赖小敏：以“基本思想”为主题的数学单元教学案例

［摘  要］ 文章以二项分布为例，探讨以“基本思想”为主题的数学单元教学案例设计，呈现从具体实例的分析到随机试验模型的抽象、从概率问题的一般求解方法的归纳到二项分布模型的辨析、从均值与方差的猜想到验证等渗透数学基本思想的教学过程设计，并从实例的丰富性、方法的一般性、路径的一致性等三个方面浅谈设计反思.

［关键词］ 二项分布；概率；教学设计

单元教学的设计与实施离不开教研团队教师之间的协作，以及智慧分享与碰撞，这一过程能让教师充分思考教学，促进教师加深对知识的理解，从而提高教师的教学能力，转变教师的教学观念. 因此，团队设计并实施了第1课时“二项分布”的教学. 下文分享教学过程设计，以待指正.

基本情况

1. 内容分析

二项分布是一类重要的概率模型，与伯努利试验、n重伯努利试验联系紧密.伯努利试验结果具有“对立性”，n重伯努利试验结果具有“不变性”和“独立性”，其上位知识是“两点分布”. 从知识生成过程来看，二项分布是特殊概率问题的研究结果，其研究过程与简单随机抽样、样本空间、事件的关系与运算、概率的基本性质与运算、古典概型等基础知识联系紧密，体现了建立概率模型的一般研究路径“引入问题情境—归纳随机试验的特征—分析随机变量X及其试验结果—推导X的分布列及其数字特征—简单应用”.

2. 学情分析

二项分布的认知基础是随机试验、随机事件、事件的概率、分布列及其数字特征等概率知识，包括学习过程中学生所积累的直观分析样本空间的经验，以及综合运用概率知识求解概率问题的一般方法，但是学生缺少从方法中提炼模型的意识与经验. 另外，虽然学生学习了均值和方差的概念、公式，但是二项分布均值和方差的公式推导需要借助组合数的性质与二项式定理，学生的逻辑推理能力有待发展.

3. 教学目标

（1）归纳两点分布的试验特征，理解伯努利试验以及n重伯努利试验的概念，感悟抽象思想.

（2）应用不同方法求解有放回随机抽样试验的概率问题，能从概率求解方法中抽象二项分布模型，积累一类概率分布列模型的数学活动研究经验，感悟推理思想、模型思想.

（3）通过例题教学，归纳应用二项分布模型解决具体问题的一般步骤，感悟模型思想、推理思想.

（4）经历二项分布数字特征的推导过程，渗透特殊与一般的数学思想方法，感悟推理思想.

4. 重点和难点

重点：n重伯努利试验，二项分布模型及其数字特征.

难点：在具体实例中抽象二项分布模型的特征，猜想与推导均值和方差的公式.

教学过程设计

1. 温故“引新”

问题1 请结合下列随机变量X的分布列，归纳两点分布的特征.

（1）抛掷一枚质地均匀的硬币1次，定义X=1，正面朝上，0，反面朝上，X的分布列为

（2）某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，现射击1次，定义X=1，中靶，0，脱靶，X的分布列为

（3）100件产品中有8件次品，从中抽取1件，定义X=1，抽到次品，0，抽到正品，X的分布列为

设计意图 组织学生观察两点分布的特征，归纳试验结果仅有两个，且为对立事件的共性. 帮助学生体会“对于一个随机试验，通常我们会关心某种试验结果的出现，将其看作‘关心事件’，其他试验结果看作‘不关心事件’”，促进学生理解伯努利试验，感悟抽象思想.

问题2 上述三个随机试验的分布列中的概率是如何得到的？

设计意图 引导学生回顾用频率估计概率的方法，体会重复进行同一个伯努利试验的过程，引出n重伯努利试验的概念，进而归纳n重伯努利试验的两个共同特征：一是同一个伯努利试验重复做n次，各次试验成功（“关心事件”发生）的概率相同；二是各次试验的结果相互独立.

