从师生两个层面剖析“懂而不会”现象

[摘  要] 近年来，数学高考试题越来越“活”，但学生“懂而不会”的现象愈发明显，究其主要原因是：学生层面，基础知识不牢固，无法熟练应用辅助图形，知识、方法的归纳总结缺乏及时性，等等;教师层面，无视学生的实际需求，课堂缺乏变式训练，解题方法的渗透不够，等等. 为此，文章借助几个例题，具体谈一谈消除“懂而不会”现象的方法.

[关键词] 懂而不会;变式训练;解题

“懂而不会”现象是指学生能够听懂教师所讲的内容，却不会独立应用. 从学习程序来说，“懂”是学习的基本境界，“会”是较高层次. 调查发现，当前高中数学课堂中存在的“懂而不会”现象主要由两方面构成：一方面是学生自身认知发展水平的限制，无法掌握程序性知识;另一方面是教师对过程性教学的重视程度不够，没有让学生亲历知识形成与发展的过程，导致学生无法从根本上理解知识本质. 鉴于此，笔者从学生与教师两个层面，具体谈一谈“懂而不会”现象的形成因素与消除措施.

学生层面

1. 基础知识不牢固

认知策略是支配学生学习、思考与记忆的基础，而良好的认知策略源于扎实的知识基础. 然而，有不少学生存在“轻概念、重解题”的思想，导致基础知识掌握不牢固，呈现出课堂上听懂了，课后解题却漏洞百出的现象.

究其原因，主要在于这部分学生对基础概念、定理、法则等的形成过程没有一个明确的认识，而是通过死记硬背的方式去掌握概念、定理等，这种摒弃知识形成过程的学习方法，怎么可能发现知识背后所蕴含的数学思想方法与内涵呢？又怎么可能谈得上举一反三的灵活应用？

例1 判断函数f（x）=lg（x+）的奇偶性.

从奇、偶函数的定义出发，学生能够快速判断出函数f（x）=x3+x与函数f（x）=+x在各自定义域中是奇函数，但判断函数f（x）=lg（x+）的奇偶性时，却不知所措，难以下手，其中有部分学生还给出了错误的判断过程.

错解 鉴于f（-x）=lg（-x），因此f（-x）≠±f（x），由此可确定f（x）=lg（x+）为非奇非偶函数.

分析 部分学生虽然知道奇函数与偶函数的概念，却没有深入理解这两个概念的本质，以及这两个概念的内涵与外延：在一般情况下，如果函数y=f（x）对定义域D内的任意x值恒有f（x）+f（-x）=0（f（-x）-f（x）=0），那么可将函数y=f（x）称为奇（偶）函数. 还有部分学生对对数运算和无理式的有理化因式的认识不到位，导致应用时出现了五花八门的错误.

正解 鉴于R为函数f（x）=lg（x+）的定义域，定义域关于原点对称，又lg（x+）+lg（-x）=lg1=0，即f（x）+f（-x）=0，因此f（x）=lg（x+）为奇函数.

想要避免类似错误的发生，学生对概念的本质、内涵与外延都要有充分认识，并将其纳入知识体系中，建构完整的知识网络.

2. 无法熟练应用辅助图形

从心理学出发，每一个学生的认知风格不一样，有的学生倾向于听觉型，有的学生倾向于视觉型，还有的学生倾向于图形型……不同的认知风格，导致部分学生对于图形不敏感，不善于识图、画图，解题时只能看懂题意，却难以通过数形结合探寻出便捷的解题思路或方法，要么是解题过程冗长烦琐，要么是直接进入“死胡同”[1].

例2 若函数f（x）=ax，x<0，

（a-2）x+3a，x≥0于R上单调递减，则a的取值范围是什么？

错解 根据题意可知0<a<1，

a-2<0，也就是0<a<1.

