数学逻辑思维的作用与培养措施的研究

［摘  要］ 逻辑思维是当代社会人才不可或缺的一种思维能力，它的应用涉及人类生产、生活与学习的方方面面. 数学是逻辑思维能力的源泉，推动着人类思想的逻辑化，数学逻辑思维属于一种理性精神. 文章从概念教学、思维方向引导与适当启发三个角度具体谈一谈培养学生逻辑思维能力的措施，以飨读者.

［关键词］ 逻辑思维；培养措施；概念教学；思维方向；适当启发

随着时代的发展，人们逐渐意识到逻辑思维的重要性. 高中生作为未来社会的建设者，其学科核心素养的培养需要落到实处，从真正意义上推动社会的进步与发展. 林崇德教授从思维层面提出概括、运算、逻辑思维、空间想象等属于数学能力，这些能力各自具有批判性、灵活性、深刻性等特征，它们交叉在一起促进学生数学学科核心素养的形成与发展.

数学逻辑思维在人类发展进程中的作用

1. 数学是逻辑思维能力的源泉

思维是人脑对客观现实世界的间接反映，展现了事物间的规律性与本质间的联系. 大部分情况下，我们所说的思维为逻辑思维或抽象思维，是指根据人为制定的思维形式与规则实施思维活动的过程［1］. 正因为人类具备了良好的逻辑思维能力，我们的认识才能超越感觉体系，将日常的感性经验转化为理性理解. 人类不仅拥有丰富的物质生活，还拥有多彩的精神生活，其主要原因就在于人类拥有独特的逻辑思维能力.

人类逻辑思维能力的发展与数学学科密不可分，因为逻辑思维过程从本质上来看，就是演绎推理过程，这就需要人基于自身意识形态抽象出数学概念. 人作为认知主体，无法直接反映出现实世界，而是借助感观系统将所察觉到的事物用语言表述出来，形成一般性的概念. 因此，人类对世界的认识伴随着具体事物的影像.

如对“数”的认识，起初源于现实世界，而后在逻辑思维的作用下，通过高度抽象与概括形成了相应的概念. 当人类在大脑中形成类似于1，2，3的概念时，就体现了一种高度抽象化的过程，这些数字不仅能够用来表示1只羊、2头牛，还能用来表示其他具体物体的量. 由此可见，逻辑思维源于数学，数学是逻辑思维能力的源泉.

2. 数学推动人类思想的逻辑化

逻辑思维源于数学，最具典型的是欧几里得的几何学，如《几何原本》中就记载了人们用数学逻辑思维思考社会生活的相关内容，具有促进人类思想逻辑化的作用. 古代思想家们开始用逻辑思维思考社会生活，最初将经验诉诸其他人，让人们对事物的认识从感性逐渐上升到理性，而数学则是推动这一变化的主动力.

纵观数学发展史，在东西方的思想文化上，都能看到数学思想的逻辑化进程. 在西方的思想文化上，拿欧几里得的《几何原本》来说，它应用点、线、面、圆、平面等概念建构了一套命题与公理，这标志着数学学科实现了自身的逻辑化进程［2］. 在东方的思想文化上，我国魏晋时期到唐宋时期逐渐发展而来的“宋明理学”就是数学思想逻辑化进程的标志，其中魏晋时期刘徽的《九章算术注》、南北朝时期祖冲之的圆周率、北宋时期杨辉的“剁积术”等，都具有典型性和代表性. 中国的数学思想文化和古希腊的数学思想文化具有一定的代表性，从某种程度而言，还得益于较高的数学发展水平.

3. 数学逻辑思维属于理性精神

探究公理是数学的基本精神，如《几何原本》中收录了大量的定义、公理、公设，并推导出了48个较高深的定理. 基于数学文化的视角来分析，《几何原本》解决了多少定理问题并不是重点，重点是它通过逻辑方法探求出公理，让人们明确公理是人类智慧的结晶，探寻公理是最基本的数学精神.

