个定义？

生3：一般情况下，二次函数为类似于y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）形式的函数，其中x为自变量，y属于x的函数.

师：表达的意思完全正确，你是怎么想到a≠0这一条件的？

生4：受一次函数与反比例函数概念的启发，发现它们都是根据书写形式下的定义，由此联想到二次函数的概念，也需关注a≠0的条件. 若a=0，那么函数表达式就是y=bx+c，缺乏“二次”这一项，自然不属于二次函数的范畴.

教师肯定了学生的理解，并借助PPT展示完整的二次函数概念，要求学生注意关键性词语与规范的表达方法.

设计意图 建构主义理论告诉我们，新知的建构往往建立在旧知的基础上. 一次函数与反比例函数就是二次函数的知识基础. 因此，在学生自主抽象概念时，可引导学生联系自身已有的认知经验，借助类比法获得二次函数的定义. 如此设计，一方面能强化学生对二次函数概念的认识与理解，另一方面又能促使学生深刻理解概念间的联系，获得从整体视域观察数学知识，形成结构化的知识架构，为发展类比思想、逻辑推理能力做铺垫.

3. 整体视域，类比探究

师：虽然二次函数的概念与大家认知中的一次函数的概念有所区别，但这两种都隶属于函数家族，因此在研究方法上也存在很多共同点. 现在，请大家类比一次函数的探索路径，确定二次函数的研究方向.

如图1，在教师的启迪下，学生自主回顾一次函数的探索内容与方法，并自主将这些方法类比到二次函数的研究中来，初步确定二次函数的研究过程.

设计意图 引导学生通过类比分析，基于整体视域下构建探索框架，不仅渗透了相应的数学思想方法，还有效开启了学生的智慧，让学生学会自主应用已有经验探索新的知识，获得知识与方法的迁移. 此为提升学力的过程，对学生个体的发展具有重要意义.

4. 对比思考，深刻理解

师：通过以上分析，我们不仅概括出二次函数的概念，还明确了探索二次函数的方向. 接下来，请大家回归到二次函数的一般表达式y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0），思考如下几个问题：①以上式子④⑤⑥⑦中的a，b，c分别是什么？②分析下列函数有哪些是关于y和x的二次函数（PPT展示，略）？说明理由.

随着师生积极的互动，对于二次函数的判定提炼出如下几个要点：①必须是符合一般表达式y=ax2+bx+c的整式；②x作为自变量，最高次数必须为2；③确定a≠0，若a为0，则缺少ax2这一项，与概念不符.

问题1：二次函数一般形式中的自变量x的取值范围有没有限制？

问题2：棱长为a的正方体表面积S=6a2，a的取值范围有没有特定要求？

通过对问题的分析，学生发现实际问题中的自变量x受问题本身条件的影响，为了训练学生对这一问题的认识，教师继续提出如下问题，要求学生分别说说在下列情况下各个自变量的取值范围是什么.

（1）圆的面积公式S=πr2，其中自变量r的取值范围是什么？

（2）用一根长16米的绳子围一个长方形，面积y与长x之间的关系为y=-x2+8x，其自变量x的取值范围是什么？

（3）某种矩形的镜面的长宽之比为2 ∶ 1，四周需要镶边框，假设镜面的宽度是x米，镜面的单价为每平方米120元，边框的单价为每米30元，加工费为每个成品45元. 那么一面镜子的总金额y（元）和镜面的宽x（米）之间的关系为y=240x2+180x+45，其中自变量x的取值范围是什么？

设计意图 从函数的定义来看，它体现的是现实世界一些变化规律的模型. 实例的应用让学生进一步体会函数思想，并感知在不同背景下，函数自变量的取值范围有着显著差别，这一发现可提升学生的数学实际应用意识，并让学生切身感知解决数学问题需符合生活实际意义.

5. 巩固训练，实际应用

练习1：若明确y=（m-3）xm 2-7+4x为一个二次函数，那么m的取值范围是什么？

练习2：用函数关系式表达下列实际情况，并分别说明各个函数所属类型以及自变量的取值范围.

