遵循课程标准 明晰运算对象

［摘  要］ 高考数学试题是落实立德树人根本任务的重要途径，对高中数学教学具有导向性意义.研究者通过研究发现2023年高考新课标Ⅱ卷第8题存在瑕疵，同类问题也出现在2023年高考全国甲卷（文科数学）第13题和2023年高考全国乙卷（理科数学）第15题.这三道高考数学试题求解等比数列公比时都没有明确的运算对象，开方运算仅得实数解，未考虑虚数解，缺乏严谨性.

［关键词］ 等比数列；实数集；复数集；开方运算

高考数学试题体现“立德树人，服务选才”核心功能，对高中数学教学有示范和引领作用. 数学试题及其解答过程都有严谨要求，特别是高考试题的严谨性备受师生关注. 笔者通过研究发现2023年高考新课标Ⅱ卷第8题存在瑕疵，同类问题在当年全国高考六套试卷中共现三次. 现整理成文，恳请读者指正.

高考试题及参考答案［1］

1. 原题呈现1

（2023年高考新课标Ⅱ卷第8题）记S为等比数列

a的前n项和，若S=-5，S=21S，则S=（  ）

A. 120 B. 85

C. -85 D. -120

解题思路 设等比数列

a的首项为a，公比为q，则S=a+aq，S=a+aq+aq2+aq3=（a+aq）+q2（a+aq）=S+Sq2=S（1+q2）.

由S=-5得S（1+q2）=-5. 又S=a+aq+aq2+aq3+aq4+aq5=（a+aq）+q2（a+aq）+q4（a+aq）=S（1+q2+q4），S=21S，所以S（1+q2+q4）=21S. 由S=a+aq=-5知S≠0，所以1+q2+q4=21，解得q2=-5（舍去），q2=4. 把q2=4代入S=S（1+q2）=-5，得S=-1. 所以，S=a+aq+aq2+aq3+aq4+aq5+aq6+aq7=（a+aq）+q2（a+aq）+q4（a+aq）+q6（a+aq）=S（1+q2+q4+q6）=-85.

故正确选项为C.

质疑 解答中，由1+q+q2=21，解得q2=-5（舍去），q2=4. 但条件未明确数列是实数数列，把q2=-5舍去无依据. 事实上，当q2=-5时，q=±i（其中i为虚数单位）. 由S=S（1+q2）= -5，得S==，S=21S=，S=S（1+q2+q4+q6）=×（1-5+25-125）= -130，也符合题意. 故S=-85或S= -130. 回顾本题的四个选项，只给出C选项“S=-85”符合题设条件，说明命题者默认数列

a为实数数列. 笔者认为，本题并没有明晰数列运算对象，题目结构严谨性有待商榷.

2. 原题呈现2

（2023年高考全国甲卷〈文科数学〉第13题）记S为等比数列｛a｝的前n项和. 若8S=7S，则｛a｝的公比为______.

试题分析 记等比数列｛a｝的公比为q.

解题思路 思路1：若q=1，则｛a｝为常值数列，a=a，此时S=6a，S=3a. 由8S=7S，得48a=21a，故a=0，与｛a｝为等比数列矛盾，因此q≠1.

由等比数列｛a｝的前n项和公式S=和题设条件，得=. 因为a≠0，所以8（1-q6）=7（1-q3）. 整理得8（q3）2-7q3-1=0，分解因式得（8q3+1）（q3-1）=0. 又q≠1，所以8q3+1=0，解得q=-.

思路2：注意到，等比数列｛a｝的前3项和不为零.事实上，S=a+a+a=a（1+q+q2），因为a≠0，且方程1+q+q2=0无实数根，所以S≠0.

S=a+a+a+a+a+a=a+a+a+q3（a+a+a）=（1+q3）S，由此可得8（1+q3）S=7S. 因为S≠0，所以8（1+q3）=7，所以q=-.

质疑 思路1中，由8q3+1=0，得q= -，是在实数范围内的开方运算. 思路2中也有同类问题，“方程1+q+q2=0无实数根”默认等比数列的公比为实数，这也是不严谨的解答过程，因为题目未说明｛a｝是实数数列. 2023年高考新课标Ⅱ卷第8题只有C选项合理可供学生选择，还算唯一答案，但本题是填空题，学生的答案就不同了. 在复数范围内对q3=-开方求解，可得三个不同答案：q=-，q=+i，q=-i. 事实上，当等比数列｛a｝的公比q=+i或q=-i时，1+q+q2=0，满足题设条件8S=7S=0. 因此，这样的数列也是客观存在的. 设想一下，在2023年的高考中，如果学生将上述三个正确结果都填写在答题卡上，那么阅卷组老师认为这是多此一举，还是全都准确呢？如果根据参考答案认为这是多此一举，那么笔者觉得对于答案是后者的学生来说显然是不公平的. 由于题目没有说明a∈R，因此由q3=-求解q就应该有三个解，这才是学生思维缜密的具体体现，也是高考数学试题考查的目标之一. 如果认为两种结果都正确的话，那么是不是说明题设条件不是十分明确呢？高考对十二年苦读的学生至关重要，反思命题，应更科学严谨. 巧合的是，同类问题也出现在2023年高考全国乙卷（理科数学）中.

3. 原题呈现3

（2023年高考全国乙卷〈理科数学〉第15题）已知｛a｝为等比数列，aaa=aa，aa=-8，则a=________.

