核心素养背景下求解探究性问题的方法研究

[摘  要] 探究性问题在近年高考中出现的频率越来越高，它对学生的视野、思维有着较高要求，是考核学生数学学科核心素养的重要手段之一. 文章认为：尝试与猜想是解决探究性问题的基础;联想是解决探究性问题的核心;转换是解决探究性问题的根本;对比与判断是解决探究性问题的灵魂.

[关键词] 核心素养;探究性问题;解决方法

在以学科核心素养为教学目标的大环境下，高中数学教学倡导以不同形式的学习与探究活动来激发学生的学习兴趣，让学生体会知识形成与发展的过程. 数学探究性问题在这种背景下出现的频率越来越高. 探究性问题是指通过对事物发展规律的探索，揭露其产生的因果关系与本质的问题. 纵览近年高考试题，探究性问题涵盖了数列、函数、三角与几何等多个分支，给学生思维带来了挑战.

尝试与猜想是解决探究性问题的基础

探究性问题一般都没有明确的解决方向，学生遇到这一类问题时，最好的解决策略就是从尝试开始，如特殊值的应用或特殊化的尝试等，从中初步获得猜想，而后对猜想进行分析验证.

例1 已知{a}为一个等差数列，q为等比数列{b}的公比，且a=b，a=b≠a，将S记为数列{b}的前n项和.

（1）如果a=b，且m，k为大于2的正整数，证明：S=a（m-1）;

（2）如果b=a（i为正整数），证明：q为整数，同时数列{b}的每项均为数列{a}中的项.

（3）有没有正数q能让等比数列{b}中的三项为等差数列？若有，请写出一个q值，并证明;若无，请说明理由.

解析 问题（1）（2）略.

关于问题（3），其求解关键在于探寻等比数列{b}中的某三项为等差数列. 学生初见此题，确实没有明确的解决方向，最好的办法就是“尝试法”，可快速发现解题端倪.

尝试1：分析数列{b}的前三项，即若b，b，b为等差数列，则2b=b+b，2bq=b（1+q2）. 根据b≠0，可知q=1. 结合题设条件不难获得“d≠0，且q≠1”，这与“q=1”是矛盾的，由此确定b，b，b并非等差数列.

尝试2：若b，b，b为等差数列，就有2b=b+b，2bq=b（q3+1），2q=q3+1.因为q≠1，所以q不会是整数. 此处可鼓励学生画草图进行分析. 学生在画图过程中会发现y=2q-1（q>0）与y=q3（q>0）有两个交点，也就是说方程2q=1+q3（q>0）存在两个解，分别为q1=1与q2（0<q2<1），由此猜想：q极可能为黄金分割比，也就是q=. 验证发现：在q=时，q3+1-2q=q（q2-2）+1=+1=0. 基于此，确定存在正数q，可让等比数列{b}中的三项为等差数列.

评析 两轮尝试后，初步猜想得到验证，问题得以解决. 如果第二次尝试失败，那么可取{bn}的第1项、第3项、第5项或第2项、第3项、第5项进行尝试. 其实本题还可以从“试根”的角度对q3-2q+1进行因式分解，得到q=，但这种解法超出了一般学生的思维范畴，不提倡.

通过本例不难看出，编题者对新课标理念的研究是非常透彻的，将数学美（黄金分割比）与探究灵活性展现得淋漓尽致. 对该探究性问题的思考，充分体现了学习能力与思维水平.

回顾此题的探究过程，因没有明确的探究方向，故采用“试一试”的方法去探索. 类似于此的特殊化尝试与猜想，如赋予特殊值、选择特殊点或特殊函数等，是分析探究性问题的重要渠道基础.

联想是解决探究性问题的核心

若探究性问题多次尝试无果，则需及时分析原因，转换思维，避免固执己见. 根据题设条件进行联想与转换是解决探究性问题的重要方法之一.

例2 若函数f（x）=于[-λ，λ]（λ>0）上的最大值是N，最小值是n，则N+n=______.

