关于导数与不等式中的同构探究

［摘  要］ “同构”在导数与不等式问题中较为常见，利用“同构”可以简化解题过程. 因此，在教学中，教师可以利用“同构”引导学生开展知识探究，归纳总结题型和解题方法，并指导学生探究解题之道.

［关键词］ 同构；导数；不等式；思想方法

走进典例，探究解读

1. 例题探究

2. 解后剖析

同构探索，知识总结

在不等式与导数综合题中，常见同构情形，因此可以利用同构来简化解题过程. 挖掘同构时可以借助整体代换、换元等方法技巧，将其转化为结构一致的代数式. 在实际教学中，教师应引导学生深入探索同构，总结归纳常见的同构情形，生成相应的转化策略. 下面结合高考常见考查方式，探索两类同构.

1. 结构一致性同构

结构一致性同构，同上述例题所示，其特点就为结构一致，常以双变量形式出现，当把其下标相同的双变量移动到一起时，每个变量的结构作用均相同. 高考实际考查时常以构造函数比较大小或不等式关系的形式出现，教学中需要引导学生探索下面三种情形.

2. 指对数同构

在处理混合不等式时，可能遇到指对数同构的情形，使用常规方法进行计算过于烦琐. 在这种情况下，关键在于理解其内在结构，并将其转换为f［g（x）］>f［h（x）］的形式，其中f（x）为外层函数. 因此，在教学中，需要引导学生掌握指对数常见的变形技巧.

技巧1 直接变形.

对于不等式无法直接变形同构的情形，则需要引导学生掌握“先拼凑，再变形”的方法，即先凑常数、凑参数或凑变量，如两侧同乘x，同加x，等等，再用上述技巧变形. 以下面两种情形为例：

题型探索，思路引导

总结完同构知识后，引导学生整合导数与不等式同构的常见问题情形，并指导学生充分应用同构知识来构造函数，以解析问题. 教学中引导学生构建分步策略——分两步：

第一步，整理并变形不等式，挖掘其中的同构情形；

第二步，根据同构情形构造函数，利用函数性质求解问题.

1. 导数中结构一致的同构

2. 函数零点的同构

探究解读 在解析函数零点问题时，同样需要掌握函数的同构特性，利用整体代换来简化函数结构. 教学中需要指导学生掌握函数零点的转化策略，即将“函数零点”转化为“两函数的交点”，通过分析函数性质和绘制图象来求解问题.

3. 多变量关系的同构

探究解读 上述探究与多函数相关的不等式恒成立最值问题，其中最关键的一步为利用同构方法来构建g（x）与f（x）的关系. 该种情形较为隐蔽，教学中需要指导学生明晰多变量关系的同构思路：第一步，分析两个函数的解析式，从整体视角进行审视；第二步，将其中一个函数设定为“元变量”，并将其整体代入另一函数中，从而实现函数变量关系的同构.

解后反思，教学建议

1. 解读同构，归纳知识

在高中复习备考阶段，教师要重视解法技巧的总结与指导. “同构”是导数与不等式问题中常见的情形，合理利用同构技巧可以简化函数或导数的结构，便于后续进行转化与构建. 教学中需要注意两点：一是结合实例解读同构，使学生明晰同构的内涵；二是归纳总结知识，包括同构情形、同构方法技巧，据此形成相应的解题策略.

2. 应用探究，过程引导

对于学生而言，“同构”是较为陌生的知识点，对其方法技巧也不熟悉. 因此，在完成对同构的总结和归纳后，需要结合常见的题型进行解题指导，帮助学生深入挖掘同构方法技巧，并巧妙地将其应用于问题转化. 在解题引导的过程中，教师需注意思维引导，按照“结构分析→同构提取→同构转化→分析求解”的流程引导学生解读题目条件，并利用“同构”来解决问题. 同时，所选问题应尽可能覆盖高考中所有“同构”题型，以多样化的方式展现“同构”现象.

3. 渗透思想，提升能力

深入分析上述解析过程发现，在使用“同构”转化处理问题的过程中，隐含了众多数学思想方法，如整体代换、函数构造、转化与化归、数形结合、分类讨论等. 这些数学思想方法可综合运用来构建解题思路. 因此，在教学中，教师需要合理渗透数学思想方法，引导学生感知这些思想方法的内涵，并掌握运用这些思想方法的策略. 鉴于数学思想方法的抽象性，教师可以结合实例进行有针对性的讲解，直观呈现数学思想方法在解题过程中的作用.

写在最后

“同构”在导数与不等式问题解决中频繁出现，教师在教学过程中可以设计专门的探究课题，进行同构解读、知识归纳以及应用探究. 指导学生明晰常见的题型及其相应的同构策略，并结合实例加深理解. 同构过程涉及众多数学思想方法，通过合理地渗透这些数学思想方法，可以提升学生的综合解题能力.