一道三角形面积最值问题的探究与思考

［摘  要］ 如果学生能够将数学问题中，代数形式的表象和几何直观的深层次含义建立起联系，就能够加深对所求问题的认识和理解，达到用“直观”的眼光看问题的目的.文章通过探究一道三角形面积最值问题的解法，来分析一类最值问题的简解方法和命制手法.

［关键词］ 三角形；最值；直观想象

试题及解法探究

原题展示 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c·cosB+b·cos（A+C）=0，BD是AC边上的中线，BD=3，求△ABC面积的最大值. （为方便分析，设S△ABC=S）

考查意图 本题以中线长为定值的等腰三角形为载体，研究解三角形中的面积最值问题，考查三角形的边、角、面积之间的关系等基础知识，以及学生逻辑分析、数学抽象和数学运算等核心素养. 本题简洁而内涵丰富，给解题者数学美的感受.

命题思考

方法4揭示了命制本题的几何模型，即以斜边已知的直角三角形和外接圆为载体命制本题. 从构造隐形圆出发，本题可按照以下方式进行变式.

变式题1 利用圆的定义，构造隐形圆.

教学反思

数学是一门高度抽象的学科，几何特征往往被抽象的代数所掩盖，几何图形中的数量关系常常处于分散状态，很难直接看到，需要用想象、抽象、组织和联系的思维方式去观察、发现和概括.

史宁中先生提出：“数学教育的终极目标是会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界.”这样的目标不是哪个教师能在短时间内教出来的，而是学生在探究一个个数学问题的过程中逐渐领悟出来的，是长期活动经验的积累.

基金项目：厦门市教育科学“十四五”规划2022年度立项课题“基于核心素养提升的数学高考试题测评研究”（22163）.

作者简介：徐云龙（1996—），本科学历，中学二级教师，从事高中数学教学工作.