概念辨析1 下面4个随机试验是n重伯努利试验吗？如果是，那么其中的伯努利试验是什么？对于每个试验，定义“成功”为事件A，那么事件A的概率是多大？重复试验的次数是多少？

（1）抛掷一枚质地均匀的硬币10次.

（2）某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次.

（3）100件产品中有8件次品，从中有放回地随机抽取4件.

（4）100件产品中有8件次品，从中不放回地随机抽取4件.

设计意图 通过对具体试验是否为n重伯努利试验的辨析，深化学生对伯努利试验结果的“对立性”，以及n重伯努利试验中每次试验结果的“独立性”和概率的“不变性”的理解，感悟模型思想.从单元教学的角度来看，第（3）（4）随机试验的判断为类比学习二项分布与超几何分布做好了铺垫.

2. 探究新知

问题3 已知100件产品中有8件次品，从中有放回地随机抽取4件. 设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列.

师生活动：先明确X可能的取值为0，1，2，3，4，再共同讨论求解思路. 思路1：从事件表示的角度出发，借助树状图直观分析试验结果的积事件、和事件，再应用概率的乘法、加法公式求解. 思路2：从样本空间的角度出发，先应用计数原理计算样本点个数，再借助古典概型求解.具体过程如下：

设计意图 以探索概率问题的一般求解方法为隐性目标，引导学生从不同角度理解随机试验，应用直观与抽象、分类与分步等数学思想方法，感悟推理思想，为抽象二项分布做铺垫.

问题4 哪种求解思路与n重伯努利试验的联系更紧密？能否统一表达求解结果？

追问 两种思路下不同的分布列表达式有什么联系？

设计意图 引导学生体会两种思路分布列结果内在本质规律的共性，再次深化对思路1组合意义的理解，进而抽象出二项分布模型，感悟模型思想.

二项分布模型之说明（概念展示，文字、符号）

①模型梳理：帮助理解模型和记忆符号等，明确伯努利试验和事件A（关心事件）的意义，强调n重伯努利试验与二项分布的对应关系.

②知识关联：对比二项分布与二项式定理的区别与联系，深化组合意义的理解.

③性质验证：应用二项式定理验证分布列概率和等于1的性质.

设计意图 通过具体实例（随机试验）与模型的对应、二项分布与二项式定理的比较，促进学生理解新知，强化模型思想.

概念辨析2 下列问题中，哪些可以用二项分布模型求解？

（1）从50名学生中随机选出5人作为代表，求甲被选中的概率.

（2）30个零件中包含3个不合格零件，从中有放回地随机抽取10个去检测，求至少有1个不合格的概率.

（3）一批二等品率为0.02的产品，从中不放回地随机抽取10件产品，设抽取的二等品数为X，求随机变量X的分布列.

（4）袋子中有大小相同的30个球，其中红球、白球、黑球各10个，从中有放回地随机摸取5个球，设摸取的5个球中红球的个数为X，求随机变量X的分布列.

设计意图 概念辨析2进一步丰富具体实例情境，通过第（1）（2）题巩固基础，通过第（3）题促进学生深入理解每次试验结果的“独立性”和概率的“不变性”，通过第（4）题促进学生深入理解试验结果的“对立性”，强化模型思想.

3. 新知应用

例1 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：

（1）恰好出现5次“正面朝上”的概率；

（2）“正面朝上”出现的频率在［0.4， 0.6］内的概率.

设计意图 例1以重复抛掷硬币10次为情境，巩固二项分布等基础知识，形成应用二项分布模型的一般步骤，即辨模型（识别n重伯努利试验），定取值（确定关心事件A发生的概率，确定重复试验的次数n，确定关心事件A发生的次数），用公式（二项分布等）.

例2 图1是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃. 将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中. 格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列.

设计意图 例2以高尔顿板试验为情境，培养学生在陌生的情境中识别模型的能力，强化“辨模型，定取值，用公式”的二项分布模型应用步骤.