数学逻辑思维作为唤醒人们理性精神的基本动力，是人类超越可感知事物，形成理性认识的基础. 如从几何的角度来谈论圆，初始源于人们生活中可感知的圆形物品并不一定是严格意义上的圆，即使我们用圆规画出来的圆，也难免存在微小的误差. 因此，从某种意义上来说，圆仅仅是人类借助理性思维建立起来的一种数学对象. 由此也能看出，思想是对可感知物品的超越，数学逻辑思维属于一种理性精神.

培养措施

1. 概念是发展逻辑思维能力的基础

概念是数学思维的起点，是知识与技能的基础与核心，它对学生“四基”与“四能”的发展具有重要意义. 在教学中，教师应从新课标的要求出发，带领学生亲历概念形成与发展的过程，以揭露概念的内涵与外延.

合理的情境创设，能激发学生的学习兴趣，让学生积极地参与到概念的理解与应用中来，深化学生对概念的掌握程度. 创设情境时，可将数学文化有机地融合在情境中，巧妙的处理方式既可以达到教书的目的，还能起到育人的重要作用. 如“方程曲线”的教学，就可以将费马与笛卡尔的故事融入课堂；“数列”的教学，可将高斯求和的故事引进情境；“二项式定理”的教学，则可引入数学家杨辉的故事，等等.

引入这些具有时代意义的数学家的故事，不仅能增强学生的学习兴趣，还能让学生形成勇于探索的精神. 在概念教学中，促进学生数学逻辑思维发展的措施，可从以下几方面着手.

（1）注重关键词.

在教科书上的每一个精准、简洁的概念都是经过岁月的洗礼，多次抽象而来的. 在概念教学中，教师可引导学生圈出概念中的关键词，如“函数”概念中的“任何”“唯一”两个词就是关键词，需要引起重视. 同时还可以通过反例的应用，让学生切身体会关键词的重要性，从而深化学生对概念的理解程度.

（2）关注数学语言.

数学语言包含文字语言、符号语言与图形语言. 其中，符号语言具有高概括性特征，它能凸显概念的本质. 比如我们所熟悉的“等差数列”的概念，就可以用符号语言a-a=d（n∈N*，d为常数）来表达. 图形语言能够形象地将概念展示出来，比如“交集”的概念，则可以用Venn图来表达.

（3）加强类比分析.

在教学中，应用类比法常能凸显概念间的差别与联系，帮助学生更好地区分相似的概念. 如“分步计数原理”和“分类计数原理”，利用实例进行类比分析，可以深化学生的理解，提高学生的逻辑思维能力.

2. 思维方向是发展逻辑思维能力的前提

逻辑思维具有多向性特征，把握好思维方向是发展逻辑思维的前提. 如正向思维、逆向思维以及横向思维，都是从不同方向唤醒学生原有的知识结构，开拓学生的思维，从而使学生从不同角度理解不同类型的问题. 当然，逻辑思维能力的发展，除了有正确的思维方向外，还要有正确的学习方法，两者缺一不可.

为了让学生探寻出正确的思维方向，在教学设计与实施时需要注意以下几点：

（1）设计感观材料.

逻辑思维能力的培养离不开丰富的感观材料的支撑，这就要求教师进行筛选、设计，将学生感兴趣的一些感观材料巧妙地融入教学内容中，让学生通过直观想象发展理性思维，顺利实现从直观向抽象的转化.

（2）新旧知识类比.

从认知心理学来看，学生原有的认知结构是新知建构的思维基础. 因此，通过新旧知识的联系与类比，可以让学生探寻到正确的思维方向. 如常用的联想、类比，就是通过对比分析相似或相近的内容，探寻出其联系与区别的过程.

（3）重复训练思维.

思维的形成需要经历一个漫长的过程，想要发展学生思维的多向化，仅靠一两次练习难以达到效果，只有经过多次重复训练，才能有所突破. 鉴于学生习惯用单一的思维分析问题，导致思维定式的发生，教师应注意带领学生从不同的角度去分析问题，训练思维的发散性与灵活性.

3. 适当启发是发展逻辑思维能力的关键

一些教师习惯利用直接讲授法授课，他们认为高中数学课程内容多、时间紧、任务重，直接授课法能确保完成教学任务. 但直接授课法往往达不到理想的教学效果，真实情况是“教师讲得起劲，学生却听得稀里糊涂”.