解析 此题是一道高三复习题，学生提出如下两种思路.

思路1：鉴于这是一道填空题，学生首先想到的是取特殊值，如x=0，x=，x=π进行计算，实践发现这些特殊值并不能明确最值N，n，这种方法失败.

思路2：借助导数对函数的单调性进行判断，实践发现求导过程异常繁杂，无法顺利获得f′（x）=0的值x.

至此，这两种思路均宣告失败，于是转换思维方向：分析分子、分母的结构，发现可通过常数分离，结合函数奇偶性与单调性求得函数最值.即=1-. 因为y=sinx是奇函数，所以g（x）=也是奇函数. 根据奇函数的性质g（-x）=-g（x），得g（x）+g（x）=0，而g（x）=1-f（x），所以1-N+（1-n）=0，即N+n=2.

评析 所谓的联想是指根据某事物而想到其他相关事物的过程，因此联想是联结新旧知识的重要方式之一. 当遇到探究性问题时，若结合已知与未知之间的联系产生联想，可实现知识的正迁移，将未知问题转化成学生认知领域内的已知问题，从而顺利解决.

联想存在接近和对立两大类，学生两次尝试失败后，联想到最值与奇偶性、单调性的相近性，最终成功解决了问题.

转换是解决探究性问题的根本

转换在数学中的应用较多，最常见的是当问题中出现两种标准量时，无法判别它们之间存在怎样的数量关系，则可以根据标准量之间的内在联系，将它们转化成统一的标准单位，即将复杂关系转换成简单关系，为解题服务. 高中阶段的数学转换包含数形转换、逻辑转换等，这是解决探究性问题的根本，它能让复杂问题简单化.

例3 若函数f（x）位于区间（-1，1）中，且f

的值为-1，当x，y∈（-1，1）时，恒有f（x）-f（y）=f

，已知数列{a}满足a=，a=.

（1）证明：f（x）于区间（-1，1）中为奇函数;

（2）f（a）的表达式是什么？

解析 遇到此类抽象的函数探究性问题时，常采用赋值法来分析. 以下为几位学生的解题思路.

（1）赋值法：令x=y=0，则f（0）=0;令x=0，则f（-y）=-f（y），即f（-x）= -f（x），确证.

（2）根据递推关系a=，求出{a}的通项公式而获得f（a）的表达式，具体尝试如下.

方法1：取倒数进行分析，即=+，失败告终.

方法2：取特殊值进行分析，如取a=，a=，a=，这组数据没有规律，学生思维卡壳.

为了启发学生的思维，教师带领学生反思：以上两种方法均为了发现a与a之间的关系，而本题的解题任务是获得f（a）的表达式，故探索a与a之间的关系就不是必不可少的环节，再观察条件f（x）-f（y）=f

，可考虑从赋值角度进行分析.

方法3：将x=a，y=a代入f（x）-f（y）=f

，可得f（a）-f（a）=f. 又f=…=f（a），所以f（a）-f（a）=f（a），即f（a）=2f（a）. 由此确定{f（a）}是一个公比为2的等比数列，则f（a）= -2n-1. 解题成功！

评析 所谓的转换就是换一个角度来思考与分析问题，高中阶段常用的数学转换包括逆向、数形和逻辑转换. 此例中，第（1）问的赋值法是学生熟悉的，而第（2）问的赋值法则难以想到，因此需要转换思维.

对比与判断是解决探究性问题的灵魂

核心素养背景下的解题讲究简洁、明了，同一道题的解法有多种，究竟哪种更便利，错误率更低呢？这就需要应用到对比与判断手法，不断优化解题思路，提升解题技巧，发展学力.

例4 如图1所示，已知平面直角坐标系xOy中存在两个圆，分别为圆C：（x+3）2+（y-1）2=4和圆C：（x-4）2+（y-5）2=4.

假设点P是该平面上的一点，且满足：过点P的无穷多对互相垂直的直线l，l，分别和圆C，C成相交的关系，已知直线l被圆C截得的弦长与直线l被圆C截得的弦长相等，请写出满足条件的所有点P的坐标.

