以“基本思想”为主题的数学单元教学策略

编者按

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出“重视以学科大概念为核心，使课程内容结构化，以主题为引领，使课程内容情境化”，新课标体现的课程理念需要教师实施单元整体教学，促进学科核心素养的落实.广东省基础教育高中数学学科教研基地（东莞）、广东省于涛名教师工作室自新课程实施以来，积极践行高中数学单元教学，从大观念的基本内涵中提取“观念”“思想”“观点”等关键词，并结合新课标提出以“研究方法”“基本思想”“数学文化”为主题的三种单元教学策略，丰富了高中数学单元教学在应用层面的内涵.

本期推出的四篇论文以“基本思想”为主题，进一步阐述了该主题单元教学的实施路径（三阶段五步骤），并以“二项分布与超几何分布”为单元教学载体，完整呈现了从理论到实践的研究脉络，以期为一线数学教师进一步开展数学单元教学提供参考.

［摘  要］ 文章比较分析了数学基本思想、数学思想与数学方法的含义，明确了基本思想的内涵与外延，阐述了以“基本思想”为主题的数学单元教学的内涵，探讨了以“基本思想”为主题的数学单元教学的实施路径. 整个操作流程为：确定单元基本思想→确定单元教学内容→单元框架设计→课时教学设计与实施→单元整体评价.文章以“二项分布与超几何分布”为例，呈现单元教学策略的应用过程.

［关键词］ 基本思想；数学单元教学；教学策略；二项分布；超几何分布；概率

在新课程改革的背景下，倡导教师关注发展学生核心素养的单元教学设计，从更上位的视角开展整体教学，是一个重要的研究课题［1］. 笔者在数学单元教学的“设计层面”和“应用层面”进行了积极探索，在文［2］中阐述了以“研究方法”“基本思想”“数学文化”为主题的三种单元教学策略. 本文将在前述研究的基础上，以“二项分布与超几何分布”为例，进一步详细论述以“基本思想”为主题的数学单元教学策略.

以“基本思想”为主题的数学单元教学的内涵

1. 基本思想

数学基本思想源于2006年史宁中教授撰写的《数学思想概论》的数学教育思考，先后于《义务教育数学课程标准（2011年版）》与《普通高中数学课程标准（2017年版）》的发布被基础教育教师所熟知. 史宁中教授先建立了判断数学基本思想的原则：第一，数学产生与发展必须依赖的那些思想；第二，学习过数学的人应当具有的思维特征. 然后根据这两个原则，把数学基本思想归结为三个核心要素：抽象、推理、模型［3］.

《现代汉语词典（第7版）》对“思想”一词的解释为“客观存在反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果”；对“方法”一词的解释为“关于解决思想、说话、行动等问题的门路、程序等”. 曹才翰、章建跃认为：数学思想是对数学对象的本质认识，是对具体的数学概念、命题、规律、方法等的认识过程中提炼概括的基本观点和根本想法. 数学方法是指数学活动中所采用的途径、方式、手段、策略等［4］. 吴增生认为：数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，是数学学科发生、发展的根本. 数学方法是指数学思想的具体表现形式，是数学思想的具体化、程序化，具有更多的操作属性［5］. 可见，数学思想蕴含在数学知识、方法学习的过程中，是内隐的、本质的、深层次的观点，指向数学思维活动的内部，具有指导性；数学方法体现在数学问题解决的过程中，是外显的、具体的、浅层次的表现，指向数学思维活动的外部，具有操作性.

数学思想与数学方法都以数学知识与技能为基础，二者的交融与统一即数学思想方法，如函数与方程、分类讨论、转化与化归等. 不难发现，抽象、推理、模型等数学基本思想的核心要素蕴含于数学思想之中，是对数学思想进行更高层次的抽象、概括而形成的更深刻的观点.总体来看，数学基本思想以抽象、推理、模型等思想为内涵，以数学思想方法为外延，与数学教育教学和数学学习过程紧密相关，指向数学活动经验的积累与思维习惯的形成.

2. 以“基本思想”为主题的数学单元教学

以“基本思想”为主题的数学单元教学，是指以抽象、推理、模型思想中的某一个为中心来组织教学内容，单元内容集中体现这一数学基本思想［2］.