现代教育理论下的高中数学课堂，并不是教师讲得越多越好，学习成效取决于学生的接受能力，而不是教师的传授数量. 因此，教师应摒弃传统的“输入式”教学方式，而应利用“启发式”教学方式唤醒学生的思维，引发学生主动思考，为学生创造意识的形成奠定基础.

作为教师，应信任学生，相信每一个学生都有独立思考的能力，课堂中尽可能地为学生搭建展示自我的平台，让学生体验到独立思考与自主解决问题所带来的成就感，建立学习信心［3］. 想要达到这一目的，最好的办法就是将问题抛给学生，鼓励学生自主思考、合作交流，必要时给予点拨与启发，共同探索出解决问题的办法.

例如，已知S是等差数列｛a｝中的前n项和，若a>0，S=S，当S取最大值时，n等于（  ）

A. 11 B. 12 C. 13 D. 14

笔者借助多媒体展示例题后并没有立即讲解，而是要求学生从自身已有的认知经验出发，独立思考本题，尝试自主完成，鼓励先完成的学生将自己的解题方法分享给大家. 片刻后，有几位学生就呈现出了以下解题过程.

生1：若d为等差数列｛a｝的公差，根据S=S可知9a+d=17a+d，可得d=-a，代入S=na+d中，化简得S=-a（n2-26n）=-a［（n-13）2-169］. 因为 -a<0，所以当n=13时S取最大值. 所以，本题的正确选项为C.

师：非常好！生1从已知条件出发，应用等差数列的前n项和公式以及二次函数的性质解题，条理清晰！但这种解题方法的运算量比较大，还有其他运算量小一点的解法吗？

生2：与生1一样，获得d=-a<0，将其代入a=a+（n-1）d中，化简得a=（27-2n）a. 由于a>0，因此等差数列｛a｝的前13项都是正数，往后的项都是负数，这就可以确定前13项的和是最大的.

师：不错，从已知条件出发获得等差数列｛a｝的通项公式，再由此判断该数列的哪些项为正数，哪些项为负数. 这种方法的运算量确实小了一些.

生3：我还有更简单的方法，根据a>0，S=S能够推断出等差数列｛a｝的公差d<0. 根据S=S可知a+a+…+a=0，a+a=a+a=0.因为d<0，所以a>a，因此a>0，a<0. 通过以上步骤同样可得等差数列｛a｝的前13项是正数，往后的项是负数. 所以，本题选C.

师：很好，等差数列的性质被你掌握得很到位，这种方法显然比前两种方法简洁多了. 还有其他意见吗？

生4：根据a>0，S=S能够推断出等差数列｛a｝的公差d<0，同时将S视为关于n的二次函数，由d<0可知该函数图象开口向下，再根据S=S可知该函数图象具有对称性，对称轴为n=13. 综上可知，当n=13时S取最大值.

在师生的互动与启发下，学生的思维越来越清晰，解题方法也越来越精练. 尤其是生4的解法，形象、直观、简洁、精准，凸显学生逻辑思维发展的历程. 这种开放式授课模式，不仅活跃课堂气氛，还有效发展学生的数学逻辑思维，收效颇丰.

总之，数学逻辑思维对人类发展进程具有重要推动作用. 在高中数学教学中，教师应有计划、有目的启发学生的思维，让学生在独立思考、主动探索与合作交流中开阔视野、激活思维，提升逻辑思维能力，为形成终身可持续发展的能力奠定基础.

参考文献：

［1］ 郝乐，马乾凯，郝一凡，等. 数学教育与逻辑思维能力的培养［J］. 数学教育学报，2013，22（06）：9-11.

［2］ 梁宇. 数学教育中逻辑思维能力的培养策略［J］.教学与管理，2017（15）：86-88.

［3］ G.波利亚. 怎样解题：数学思维的新方法［M］. 涂私，冯承天，译. 上海：上海科技教育出版社，2007.

作者简介：杨帆（1985—），本科学历，中学一级教师，从事高中数学教学工作.