斜率之积（和）为定值时定点、定向问题的求解及推广

［摘  要］ 研究者以斜率之积（和）为定值的试题为切入点，探究得到圆锥曲线中两直线斜率之积（和）为定值时，动弦所在的直线过定点或定向，揭示了其本质为圆锥曲线动弦的“保值性”，并利用“保值性”秒求试题答案. 这一探究过程提示教师应从试题的背景出发，引导学生挖掘试题背后的深层含义，揭示其本质和规律，让学生能够举一反三、触类旁通，从而优化思维品质，提升核心素养.

［关键词］ 斜率之积；斜率之和；定点；定向

斜率之积（和）为定值的问题是解析几何的一个重要题型. 它不仅能够检验学生对解析几何知识的掌握程度，还能考查他们运用数形结合、转化与化归等数学思想的能力，从而全面考查学生的逻辑推理、数学运算等核心素养. 这类问题具有较高的区分度与选拔性，是高考中的一个热门考点. 本文拟就斜率之积（和）为定值时定点、定向问题的求解方法进行总结和推广.

试题呈现

点评 在例1和例2中，如何将表达式因式分解为（※）式是解题的难点和关键所在. 这一步骤不仅考查学生对代数运算的熟练程度，还检验其逻辑思维和数学直觉. 通过细致的观察和推理，可以发现表达式中的隐藏规律，进而将其转化为更易处理的形式. 这种因式分解的技巧在解决斜率之积（和）为定值的问题时尤为重要，它能够帮助学生快速找到解题的突破口. 因此，在备考过程中，应加强学生对此类因式分解技巧的练习，以便在考试中能够迅速准确地应用.

引申拓展

如图1所示，从圆锥曲线上一定点P引出两条斜率之积（和）为定值的直线PM，PN，这种情形类似于手电筒发出的光线，故被形象地称为“手电筒”模型. 研究发现该模型具有以下性质：

揭示本质

动弦MN过定点Q时，直线PQ和曲线在点P处的切线l与动弦PM，PN在方向上具有一致的定值；动弦MN有定向时，动弦MN和曲线在点P处的切线l与动弦PM，PN在方向上也具有一致的定值. 这些结论揭示了圆锥曲线中一些优美的几何关系，被称为圆锥曲线动弦的“保值性”，即：

试题启示

对于新课改理念下的高考试题，教师不应局限于试题本身，而应从试题的背景出发，引导学生挖掘试题背后的深层含义，揭示其本质和规律，让学生能够举一反三、触类旁通，从而优化思维品质，提升核心素养.