解析几何中非对称式化归的探究与思考

［关键词］ 解析几何；非对称式；减元思想；化归探究；教学思考

数学高考全国卷中的解析几何解答题往往计算量比较大，并且有一定的难度. 试题的“难”隐藏在问题结构特征里，隐藏在数学思想方法里，隐藏在知识本质里，考查学生的逻辑推理、数学运算等核心素养和能力.解答这类题目往往要“入乎其内”，即解析几何中常出现非对称式的代数结构，用减元思想去解决；又要“出乎其外”，即跳出问题看问题，需从题目中追本溯源，发现一般化拓展，探究问题的本真. 本文以2023年新高考卷Ⅱ第21题为例，用减元思想谈谈如何挖掘非对称式的本质特性，愿与各位分享，以期抛砖引玉.

初探——思路受阻产生疑惑

题目 已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点F（-2，0），离心率为.

（1）求C的方程；

（2）记C的左、右顶点分别为A，A，过点（-4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA与NA交于P，证明：P在定直线上.

①式为非对称式，无法直接利用韦达定理减元，但从目标来看，P在定直线x=a上，因此非对称的代数结构一定可以进行转化. 这说明①式的分子、分母有一定的倍数关系，由此可以通过整体约分得到常数. 这是将一个问题由难化易、由繁化简的转化与化归过程.

方法1学生容易想到，思路比较简单，属于“硬算”，但学生常会望“计算”而却步，半途放弃. 其他三种方法的计算量相对较少，但学生不容易想到. 当出现非对称的代数结构无法直接利用韦达定理简化运算时，基本求解思路是先减元，然后整体约分，最后得到定值.

细探——构造结构巧解

方法5（利用曲线方程构造对称结构）：由于点M，N在曲线-=1上，因此x-4=，x-4=. 所以，====. 于是将非对称的代数结构转化为了对称的代数结构，然后用韦达定理整体代换求值即可. 利用曲线方程进行减元处理，对学生来说，思维量多，计算量少.

1. 追本溯源

命题背景从极点和极线的定义来分析.

代数视角：已知圆锥曲线Γ：Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0，则称点P（x，y）和直线l：Axx+Cyy+D（x+x）+E（y+y）+F=0是圆锥曲线Γ的一对极点和极线.

几何视角：如图2所示，设点P不在圆锥曲线上，过点P引两条割线依次交圆锥曲线于四点E，F，G，H，连接EH，FG交于N，连接EG，FH交于M，则MN为点P对应的极线，PM为点N对应的极线，PN为点M对应的极线.

方法8（极点、极线定理的运用）：由题意可知，点（-4，0）不在双曲线C上，过点（-4，0）的直线AA和MN交双曲线C于点A，A，M，N，直线MA与NA交于P，则点（-4，0）对应的极线为过点P的直线，方程为-=1，即x=-1.（NA，MA的交点也在定直线x=-1上）

2. 推广拓展

思考

从题目的结构、背景、解法等多方面进行探究，注重算理、渗透思想. 学生遇到对称结构式就习以为常地利用韦达定理进行整体代换，但一旦问题“略施粉黛”呈现的是非对称结构式就束手无策了. 数学解题并没有固定不变的套路，只有不变的数学本质和思想方法. 非对称式问题的解法多样，但其本质离不开减元. 教学应强化通法、算理的渗透，细化计算过程的探究，深化数学思想方法的运用，而不是利用套路使学生成为解题的复刻者. 正如马丘斯金所说：“题目解决不是终点，而是思考的起点.”解决一个题目就停止进一步的思考，为解题而解题的观念要不得.应该对问题一探到底，揭示问题的本质，弄清问题的来龙去脉，真正做到“做一题、学一法、会一类、通一片”. 尊重知识发生、发展的过程，注重学生思维内化、深化的过程，让逻辑推理、数学运算等核心素养和能力在数学教学中落地生根.

作者简介：刘荣军（1974—），本科学历，中学高级教师，主要从事数学教育工作和研究工作，曾获浙江省师德楷模、丽水市杰出教师、丽水市高中数学学科带头人等荣誉.