从教学中心来看，数学单元教学以某一个基本思想为中心，不代表只能有一个基本思想. 事实上，如图1所示，抽象是把现实世界中与数学有关的研究对象抽象到数学内部，主要研究数量与数量的关系、图形与图形的关系；推理是对数学研究对象之间关系的命题和运算结果的研究，主要形式有归纳推理、演绎推理；模型与数学应用不同，一是指数学概念、原理和方法的创造，二是指数学内部与现实世界的关系的构建. 三者处于数学学习的不同阶段，相互交融，不可能完全分开. 因此，教学中心的选定需要与教学目标相一致，形成单中心或多中心（主次结合）单元教学主题.此外，数学思想方法作为基本思想的表现形式，教学单元可以围绕某一个数学思想方法来组织.

从教学内容来看，既可以基于教材编排，以章节内容的划分作为教学单元，也可以基于教学需要，将蕴含相同基本思想的教学内容重组为教学单元. 例如人教A版（2019版）必修第一册教材中的“三角函数”一章以圆周运动（单位圆模型）贯穿始终，重点研究角度、半径、弧长、点的坐标之间的关系，可以抽象思想为中心，以模型思想为次中心，将章节作为教学单元；立体几何的四个性质定理可以紧扣“每一条性质定理都给出相应数学结论成立的一个必要条件”这一逻辑主线，以推理思想为中心，将四个性质定理重组为教学单元.

从教学定位来看，基本思想的内隐性决定基本思想的教育教学是一种过程教育，需要学生在数学学习过程中，主动参与数学活动，养成良好的思维习惯，积累数学活动经验，进而感悟数学思想. 单元教学要从促进学生感悟思想、积累经验的角度出发，跳出陈述性知识的教学目标局限，将知识生成过程或问题解决过程纳入教学目标，深入挖掘单元教学内容过程性知识的共性，尝试将这种隐性知识表述成文本，转化为显性知识，以此提高学生的知识迁移能力.

以“基本思想”为主题的数学单元教学的实施路径

为了提高以“基本思想”为主题的数学单元教学的可操作性，清晰呈现其设计思路与实施步骤，笔者以吕世虎等提出的数学单元教学设计的操作流程为基础［6］，结合以“基本思想”为主题的单元基本结构，以及以“基本思想”为主题的数学单元教学内涵，将教学实施路径归纳为“三阶段五步骤”（如图2所示）：第一阶段为前期准备，包括步骤1“确定单元基本思想”、步骤2“确定单元教学内容”；第二阶段为设计实施，包括步骤3“单元框架设计”、步骤4“课时教学设计与实施”；第三阶段为评价修改，包括步骤5“单元整体评价”.

下面以“二项分布与超几何分布”为例，详细探讨每个步骤的实施策略.

1. 确定单元基本思想

明确统领一个单元的基本思想是做好单元教学的基础.注意到基本思想蕴含在知识学习或问题解决的过程中，是知识、方法、思想的深层次习得，遵循从具体到抽象、从特殊到一般的过程，具有鲜明的层次性.从可操作的角度出发，自下而上追溯基本思想，即在教学要素分析（数学分析、课标分析、教材分析）的基础上，从具体研究对象或问题出发，挖掘方法的共性，再抽象出思想或观念，从而获得该单元的基本思想.数学思想方法的概括提炼框架如图3所示. 具体实施过程：先分析教学要素，再概括提炼基本思想.

（1）数学分析

二项分布与超几何分布是两类重要的概率模型.从试验类型来看，二项分布与伯努利试验、n重伯努利试验联系紧密，要求理解伯努利试验结果的“对立性”，即“关心事件A”和“不关心事件A”两类试验结果；以及n重伯努利试验的“不变性”和“独立性”，即每次试验中概率P的不变，且各次试验相互独立. 超几何分布是特殊的古典概型，与不放回简单随机抽样联系紧密，关注被抽取的个体是否具有某种特征，即总体分为B和两个子总体，B表示具有该特征的子总体，表示不具有该特征的子总体. 与有放回简单随机抽样是n重伯努利试验不同，不放回简单随机抽样每次抽取的条件不一样，且每次抽取的结果不独立，是n个不同的伯努利试验. 从生成过程来看，两类模型的学习既是样本空间、事件的关系与运算、概率的基本性质与运算、古典概型等基础知识的综合应用，也是对两类特殊概率问题的解决. 从研究内容来看，除了学习模型外，还需要通过推理与证明研究数字特征. 因此，二项分布与超几何分布的教学需要重视模型的生成过程，以及数字特征的推理过程.