解析 乍眼一看，本题的点P无迹可寻，究竟该如何获得它的坐标呢？

思路1：特殊化法.将圆心C，C连接起来，鉴于两圆半径相同，过点P的两条直线分别截得两圆的弦长相等，由此猜想点P有可能位于CC的垂直平分线上.

根据题设条件明确直线l1，l2为互相垂直的关系，因此可假设直线方程，但截距式与一般式都不合适.

思路2：设两点式.假设有一条直线过两点（x，y），（x，y），且点P位于该直线上，结合垂直关系，可用四个参数表示另一条直线，但运算复杂.

思路3：设斜截式. 假设l：y=kx+b，则l：y=-x+b，根据条件“截得的弦长相等”，轻易获得b，b，k之间的关系式，但求b，b需联立方程组.

思路4：设点斜式. 设点P（m，n），则l：y-n=k（x-m），l：y-n=-（x-m），即x+ky-m-nk=0. 根据条件“截得的弦长相等”，获得m，n，k之间的关系式为=（*）.

思路5：平面几何法.弦长相等与半径相等⇒PC=PC⇒点P位于线段CC的垂直平分线上;l⊥l⇒PC⊥PC⇒△PCC为一个等腰直角三角形. 联立方程组可得P，P，同时四边形PCPC为正方形.

评析 思路1是一个大致的解题方向，想要求解还需从一般方法着手. 思路2涉及多个参数，运算复杂. 思路3需要联立方程组，运算繁杂，不易成功. 思路4中，若能发现式子（∗）中的k是变量，m，n为常数，便可将问题转化成一个恒成立的问题，获得m，n之间的关系式，这是一种相对简单的解题思路. 根据式子（*），得（m-n+8）k=m+n-5或（2-m-n）k=m-n-3，由于关于k的方程有无穷多个解，因此2-m-n=0，

. 思路5在思路1的基础上，结合平面几何来分析，属于数形转换.

此题以两圆为背景，以对比的方式探究点P的坐标，获得了一个等腰直角三角形与一个正方形，构成了一幅对称的几何图形. 此题展示了数学的独特魅力：设“元”的差异性导致运算量不同，凸显其在解决探究性问题中的关键作用.

例5 已知数列{a}中的a=-1，a=2a+3n-3（n∈N*）.

（1）证明：{a+3n}是一个等比数列;

（2）数列{a}的前n项和S的值是多少？

（3）若b=，分析有没有实数k，可让数列{b}成为一个等差数列？若有，分析k值;若无，说明理由.

解析 问题（1）（2）略.

关于问题（3），把式子S=2n+1-2-代入b=，整理得b=，而后从如下几种思路去分析.

思路1：设有实数k可让数列{b}成为一个等差数列，则有b-b=-. 面对该式，没有学生愿意继续往下计算，失败告终！

思路2：特殊化法. 分别将n=1，2， 3代入b，但冗长繁杂的运算使学生望而却步. 即使有少部分学生按照这种思路解题，正确率也很低.

思路3：从结论出发去分析——既然常数k满足{b}为等差数列，则可确定数列{b}的通项公式b=-3n-3+为关于n的一次函数，所以必然等于0. 又2n+1-2是变化的，所以2-k=0，k=2. 验证发现，当k=2时，b=-3n-3，b-b=-3是常数，结论成立.

评析 数学解题以简洁美优先，前两种解题思路因为冗长的计算量而宣告失败. 面对这样的问题，我们需要转换视角来分析，那么解题就会变得简洁明了.

例4与例5的解题思路存在显著差异，不同方法导致解题过程大相径庭. 实践证明，通过对比来优化解题路径是提升解题效率，优化解题思维的重要方法. 正如庞加莱所言：创造的核心在于甄别与选择.

总之，核心素养引导数学教学重视探究性思维. 教师应带领学生开阔视野，探寻解题方法，缔造数学美.

作者简介：袁海勇（1980—），本科学历，中学一级教师，从事高中数学教学工作.