①在一张长、宽分别为30厘米、20厘米的卡纸上剪下一个边长为x厘米的正方形，那么卡纸剩余部分面积S与边长x之间有怎样的函数关系？

②某厂3月份用煤200吨，若4，5月份的月平均增长率为x，那么5月份用煤量y与增长率x之间可用怎样的函数表达式描述？

设计意图 这两道经典问题意在训练学生的解题习惯，让学生在遇到实际问题时，不仅考虑回归到概念本身去分析问题，还能从实际出发，全面剖析问题.

6. 总结提炼，反思升华

引导学生从本节课的知识、思想方法、研究注意事项等方面展开总结，提出存在的疑惑，并展望后续将要继续探索什么内容. 基于总结的基础上，用思维导图的方式体现完整的知识结构.

设计意图 全方位地回顾整个教学过程，可帮助学生从整体视域掌握知识结构，为提炼思想方法，实现深度学习服务. 正如章建跃博士所言：数学思想方法是解决数学问题的根本大法.

思考与感悟

1. 理解数学是教学的基础

随着新课改的深入推进，广大教育工作者越来越清楚认识到，若想促进学生的长期可持续发展，就要充分挖掘教学内容的教育价值，发挥知识的内在力量，为提升学力夯实基础. 纵观当前的教育现状，有一种默认的潜在假设，即教师已经完全掌握了教学内容本质，在理解数学方面是无懈可击的. 殊不知，有很多教学质量低下的根本原因就在于教师对知识特点、结构、逻辑关系等认识不到位，导致教学过程中难以准确把握教学重点与难点，无法设置具有启发性的问题，由此大大降低了教学实效.

基于以上分析，教师作为课堂的执教者，首先应丰富自己的认知，在授课前就要追本溯源，对教学内容的形成与发展过程产生明确的认识. 教师一旦拥有扎实的知识基础，那么在教学时则能“信手拈来”，让学生领悟知识的精髓. 由此可见，理解数学是教学的基础. 本节课教学之前，研究者就针对章节知识结构与二次函数概念特征等进行了深入剖析，为课堂教学奠定了坚实的基础.

2. 理解学生是教学的关键

学生是课堂真正意义上的主人，若想让教学达到事半功倍的效果，就要对学生的实际认知水平、思维层次等产生明确的认识. 以“二次函数”的知识为着力点，该怎样让学生自主领略“二次”这一特征，并自主抽象出相应的概念呢？此为教师需重点关注的内容. 本节课之前，学生已经掌握了一次函数与反比例函数，若想进一步发展学生的认知，最好的办法就是引导学生应用类比迁移的方法，自主探索并建构新知，对不同函数间的联系产生新的认识.

为了达成以上目标，研究者在课堂伊始就展示了一些不同的式子，让学生通过对式子④⑤⑥⑦的共性分析，获得“二次”这一核心要素，再结合式子特征，初步形成“二次函数”的概念. 究竟该如何描述这个概念呢？为了提升学生的自主学习能力，教师并没有直接呈现结论，而是鼓励学生自主类比一次函数与反比例函数的概念，给二次函数下定义. 这种基于理解学生的基础上，充分尊重学生的教学行为，让课堂充满智慧.

3. 理解教学是教学的核心

针对不同的群体，不同的知识，采取的教学方法也有一定的差别. 不论哪种教学方式的应用，都应以学生的实际认知作为起点. 教师需重点关注的是怎样引导学生用数学的眼光去观察，用数学的思维去思考，用数学的语言去描述一些现象，也可设计一些具有启迪性的情境或问题驱动学生的探索欲，促使学生主动发现并提出问题，为建立数学模型奠定基础.

本节课就应用了大量的生活实际问题引发学生的思考，学生在潜移默化中形成了“三会”与“四能”. 此为基于理解教学的基础上设计的教学方案，让学生进一步体会到数学源自生活，具有为生活服务的作用.

参考文献：

［1］魏国兵. 学科核心素养导引，积累基本活动经验——以“函数单调性”的教学设计与实施为例［J］. 中小学数学（高中版），2018（12）：13-17.