4. 再探新知

探究活动 假设随机变量X服从二项分布B（n，p），那么X的均值和方差分别是什么？

师生活动：先引导学生应用特殊与一般思想方法分组考察n较小（如n=1，n=2）时随机变量X的均值和方差，进而猜想随机变量X的均值E（X）=np和方差D（X）=np（1-p）；再带领学生对均值进行验证（利用组合恒等式kC=nC突破变换难点），将方差的验证留作课后选择性作业.

设计意图 借助均值和方差的猜想与验证，体会应用数学思想方法解决数学问题的过程，一方面引导学生应用特殊与一般思想方法，经历“先猜后证”的推理过程；另一方面引导学生应用组合数性质和二项式定理等知识进行证明，从而培养学生的数学运算与逻辑推理能力，促使学生感悟推理思想.

练习 求解例1、例2中两个服从二项分布的随机变量的均值与方差.

设计意图 巩固均值和方差公式等基础知识.

5. 课堂小结

如图2所示.

设计意图 借助课堂小结概括从具体实例到随机试验模型的抽象过程，从概率问题的一般求解方法到二项分布模型的研究过程，从特殊到一般的均值和方差的猜想和验证过程；强化数学活动经验，深化数学思维和数学思想方法，促进学生注重隐性知识的学习. 同时，帮助学生梳理知识之间的联系，完善认知结构，提升归纳整理能力.

6.？摇课时评价设计

如表1所示.

设计意图 前4个题目紧扣二项分布模型以及均值、方差等基础知识，4个题目的情境复杂程度逐渐加大. 题目1、题目2重在巩固学生对基础知识的认识；题目3重在强化学生对n重伯努利试验的理解；题目4的第（1）问重在引导学生应用二项分布解决实际问题，第（2）问重在引导学生应用求解概率的一般方法解决实际问题，帮助学生积累分析试验结果的活动经验；题目5为选做题，一方面是对课堂验证方差的补充，帮助学生强化验证均值的活动经验，另一方面给数学基础较好的学生提供学习素材，因材施教.

设计反思

本节课设计关注知识的生成，重视数学思想方法在教学中的渗透. 通过设置启发性问题引导学生主动参与数学活动，帮助学生积累数学活动经验，养成良好的思维习惯. 现梳理本节课三个教学生成点如下：

1. 具体实例的丰富性

在知识生成与应用的过程中，借助大量具体实例，帮助学生辨析概念、理解模型. 通过抛掷一枚硬币、射击飞碟、有放回或无放回随机抽取产品等熟悉的情境帮助学生抽象与理解伯努利试验与n重伯努利试验；通过在三种颜色的小球中随机摸取小球、高尔顿挡板试验、同时抛掷两枚硬币、象棋比赛等较为复杂的情境深化学生对n重伯努利试验与二项分布的理解，内化模型思想.

2. 研究方法的一般性

学生首次研究n重伯努利试验的概率问题时，还没有接触二项分布知识，因此从一般的“概率的求解”的整体视角来研究特殊随机试验的分布列，再从不同思路的分析中找到思维更简洁、运算量更小的方法，进而将方法提炼成模型，使用的是从一般到特殊的研究方法；对二项分布的均值与方差的研究，体现了“先猜后证”的推理过程，使用的是从特殊到一般的研究方法，深化了推理思想.

3. 研究路径的一致性

在课堂小结的归纳整理中，将一般分布列研究路径与二项分布研究路径统一起来，深化“随机试验—随机事件（随机变量）—事件的概率（分布列）—数字特征（均值、方差）—应用”的概率分布列研究路径，将学习过程中的隐性知识文本化，深化推理思想，为超几何分布的研究路径提供了参考方向，促进学生形成良好的认知结构，树立整体知识观.

基金项目：广东省基础教育学科教研基地项目，广东省于涛名教师工作室，广东省教育研究院中小学数学专项课题“基于大观念的高中数学单元教学实践研究”（GDJY-2022-M-b124）；广东省教育科学规划课题“基于SOLO分类理论的高中数学学业质量评价的实践研究”（2021YQJK103）.

作者简介：赖小敏（1988—），本科学历，中学一级教师，广东省于涛名教师工作室成员，东莞市教学能手，从事数学教育教学研究工作.