分析 本题意在考查学生对函数单调性与分段函数的理解程度. 虽然学生能完整说出函数单调性与分段函数的概念，但在实际应用时又懵然不知了. 之前教师讲评过相关试题，学生当时也能听得明白，然而过一段时间又不会了. 经调查发现，本题出现错误的学生的图形识别能力与画图能力较弱，而且也没有意识到数形结合思想的重要性，导致其无法顺利结合数形完成解题.

正解 鉴于题中的函数为减函数，函数图象不存在右边高于左边的情况，因此在x=0的位置，函数第一段的最小值a0不小于第二段的最大值（a-2）·0+3a，于是有a0≥（a-2）·0+3a，

华罗庚说过，数缺形时少直观. 因此，在日常学习中，学生应加强对数形结合思想的认识，达到“见数想形、见形思数”的境界.

3. 知识、方法的归纳总结缺乏及时性

及时归纳和总结对提升认知水平具有重要影响. 学习是一个系统性过程，尤其是高中数学知识抽象程度高、覆盖面广，不论是预习、复习还是作业等，都离不开及时归纳和总结. 课堂受时间的限制，学生所获得的知识大都是零散的、孤立的，想要建构完整的、系统化的知识结构，就必须及时理清知识脉络，归纳总结所学的知识.

例3 已知实数x，y满足xy+3x=3

这是一道基本不等式题，想要解决此题只要从消元、配凑的角度去思考即可. 解完此题后，还有关键一步就是学生要将这种方法及时整合到认知结构中，当后续遇到与之类似的问题时，则能将这种方法作为通法拿出来“举一反三”，解题也就变得轻松自如了.

教师层面

1. 无视学生的实际需求

新课标明确指出学生是学习的主体，是课堂的主人. 在“以生为本”的教育理念下，不论是哪个教学环节，都应将学生放在首位. 然而，有些教师受传统教学观念的影响，依然我行我素，无视学生客观存在的个体差异，对学生暴露的思维过程选择视而不见，这样导致学生出现问题后，无法及时解决[2]. 长此以往，“懂而不会”现象越来越严重.

例4 若函数y=k（x-1）+1和函数y=的图象存在两个不同的交点，则实数k的取值范围是什么？

笔者在批阅学生的答案时，发现了如下典型错误，为了顺应这部分学生的思维，课堂上笔者与学生展开互动.

（投影学生的解题方法）消除y，可得k（x-1）+1=①，经平方后整理，可得（k2+1）x2+2k（1-k）x-2k+k2=0②. 若函数y=k（x-1）+1和函数y=的图象存在两个不同的交点，则方程②的Δ>0，也就是Δ=4k2（1-k）2-4（k2+1）（k2-2k）=8k>0，因此k>0.

师：请大家分析这种解题方法对不对，如果不对，说明理由.

生1：我认为这种解题方法是错误的，方程②存在的两个解还应该满足1-x2>0这个条件，而他只得到Δ>0显然是不准确的. 另外，这种思路的计算量太大，容易出现计算错误.

生2：本题可以借助图象法来解决. 如图1所示，函数y=k（x-1）+1的图象必然是过定点P（1，1）的直线，同时函数y=的图象必然是以点（0，0）为圆心，1为半径的圆的上半部分. 同时半圆x2+y2=1（0≤y≤1）与x轴的负半轴的交点是点M（-1，0），与y轴的交点是点N（0，1）. 因为k=0，k=，所以实数k的取值范围是

从这位学生的解题方法来看，当一元二次方程中的未知数被取值范围限制时，不能只依靠判别式Δ与0的大小来分析方程是否有两个不同的解. 从本题来看，从等式①到等式②属于不等价转化.

将学生的典型问题展示出来一起讨论，是一种顺应学生思维的教学方式. 通过对解题过程进行点评、纠正、补充与总结等，不仅强化了学生对这一类题的认识，还在不知不觉中提高了学生的解题能力，为消除“懂而不会”现象奠定了基础.

