举反例在数学教学中的应用研究

［摘  要］ 证明与反例是构成数学的两个层面，建构证明与举反例同样为数学发现的方向与目的. 反例教学作为正面教学的补充，它能为学习提供区分的重要信息. 文章以举反例为出发点，认为反例的应用具有强化概念、判断命题、分析错因与发展思维等重要作用，对培养学生的创新意识，提升学生的数学核心素养具有重要价值与意义.

［关键词］ 反例；概念；命题；思维

心理学家哈里斯提出，反例携带着适用于判别关键信息. 在数学教学中，想要证明某个命题的正确性，须将与该命题相关的所有论证依据联系到一起，借助严谨的科学证明才能推理出来；若要证明某个命题并不正确，采用举反例的方法就能快速、简洁地获得结论. 纵观整个数学发展史，发现有很多著名的猜想和命题都是通过举反例来验证其并不正确，可见举反例对数学的发展起着关键作用.

问题的提出

新课标明确提出，面对数学猜想，要进一步探寻证据，要有合理的证明或举反例. 举反例是推翻错误猜想的重要方法之一. 当前，举反例的教学成效得到广大教育工作者的支持，但研究反例作用与构造方法的文献比较多，而对于反例的教学法以及实际应用的研究则少之又少. 不少教师并没有从意识层面认识到举反例的重要价值，不论是在研究领域还是在应用范畴均不多见.

既然新课标对举反例提出了明确要求，这就需要教师在引导学生提出数学猜想的同时，还要教会学生用反例法推翻错误的猜想或者用演绎推理对猜想的正确性实施论证. 笔者就当前的反例法在课堂中的应用做了大量调查研究，发现情况并不乐观. 部分教师应用反例意识薄弱的主要原因存在两方面：①教材中的反例不多；②未形成应用反例教学的习惯.

究竟该如何将反例教学功效最大化，怎样构建反例教学模式？这些都是当下亟须解决的问题.

反例的实际应用

1. 强化概念

概念是数学逻辑的起点，是学习数学的重要工具. 准确把握概念是学习数学的先决条件，缺乏先决条件的教学活动是不完整的，正确应用反例对概念教学具有促进作用. 在课堂中，单方面应用正面的实例授课，学生难以完整地掌握概念本质，而反例的介入，则能从另一个角度提出更合理的解释，有效弥补传统错误的发生.

遍览各个版本的数学教材，发现数学概念一般都以表述法呈现，学生通过阅读难以从真正意义上领悟概念的本质，当遇到与之相似的概念时，则会出现概念模糊、认识混乱的现象. 而在恰当的时机应用反例，不仅能让学生从不同维度重新认识概念，还能培养学生思维的严谨性、周密性，使学生从反例中发现认知漏洞，从而完善认知结构.

例1 判断下列说法是否正确：若ax2+bx+c=0，则它的两根之积为c，两根之和为-b.

这是一道认识韦达定理的问题，受思维定式的影响，不少学生单纯地认为两根之和是一次项系数的相反数，两根之积是常数项，对韦达定理中的一个非常重要的条件“二次项的系数为1”视而不见.

这个错误完全可以避免. 在教学韦达定理时，教师可在课堂上向学生展示这个问题，如果学生表示这个问题没有毛病，那么可要求学生先算3x2-x-4=0的根（该式的两根分别是 -1与），然后算这两根的和与积，发现结论并非1和-4.

如果学生认为“若ax2+bx+c=0的两根之积为c，两根之和为-b”的说法是错误的，那么教师需追问错误的具体原因是什么.

从这个简单的判断题来看，反例的构造不仅能完善学生对韦达定理的认识，避免学生出现认识不全的情况，还能为学生后继应用韦达定理夯牢根基.

高中数学概念一般比较抽象，不少学生学习概念时只会死记硬背，无法对概念的内涵与外延形成深刻理解，导致无法准确、灵活地应用. 若教师在概念的形成阶段就引导学生深层次理解、剖析概念，通过辨析从侧面或反面揭开概念的本质，往往能完善学生对概念的认识. 尤其是反例的应用，能显著改善基础薄弱的学生对概念的模糊认识，起到事半功倍的教学效果.

2. 判断命题

伪命题是指无法确保其结论是正确的命题. 一般情况下，我们认为一个命题是伪命题，必然想利用实例来证明它，也就是说所举的实例满足命题条件，却无法得到结论或结论不成立. 想要判断命题是否正确，需要经历严谨的推理论证过程.

事实证明，判断命题正难反易. 反例的应用，能帮助学生快速发现在符合题设条件的某种特殊情况下，命题的结论并不成立，从而判断命题为伪命题. 换言之，一个反例可快速准确地发现命题的真伪.

例2 下列命题正确的有____个.

①侧棱均相等的棱锥是正棱锥；②底面与侧棱构成的角均相等的棱锥是正棱锥；③侧面与底面构成的二面角均相等的棱锥是正棱锥；④顶点位于底面的射影为底面多边形的外接圆圆心的棱锥是正棱锥.

上述四个命题的真伪想要快速准确地得到判断，可从举反例的角度进行：

从概念出发，不难发现前两个命题都是错误的，如一个四棱锥的底面为矩形，而其顶点位于底面的射影为矩形对角线的交点，由此可以看出这个四棱锥满足侧棱均相等且侧棱与底面构成的角也均相等的条件，但它并不是正棱锥.

