精心预设 动态生成

［摘  要］ 研究者以“两角差的余弦公式”教学为例，分别从“返璞归真，互动引入”“逐步完善公式证明”“向量法证明公式”等方面展开分析，旨在使课堂预设更加灵活，突出动态生成与精心设计.

［关键词］ 预设；动态生成；教学

布鲁姆认为：如果所有结果都能预料到，那么教育就不能称为一门艺术了. 确实，每一个学生都是独立个体，拥有独特的想象力与创造力，而且课堂具有一定的多变性特征，因此不论多么精心的预设都有可能出现“意外”. 教师应打破“照本宣科”“照章办事”的理念，在精心预设的基础上，灵活应对课堂变化，想方设法让课堂动态生成. 本文以“两角差的余弦公式”教学为例，探讨使课堂动态生成的基本方式.

教学实录

1. 返璞归真，互动引入

课堂是师生、生生间交互的场所，教师是课堂的“导演”而非“主演”，学生才是“主角”. 从教学目标视角来看，课堂具有现场性和动态性，学习氛围、条件与状态等都有可能发生变化. 因此，教师在设定教学目标时，需要将这些弹性因素考虑进去. 此外，课堂环境相对封闭，故教师应结合学生的最近发展区适当地升降预设目标，为高价值目标的生成提供充足空间.

当教学遇见意外情况时，若教师坚持预设思路，则难引学生共鸣，只有顺应学生思维灵活应对，才能让课堂真正生成.

问题1 你们觉得如何用正弦值和余弦值来表示cos（α-β）？

生1：我认为可以先猜想结论，再证明结论.

师：这个想法不错，那先从简要结论出发进行推测吧. cos（α-β）是否等于cosα-cosβ呢？

生2：借助特殊值进行检验，当α，β的值分别为和0时，发现cos（α-β）≠cosα-cosβ，因此该结论不成立.

生3：观察其结构，α-β的余弦cos（α-β）就是一个整体，因此任意角的余弦值不能简单应用乘法分配律进行处理.

师：很不错，两位同学分别从特殊角度和一般角度分析了问题，否认了这种猜想. 之前我们接触过三角函数的诱导公式，现在我们就一起从特殊角着手进行分析，看看cos（α-β）究竟等于什么. 先来研究角α取π，2π，0，，时cos（α-β）的情况.

学生以小组合作的方式积极互动、交流，得到如下结论：①当角α取π，2π，0时，cos（α-β）=cosαcosβ；②当角α取，时，cos（α-β）=sinαsinβ.

师：从你们的研究中，我看到了智慧的火花，关于cos（α-β）的结论，能否统一表示？

生4：鉴于上述两个结论在给定条件下不能相互转换，是不是说明cos（α-β）所表达的式子并非单项式，而是与sinαsinβ和cosαcosβ都有所联系？

生5：由于sinkπ=cos

kπ+

=0（k∈Z），故猜想cos（α-β）=sinαsinβ+cosαcosβ.

问题2 有道理，该怎样验证这个猜想呢？

生5：同样取几个特殊值试一试就知道了.

至此，两角差的余弦公式在师生积极互动与交流中自动生成. 当教师准备结束这个话题时，有学生举手，表示自己有新的想法.

生6：结合上述分析可知，cos（α-β）的表示式与sinαsinβ和cosαcosβ都相关，猜想cos（α-β）可表示为xcosαcosβ+ysinαsinβ+zf（α，β）（x，y，z为待定常数），f（α，β）是关于角α，β的一个函数.

师：这个想法比较全面深刻，是否准确呢？

学生自主验证，获得x=y=1的结论，并经讨论认为zf（α，β）的值为0.

2. 逐步完善公式证明

在证明两角差的余弦公式时，预设方法如下：①从三角函数线的角度分析，在锐角范围下明确公式成立后，直接推广至任意角. ②利用向量进行证明. ③利用两点间的距离，构造全等三角形进行证明.

师：如果我们想把猜想转变成真理，那么实践检验是关键. 每一条猜想，都需要通过证明才能归纳成定理或公式. 当α，β，α-β都是锐角时，公式cos（α-β）=sinαsinβ+cosαcosβ是成立的. 想要明确此公式对于任意角是否也成立，需要进一步推广验证.

问题3 现在我们把α，β推广至任意角. 如图1所示，以x轴非负半轴为始边逆时针旋转作任意角α，其终边与单位圆相交于点Q；以OQ为始边顺时针旋转作任意角β，其终边与单位圆相交于点P. 过点P作PM垂直x轴于M，作PA垂直OQ于A，过点A作AB垂直x轴于B. 如何使用角α，β的三角函数线来表示角α-β的余弦线OM呢？

话音刚落，学生们纷纷露出恍然大悟的表情：cos（α-β）=MO=BO+BM=BO+PC=AOcosα+APsinα=sinαsinβ+cosαcosβ.

从本质上来说，课堂教学就是互动与合作的过程，随着思维、知识与价值取向的碰撞，课堂变得更加灵动、智慧. 教师切忌一成不变地按照预设实施教学，而应结合学生在课堂中的真实反馈及时调整教学策略，让课堂在交互与资源共享中有机生成.

3. 向量法证明公式

从动态生成的角度来看，教师在实施教学活动前要“理解教学”，对整体的教学布局有一个理性、清晰的认识，设置弹性化的课堂预设. 在实际教学中，教师在课堂上应留有较大的自由度与包容度，做好“教学指导”与“信息重组”的工作.

高中数学课堂的内容多、信息量大，如果没有跟上教学思路很可能忽略很多东西. 教师一定要手脑耳并用，科学合理运用信息，达成预设目标. 学生对数学知识的理解，反映的主要是思维结果，而非原始发现者的认知过程. 复归学生思维，有助于学生完善知识结构.

