例谈数形结合思想方法在数学教学中的应用与思考

［摘  要］ 数形结合是一种重要的数学思想方法，“数”与“形”能从不同的角度反映事物的属性. 不论是“以形助数”还是“以数辅形”，都能为更简便、精准地理解数学知识和解决数学问题提供帮助. 文章用两个教学实例分别从“避免‘唯形论’”“力求‘准确论’”“注重论证过程”三个角度展开思考与分析.

［关键词］ 数形结合；教学应用；数学思想

作者简介：陶小玉（1984—），本科学历，中学一级教师，从事高中数学教学工作.

数形结合既是一种数学思想，又是一种数学方法，指将数量关系转化为图形性质或将图形性质转化成数量关系的一种研究方式，随着数与形的互相融合与转化，逐渐形成的一种解题思想方法. 在学生以直观形象思维占主导地位的背景下，数学教学离不开“形”的支持. 虽然直观的“形”具备独有的优势，但它也存在粗略、不变等劣势.

将简洁的数量关系与直观的形象特征相结合不仅能充分展示数学独有的魅力，还能活跃学生的思维，为深度学习奠定基础. 结合日常听课与同行交流等反馈情况，笔者发现教师虽然能认识到数形结合思想方法的重要性，但对其研究的深度尚不足. 为此，笔者从两个案例出发，对数形结合思想方法在高中数学教学中的应用展开剖析与思考.

案例展示

类比分析：应用解法1的学生从函数着手，借助导数以及介值定理解决了问题. 笔者在巡视学生的解题情况时发现，他们在分类讨论上做得很精准，在判断0<m<时函数的最大值大于0上也没有问题，但在探寻函数值小于0的x值上出现了障碍. 一些思维能力较强的学生，探寻到x=1和x=后，用规范的格式呈现出来，顺利解决了问题.

应用解法2的学生比应用解法1的学生多一些，这部分学生思维的障碍点在于作函数y=的图象——图2、图3、图4都是学生作出来的函数图象. 逐个观察，作出图2的学生显然已经理解并掌握了函数的单调性，明确了该如何利用其性质与极值点作图，但并没有掌握定义域边界上的作图要领，导致错误发生；作出图3的学生虽然掌握了x→+∞时函数图象的走势，但没有把握住曲线的凹凸情况，导致结论错误；作出图4的学生，从整体上来说很不错，但与实际图象还存在一定的差异.

借助数形结合思想方法进行解题的关键在于建立数与形的对应关系，只有把握好数与形的转化功能，才能从真正意义上发挥数形结合思想方法的应用价值，将复杂的问题简约化、明朗化. 数与形的合理转化建立在对知识深度理解与灵活应用的基础上，有些问题的表面虽然不能反映出数形转化的可能性，但通过隐含条件的挖掘与解题思路的拓宽，也能另辟蹊径.

由于笔者在借助几何画板展示图象时，忽略了动态连贯的过程，因此仅有部分认知水平较高的学生理解了其中的奥秘，还有部分学生没能理解点A，B从抛物线对称轴右侧逐渐趋向并跨越对称轴时函数最大值与最小值之差（高度差）在不断缩小. 发现这个问题后，笔者便借助几何画板的动画演示功能，将（t-1）向左拖动，让学生直观看到区间［t-1，t+1］内最大值和最小值之差的变化，使学生更好地理解高度差最小的意义.

1. 避免“唯形论”

综上两个实例，不难发现数形结合思想方法在日常教学中的应用价值，学生也存在较好的主动应用意识，解题中能将方程、函数、图象等进行数与形的转化，这是值得欣慰的地方. 同时发现有的学生过于侧重图形的应用，将大部分精力放在如何利用图形优化解题过程，而忽略了图形的本质，导致画图时出现精确度不够、不规范、尺寸失调或缺乏数理论证等情况，因此产生误判或争议.

或许迫于升学压力，不少教师在引导学生借助数形结合思想方法进行解题时，常常存在功利的心态，侧重图形的应用，而对图形的生成视而不见，导致学生无法深刻理解数形结合中的“结合”二字的本质含义. 所谓的数形结合是精准的数与清晰的形相结合，数决定形，而形又能助数. 切忌重形轻数，若遇到复杂的图形时，则要回归到数中加以剖析.

在案例1中，类似函数y=的图象，对于学生而言确实比较复杂. 学生虽然可以判断出曲线的大致走向，但要画出精准的函数图象存在一定的困难，这涉及函数二阶导数以及曲线凹凸相关知识，超出了本节课的教学范围，因此笔者倡导应用解法1解题. 当然，对于学有余力的学生，可以补充这方面的内容，体现出新课标所倡导的因材施教与差异化教学的理念.

2. 力求“准确论”

数学是一门严谨的学科，不论是数据还是图形都讲究精准化，教学中遇到徒手作图的情况，需从准确、美观、规范着手. 教材上所呈现的图形均具有精准美观的特点，学生可作为范本使用. 对于基本功扎实的学生，面对简单的函数图象时，徒手作图并没有多大问题，但面对复杂的函数图象时，则要慎重考虑，徒手作图往往难以达到较好的效果.

若想将复杂的图象准确地画出来，需要借助现代化的信息技术，如图形计算器、几何画板等，学生能从这些直观、精准的图中获得直接、清晰的学习经验，避免错误发生（例如图2、图3所示的错误，图4虽然也不够精确，但基本呈现了图形的大趋势）.

众所周知，教师是课堂的引导者，教师在课堂中的作图习惯，直接影响学生的作图态度. 清晰、准确的作图习惯是实现数形结合的基础，因此教师示范作图应做到规范、严谨，借助圆规、直尺等工具规范作图，让图形的形状、比例尽可能精准，切忌为了缩短作图时间而大致画图.

在日常练习中，笔者发现有不少学生喜欢“裸画”图形，出现不完整的坐标系、无数据的图形、无解释的符号等. 由于作出来的图形充斥着大量问题，导致各种错误发生. 出现这些问题的主要原因在于教师引导学生作图时没有力求将“准确论”贯彻落实到位，殊不知，精准的图形是应用数形结合思想方法的前提与保障.

3. 注重论证过程

从案例2中不难发现，生甲准确地掌握了数形结合思想方法，他将函数f（x）=mx2+20x+14（m>0）的图象与y=mx2（m>0）的图象实施类比分析，进而解决了问题. 这种方法反映他对基本图象性质已经有了较好的理解，而美中不足的是缺乏当（t+1）与（t-1）关于原点对称时，对图象性质进行周密论证的过程.

不少教师对图象性质的论证，一般采用的是直观观察、口头解释等方法，少有教师带领学生进行数据论证和验算. 若从应试的角度出发，用数形结合思想方法解答填空题或选择题，基础扎实的学生基本能顺利完成，但遇到一些有较复杂的函数图象的问题时，难免会因为对图象性质缺乏深刻理解而漏洞百出.

实践证明，教师应注重对图象性质进行精准论证的过程，为学生用数学方法和准确的数据作图奠定基础. 若数与形的辩证关系出现差错，必然带来错误的判断，这也是一再强调“以数辅形”的价值与意义. 一旦拥有严谨的论证过程作为解题的基础，数形结合就能达到完美的境界.

总之，形的直观性特征能将数的抽象性特征生动、直观地展现出来，将复杂的抽象思维转化成直观形象思维，有利于学生掌握知识的本质，同时数的精确性又能弥补形的不足. 在教学中，教师应有意识地将两者结合在一起，带领学生从不同角度全面、准确地考量问题，为提升学生的解题能力、发展学生的创新意识奠定基础.