解题思路 设等比数列｛a｝的公比为q.由等比数列的性质和题设条件可知，aaa=aa=aa，故a=1，即a=. 从而aa=q15=-8. 因此a=q5==-2.

质疑 题目同样没有交代数列｛a｝是实数数列，而解答思路中的开方运算也是在实数范围内进行的，因此本题的参考答案也存在争议.

同一年三套全国高考试卷出现了同类题型，说明该题型所承载的数学问题和数学能力的考查十分重要.网上查找同类型试题，提供的参考答案和2023年高考试题提供的解题思路基本一致，也就是说，在数列问题上，如果题目中没有交代数列是实数数列，那么大家就理所当然地默认题目中的数列是实数数列，难道理应如此吗？笔者认为不妥，特别是对中学数学教学有着引领意义的全国高考数学试题，是不是应该重视其表述呢？

课程标准对数学运算的阐述

查阅历年的高考数学试题，借助数列这一概念重点考查学生的运算和思维能力屡见不鲜，特别是借助等比数列考查学生分析问题、归纳问题和递推运算等基本能力.数学运算是数学学科六大核心素养之一. 《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（下文简称新课标）对数学运算做了如下阐述：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养. 主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等. 通过运算促进数学思维发展，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神［2］. 可以肯定的是，数学运算的前提是明确对象，并依据相应的运算法则完成运算. 回顾2023年高考数学试卷中的这三道有关等比数列的试题，没有明确数学运算对象，参考答案理所当然地认为题目中的数列是实数数列，这是片面的、不严谨的.

数学运算不是简单的数字运算. 数学运算不仅要厘清运算思路，活用运算法则，选择运算方法，更重要的是要明确运算对象. 倘若按照试题提供的参考答案，把在实数范围内解得的结果判为正确，而把在复数范围内运算的结果判为错误，那么高中数学教学又怎样遵循新课标的要求，培养学生一丝不苟、严谨求实的科学精神呢？怎样在传统评分的基础上，根据新课标和解题情况评价学生的数学学科核心素养水平呢？

高中教材对数列定义的描述

随着中国新课改的全面实施，新课标成为教材撰写、教学和评估的重要依据，国内相继出现了多种不同版本的普通高中数学教科书，它们对新课标所涉及的高中数学知识都有系统、科学的安排. 当然，一些知识出现顺序有差异，比如数列知识和复数知识的安排，有些教科书是数列在前，复数在后，而有些教科书则相反.

笔者所在地区使用的普通高中数学教科书是由人民教育出版社、课程教材研究所和中学数学课程教材研究开发中心联合编著的人教A版（2019）教科书，复数内容安排在必修第二册第七章，数列内容安排在选择性必修第二册第四章. 从教材使用顺序来说，复数内容通常安排在数列内容之前，也就是说学生学习数列知识时，数学运算已经从实数域扩充到复数域，学生已经具备基本的复数知识体系. 一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列（sequence of number），数列中的每一个数叫做这个数列的项［3］. 按照知识体系的系统安排，这里数列的定义毫无疑问是复数域内的定义，也就是说数列中的每一个数指的是复数.因此，这里所涉及的数列如果没有特别说明，数列中的每一项既可以是实数，也可以是虚数.

与人教A版教科书配套的教师教学用书上有这样的说明：一般来说，公比q可以是任意一个不等于0的常数，但在中学阶段只考虑公比q为实数的情形而不涉及虚数［4］. 因此，高中教师在讲解数列概念时，肯定要讲清楚数列的每一项既可以是实数，也可以是虚数，只不过高中阶段在处理数列问题时不涉及等比数列的公比为虚数的情况，这也就说明了等比数列的公比事实上可以为虚数. 考虑到高中数列知识的演绎过程，在高中课程中处理数列问题时，可能就忽略了数列的每一项可以是虚数这个客观事实. 作为高考数学试题的数列问题，是不是可以默认数列就是实数数列，而忽略数列的每一项可以是虚数呢？答案当然是否定的，必须在复数集中解决数列问题. 为避免误会，高考数学试题的表述应更加严谨，运算对象应更加清晰.

结束语

科学的数学试题，结构和叙述必须具备合理性、严谨性和清晰性. 2020年教育部颁布的《中国高考评价体系》强调高考试题应加强学生学科素养、关键能力的考查［5］，因此，高考数学试题应确保科学严谨，表述规范，无可争议，无懈可击，充分发挥高考数学试题立德树人、服务选才、引导教学的作用.

作为重要的基础学科，数学不仅是运算和推理的工具，还是表达和交流的语言［2］，高考数学试题应该也必须具有较高的信度、效度和区分度，才能彰显其举足轻重的选拔功能.面对高考选人育人的重要任务和必然要求，教育者应在新课标的指引下，结合高中数学课程的教育功能，强化思想认识，主动认知研究，提高高考数学试题的可行性、科学性和严谨性，落实立德树人根本任务，增强高考数学试题的选人育人功能.

参考文献：

［1］ 教育部教育考试院. 高考试题分析（数学）［M］.北京：语文出版社，2024.

［2］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［3］ 人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心. 普通高中数学教科书（选择性必修第二册）（A版）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［4］ 人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心. 普通高中数学教科书·教师教学用书（选择性必修第二册）（A版）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［5］ 教育部考试中心. 中国高考评价体系［M］. 北京：人民教育出版社，2019.