师：通过以上推导，我们都能感受到，利用三角函数线证明两角差的余弦公式并不容易. 我们观察一下两角差的余弦公式左、右两边的结构，探寻它们之间存在怎样的相似点. 可否构造向量来证明？同时分析你的证明对任意角是否成立？

生7：可以构造向量进行证明.

生8：任意角α，β的终边与单位圆的交点坐标为A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），由此可得向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ）. 因为终边OA，OB的夹角θ=2kπ±（α-β），k∈Z，根据向量的数量积公式可得cosθ=cosαcosβ+sinαsinβ. 结合诱导公式化简，得cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，其中α，β是任意角.

师：很好，不论采用何种方法，均蕴含一种什么数学思想？

生9：转化与化归思想.

师：不错，转化思想是一种重要的数学思想方法，后续遇到一些新问题时，可从转化的角度来分析，这对提升解题能力具有重要意义.

4. 公式的应用

学以致用是教学的关键环节，通过预设来完成教学目标，首先需要充分了解学情，借助一定的教学手段激疑启思，这是调控课堂，促进课堂生成的基本前提. 实践告诉我们，在知识应用阶段，不能单纯地依靠模仿，而应遵循教学规律选择一些合适的例题进行引导.

例题 如果cos（α-β）=，则（sinα-sinβ）2+（cosα-cosβ）2的值是多少？

学生一见到问题就提出：可逆向应用两角差的余弦公式，即展开待求式子，将sinαsinβ+cosαcosβ视为一个整体，可得答案为.

解决例题的过程实则为促进学生生长知识的过程，这对提升学生学习的主体意识、积极性和创造性具有重大意义. 教师在预设时认为，学生在解决此题时可能出现一些障碍，因此设置了两道变式题，以降低问题难度，提升学生的理解力. 但实践证明，该预设是多余的，学生在解决此题时表现出了较好的状态. 为了进一步夯实学生的知识基础，发展学生的应用能力，教师与学生又互动如下：

师：请大家充分发挥自己的想象，说一说（sinα-sinβ）2+（cosα-cosβ）2与cos（α-β）可能存在怎样的关系.

生10：或许跟两点间的距离公式有关.

师：能否用两点间的距离公式对两角差的余弦公式进行证明呢？

生11：如图2所示，在平面直角坐标系内，作单位圆和角α，β，角α，β的始边都是Ox，终边则分别与单位圆相交于点Q（cosα，sinα），P（cosβ，sinβ），则PQ2=（sinα-sinβ）2+（cosα-cosβ）2.

师：若想获得cos（α-β）的表达式，则需探寻到与弦PQ等长的弦.

生12：将角α的终边OQ反向旋转β至OQ的位置，那么射线OQ就是角α-β的终边.同时∠QOP=∠QOP，则△QOP≌△QOP，因此

Q

P=QP.

教师充分肯定了学生的剖析过程，并要求学生顺应这个思路完成后面的学习任务.

教学思考

1. 学生始终占有主体性地位

课堂是师生积极互动的主阵地，任何预设与生成都要在“以生为本”的基础上进行. 课堂的“主角”一直是学生，教师的主要任务就是想方设法启发学生思维，让学生自主尝试从多维度发现并研究问题，这是激发学生学习主观能动性的基础，也是增强知识纵横联系的关键，对培养学生的参与意识有重要影响.

本节课，教学过程由教师引导，学生独立思考与合作交流，亲历“两角差的余弦公式”的形成与发展. 由于新知建构由学生主动完成，因此记忆更加深刻，尤其体现在公式证明与应用方面. 由此也能看出，将学生视为课堂主人，鼓励学生积极主动地参与课堂活动，可有效激发学生的智慧，为完善认知架构，发展数学能力创造基础.

2. 处理好预设与动态生成的关系

高质量的课堂都是开放性的课堂，静态预设是动态生成的前提与保障. 教学中难以预料所有状况，精心预设也无法完全把控. 教学推进更多取决于学生在课堂中的参与程度与教师处理突发事件的策略. 教师需妥善处理预设与生成的关系，以应对突发情况，避免慌乱. 程式化教学不利于课堂动态生成.

纵观本节课教学，逻辑清晰、层次分明，学生在一个个精心预设的问题下，激发潜能，不仅自主夯实了知识基础，还有效发展了“四能”，促进学力的发展. 但在教学的第四个环节“公式的应用”，教师预设与学生实际认知出现了偏差，教师因为低估学力，所设计的问题比较简单，致使学生毫无挑战性. 面对这一现状，教师根据学情及时调整教学方案，有效避免无效教学现象. 这种在课堂上灵活应对的教学手法，不仅展现教师深厚的教学功底和卓越的职业素养，还凸显处理好预设与生成关系的重要性.

3. 高质量的预设促进动态生成

课堂动态生成并不是否定预设，而是挑战预设，智慧生成源于高质量预设. 如本节课，教师对推导两角差的余弦公式精心预设了三种方法，结合学情和教情将这三种方法整合在一起，促进课堂的动态生成，取得了较好的成效. 此环节成功源于课前精心预设，准备充分，整合应用时才能游刃有余.

总的来说，正如建构主义理论所阐述的那样：学生所掌握的知识并非完全依赖于教师的直接传授，实际上，他们通过自己的生活经验主动构建了许多知识. 因此，教师不能仅仅从自己的主观角度出发，去替代学生的真实思维过程. 这句话深刻地提醒我们，学生的认知经验对学习具有重要影响. 因此，教师在精心策划和设计课堂教学活动时，必须客观分析学生的学习情况和教学的实际情况，根据教学目标和学生需求来设计相应的教学活动. 这样的做法是促使课堂上知识动态生成和学生思维活跃的关键所在.