第三个命题也是错误的，以底面非正三角形的三棱锥为例，若其顶点位于底面上的射影是底面三角形的内心，则这个三棱锥满足底面与侧面构成的二面角均相等的条件，事实上它并不是正三棱锥. 再来观察第四个命题，底面不是正多边形时，也存在顶点位于底面的投影为底面多边形的外接圆圆心的情况，事实上它也不是正棱锥.

综上分析，本题中的四个命题都是错误的，因此没有正确命题.

上述反例都满足命题条件，但其结论却无法满足正棱锥的要求，这种说理方法充分有力，毫无破绽. 因此，实施课堂教学时，教师可借助反例来剖析任何情形下的命题真伪的判断，为快速解题服务.

3. 分析错因

学习过程中出现各种类型的错误在所难免，很多时候，学生受思维定式的影响，难以自主发现错误. 当学生在错误形成后再想办法纠错，还不如在授课前就预见到学生可能出现的错误类型，通过反例的应用让学生在试错中深化对易错点的认识. 当然，也有很多错误是意料之外的，这就需要教师潜心研究学生的错因，追根溯源，并通过恰当的反例来激发学生的认知冲突，让学生在矛盾的解决中发现知识本质.

从这个分析过程来看，反例纠错简单、实用、效果佳. 学生若对自己的错误毫不知情，那就谈不上自我纠错，若是一道相对简单的题，在高考中出现错误则实属可惜. 为了避免这种令人心痛的失分情况，教师在日常训练中就要引导学生学会自主发现与纠正错误，而举反例就是解决填空与选择纠错的有力手段.

从认知发展理论来看，思维定式是错误形成的一大因素，新知学习时，学生常常不由自主地将新知与原有认知结构中有关联的知识进行类比，导致惯性思维禁锢新知在认知系统中的构造与发展，形成思维定式.

虽说类比新旧知识能够让学生快速理解新知，但受原有思维的束缚，在解决方法上难有新的突破，长此以往会遏制学生思维能力、创新意识等的发展. 反例的应用则能成功地凸显新旧知识间的异同点，完善学生对新知的认识，从根本上揭露知识本质，避免思维定式带来错误.

4. 发展思维

数学是思维的体操，数学学习也是思维发展的过程. 在新课改背景下，一切教学活动以促进教育的高质量发展为目标，以核心素养的培养为宗旨. 思维能力的培养是提升学生智力与非智力水平的关键，尤其是思维的深刻性、灵活性、严谨性等的培养，能从很大程度上发展学生的创造意识，为社会输送更多创新人才.

一般情况下，数学教学都是以正例与论证为主，一直使用这种从左到右的教学模式会阻碍学生从右到左反向思维的发展. 反例的构造，可帮助学生突破思维定式、纠正错误，探寻出思维新路径. 尤其是一些看似难以论证的内容，常会因反例的介入而变得简单.

事实证明，反例的应用不仅能有效强化学生对知识的理解，还能推进学生思维能力的发展，让学生具备缜密与深刻的思维. 而学生一旦拥有缜密与深刻的思维，解题时就能顺利发现题设条件与结论之间的关系，将隐含条件顺利揭露出来，实现解题.

例4 函数f（x）=log（2ax-x2）（a≠1，且a>0）的值域是什么？

常规情况下，一些思维粗糙、不够缜密的学生会从以下思路实施解题：根据f（x）=log（2ax-x2）=log［a2-（x-a）2］与a2-（x-a）2≤a2，可知f（x）≤logaa2=2，由此确定函数f（x）的值域为（-∞，2］.

显然，这是一种错误解法，从这种解法中也能看出学生并没有深刻理解本题的解答关键. 细细琢磨学生的解题过程，会发现这种解法缺乏对对数底数a的讨论.

实际解题时，需要进行如下讨论：①当a>1时，f（x）=logax是增函数，此时（-∞，2］为该函数的值域；②当0<a<1时，f（x）=logax是减函数，则f（x）≥logaa2=2，此时［2，+∞）为该函数的值域. 面对错解，反例的应用不仅能达到正本清源的效果，还能从不同维度启发学生的思维，让学生对与本题相关的概念，如值域、增（减）函数等有了进一步的认识. 若教师经常提供类似的问题让学生思考，夯实学生的知识与技能基础的同时，还能帮助学生养成良好的反思、检验、验证的习惯，为数学学科核心素养的形成和发展奠定基础.

新课程背景下的高中数学除了要发展学生的“四基”与“四能”外，还要培养学生的“三会”，让学生挣脱传统教学模式的束缚，促进思维灵活性、严谨性、周密性等的发展. 因此，借助反例促进学生思维的发展是值得每一个教师去探索的主题. 反例的介入，可让学生对一些复杂、抽象的数学事物产生新的认识，不仅如此，还能有效促进学生逆向思维的发展.

总之，反例介入数学教学对提高学生错误的识别力，对发展学生的数学思维、逻辑推理以及逆向思维等都有重要影响. 反例是帮助学生形成辩证统一思维品质的良好方式，它能为学生终身可持续发展奠定坚实的基础.

作者简介：吴晓岚（1988—），本科学历，中学一级教师，从事高中数学教育教学工作.