深挖条件 细悟思想

［摘  要］ “数缺形时少直观，形缺数时难入微”，著名数学家华罗庚先生的这句话，常被教师用来提醒学生分析问题时要数形结合. 长久下来，学生确实会在很多情境中尝试从数与形的角度分别去思考问题，优化问题解决过程.数学需要简中求道，而数形结合恰恰做到了这点，但必要性有多强呢？文章用几个例子做浅析.

［关键词］ 数形结合；细化；优化；深化；深度思维

数形结合作为一种非常重要的数学思想，贯穿学生的整个学习生涯，尤其在高中，解析几何的学习更是让学生深刻体会到数与形结合起来的重要性与便捷性：从代数角度难理解的问题通过一张直观的图形可能就明显简化了；几何上不太严谨的说法，通过代数的呈现方式可以让其从“合情”演变为“合理”. 但是，反观我们的教学过程，似乎很多时候都是偏重于数与形结合起来的结果，而忽视了为什么我们要将数形结合起来，按照我们平时在教学过程中所讲的，“以形助数，以数解形”，这样做的必要性有多强呢？笔者通过以下几个问题做一些浅析（所有的例子都源于苏教版教材）.

以数解形，细化分析

其实我们会在解析几何的学习中感觉到，几何方法的渗透往往可以简化问题，所以很多学生就形成了固定套路，只要遇到这类问题，就一定要找到几何方式简化问题. 从初衷上讲是不错的，先从几何的角度试探下，即使没有完全解决问题，也能为后续代数解决提供思路，但这也有一定风险，比如思考问题的全面性.

当然，即使考虑到了上述两种情况，如果从代数角度来看，是不是还存在别的情况呢？所以，我们要再次尝试以下思考.

思考2从代数角度直接呈现了参数k与m之间的数量关系，通过代数恒等式求出定点坐标，运算量相对于三角形相似的几何解法或许要多一些，但是我们发现，其结果呈现的全面性更加清晰，不容易出现丢根的情况. 其实原始图形关于x轴的上下对称性，也可以帮助我们分析出直线l经过的定点一定在x轴上.

以形助数，优化思考

解析几何中的轨迹问题经常困扰着学生，因为很多时候我们需要以这样的轨迹作为接下来解决问题的基础，但是找寻轨迹又不是简单的事情. 一般情况下，轨迹的发现就是两个渠道：代数角度，找到轨迹上任意一点坐标满足的等量关系，即用“方程”确定“曲线”；几何角度，通过定义等几何方式确定轨迹的形状，进而用“曲线”确定“方程”，再解决相关问题.

这两种思考一比较，就能发现代数的切入口更加符合解析几何中用代数法解决几何问题的思路，而几何法的引入，很明显在一定程度上减少了运算量，同时也能深入思考问题，让数学思想渗透得更为广泛，再次体现“数”与“形”结合的必要性.

数形结合，深化应用

问题来了，为什么要用这样一个定义方式来呈现函数的单调性，而不是看函数图象上升或下降呢？回答这个问题的一种比较经典的方式就是举一些图象变化趋势不明显或图象不太容易得到的函数. 例如函数f（x）=0.000001x或f（x）=x+，尤其是函数f（x）=0.000001x，通过数学软件画出其图象（不给解析式），学生就不太能明确其图象是上升的还是下降的，更多会认为这是一条水平线. 通过这样的“陷阱”设置，可以让学生明白代数式定义的必要性. 这样的认知过程同样适用于后续的奇偶性和对称性的代数式定义.

上述概念的代数化过程让我们感觉到了“以数解形”的必要性，反过来看看这个问题：

已知函数f（x）=（3－a）x－3，x≤7，ax-6，x>7在（－∞，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围.

分析 这是一个分段函数，如果只是按照单调递增的代数式定义去分析这个问题就有点不合适了.

从上述两个问题可以看出，“以形助数”的必要性不言而喻，这也是单调性定义应用过程中体现出来的，所以需要教师去挖掘这样的资源，通过这样的资源整合让学生真正理解到“数”与“形”结合起来的必要性，它的作用不仅仅是做对一道题，而是渗透数学思想方法.

通过上述几个问题的梳理，可以明确的是，“数”与“形”的结合不是“偶然”的过程，而是根据题设条件与待求结论来解决问题的“必然”过程. 所以，在平时教学中，教师的确要摒弃数形结合的结论性小结，充分引导学生挖掘题目条件，分析解决方案，尤其在类似的问题中，探析用“数”解决问题的难点、切口在哪里，用“形”分析问题起到的辅助作用是什么. 数形结合不是仅为了追求简化，而是真正结合数与形，多问几个“为什么”. 这样解决问题，才能让学生体会数学思想的深远性与延展性，引领学生思维朝着更远大的方向发展.