2. 课堂缺乏变式训练

《周易·系辞下》说：穷则变，变则通，通则久. 变式就是变换问题非本质特征，突出事物本质属性的过程，它对提升学生对知识的理解程度、思维灵活程度等都有促进作用. 然而，部分教师在课堂中缺乏变式训练，例题教学局限于“就题论题”，导致不少学生虽然课上听懂了，当题目发生变化时又无从下手.

出现这种情况的主要原因在于学生没有掌握到知识本质，学生对知识的发生与发展过程，对问题的演变过程等缺乏直观体验与感触. 想要改变这一现状，最好的方法就是变化原始问题的背景来构造变式，让学生能在伸缩有度的问题中灵活思考，增强解题能力.

如例1，可以结合学情编拟如下变式题.

变式题1：若f（x）=ln（+3x）为奇函数，则实数a的值是多少？

变式题2：f（x）=log（+bx）是奇函数还是偶函数？

这两个变式题基于例题发生了变化，而没有改变的本质是+bx和-bx之间是互为有理化的因式，所考查的知识点仍然为函数奇偶性的概念.

“就题论题”的教学方法，由于缺乏变式训练，导致学生对数学思想方法、解题技巧等的掌握不牢固，而变式方法的应用，则让学生从问题的“变”中探寻出“不变”的要素，这对提升学生的解题能力，促使学生感悟数学思想方法具有重要意义，也是防止“懂而不会”现象发生的关键措施.

3. 解题方法的渗透不够

有些教师在解题教学时只关注一道题的多种解题思路，对于解题方法的依据却不关注. 由于教师对解题方法本质的揭露不充分，导致学生看似能解决课堂上老师所提出的问题，但问题发生变化后却手足无措，无法应用正确的方法来完成解题.

例5 若函数f（x）=xa-，已知曲线y=f（x）上有两个不同的点可让曲线位于这两点处的切线恒与y轴呈垂直的关系，求实数a的取值范围.

不少思维能力偏弱的学生看到本题时，因无法探寻出解题思路而不得不放弃;也有部分学生在求导后便不知道该怎么继续处理，也只能放弃. 出现这些现象的主要原因在于学生对解题方法的理解不透彻. 其实，本题属于函数求导后的参数分离问题，只要利用求导知识与函数草图就能顺利解决该题.

正解 根据条件“曲线在两点处的切线恒与y轴呈垂直的关系”可知，函数存在两个极值点，也就是f′（x）=a-+=0存在两个根，解得a=. 令g（x）=，则g′（x）=，因此g（x）在（-∞，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数. 将函数g（x）的草图画出来，易得g（x）的最小值为g（2）=-，且g（x）在（2，+∞）上的值域为-，0，则-<a<0.

综上分析，教师在解题教学中有着不可估量的作用. 想要从真正意义上消除学生“懂而不会”的现象，教师本身就需要对问题有充分的理解，在此基础上启发学生的思维，引导学生发现知识的本质，提炼数学思想方法.

数学学习离不开解题，但数学学习的终极目标并不是解题，而是借助解题引导学生获得“四基”“四能”与“三会”，提升数学学科核心素养. 想要从根本上解决学生“懂而不会”的现象，就要鼓励学生在解完题后提出新的问题，因为创新是通向未知世界的最佳途径，也是让认知变得更加深刻、广泛的关键.

总之，造成“懂而不会”现象的因素有很多，这是值得每一个教育工作者探索的问题. 同时，培养学生也不是一蹴而就的事情，需要教师用好耐心、爱心，在“以生为本”的基础上不断更新自身的教学理念，反思教学方法，从真正意义上发展学生的数学学科核心素养.

参考文献：

[1] 武瑞雪，陈莹，穆妍，等. 例析造成懂而不会、会而不对现象的学生因素[J]. 中小学数学（高中版），2017（5）：50-54.

[2] 武瑞雪，魏本义，陈莹. 从“教师的视角”探讨消减懂而不会现象的策略[J]. 数学通讯，2018（2）：21-24.

作者简介：张永昌（1977—），本科学历，教育管理硕士学位，中小学高级教师，从事高中数学教学工作.