（2）课标分析

二项分布与超几何分布的教学内容隶属于概率与统计主线，新课标对教学内容的要求为：通过具体实例，了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征；了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题. 显然，二项分布的教学内容的要求高于超几何分布，但是二者教学过程的要求基本一致（都要求通过具体实例学习概率模型，进而应用模型解决实际问题）. 相同的教学过程的要求，实际上反映了数学模型的生成与应用，以及沟通数学内部与现实世界的应用价值.

（3）教材分析

教材编排与新课标对教学内容的要求基本一致. 从上位知识来看，教材重视对概念、公式等知识的直观分析，例如样本点的树状图，样本空间的集合示意图，以及事件的关系、条件概率、全概率公式等知识的直观分析. 从后续学习来看，完成两类模型的学习，就完成了所有离散型随机试验相关知识的学习，将进入概率问题的综合应用. 从教材对例题和习题的设置来看，两类模型之前的各章节散布有6道题用两点分布来研究伯努利试验、1道题用事件的相互独立性来研究二项分布、2道题用古典概型来研究超几何分布，意味着教材编写从一般随机试验的角度来研究两类模型对应的特殊随机试验. 此外，教材编排两类模型的数字特征的思路都是先猜想再证明.

在上述教学要素分析的基础上，对“二项分布与超几何分布”单元数学思想方法进行概括提炼（如图4所示）：第一层是知识线索，列举单元教学涉及的知识内容，厘清知识脉络；第二层是方法技能，提炼知识学习过程中的过程性方法；第三层是思想方法，剖析知识、方法中蕴含的数学思想；第四层是基本思想，抽象出不同学习阶段最核心的基本思想.其中，第一层“知识线索”还呈现出一般分布列的研究路径，可视作应用推理思想研究分布列问题的文本化表现形式.

基于上述分析，“二项分布与超几何分布”把推理思想作为单元教学中心，把模型思想作为单元教学次中心.

2. 确定单元教学内容

单元教学内容的组织对基本思想的教学效果具有至关重要的影响，需要在步骤1的三个教学要素分析的基础上，进一步全面进行学情分析、评价分析，理解学生的学习基础，把握高考的考查导向，进而围绕单元教学主题细分教学内容，明确知识载体类型，确定单元教学内容.

（1）学情分析

“二项分布与超几何分布”的认知基础涉及随机试验、随机事件、事件概率、分布列及其数字特征等几乎所有教材中的概率知识，需要学生在学习之前进行必要的复习. 学生具备直观分析随机试验样本空间的经验，初步掌握了综合运用概率知识求解概率问题的一般方法，但缺乏从方法中提炼模型的经验，对于从一般的“概率的求解”的整体视角来学习特殊的“分布列模型”的局部视角的思维习惯有待加强. 此外，关于数字特征的学习，学生缺乏“先猜后证”的推理意识，对与组合数有关的恒等式运算和推理方法较为陌生.

（2）评价分析

高考对概率知识的考查不局限于直接运用模型、公式求解概率问题，通过学习概率知识习得的过程性知识是高考的重要考向. 从评价的角度来看，两类模型及其数字特征公式等基础知识是重要的陈述性知识，需要加强对概率问题的研究方法的过程性知识的教学，使得学生“知其然且知其所以然”，避免学生学习数学知识时只有“知识”的量的积累，没有“思维”的质的提升.

基于上述分析，将二项分布及其数字特征、超几何分布及其均值等概念命题，以及概率问题求解的知识综合应用等方法技能，以“主题式”单元形式，重组为“二项分布与超几何分布”单元教学内容.