厘清逻辑,活用教材,回归原点
作者： 郑敏杰
[摘 要] 打造一堂高质量的课，不仅需要教师站在学科整体的角度把握知识的内在逻辑，更需要精准分析学情，活用数学教材，回归教学原点，厘清教学逻辑，促进学生积极探究，主动建构，发展学生的创造性思维，提升学生对概念深入理解及方法应用能力.
[关键词] 教学逻辑;认知结构;教学原点
缘起
笔者有幸在区教学研讨活动中开设了一堂“二项式定理”示范课. 本节课在教学设计及教学实施中以凸显学生的自主探究、合作交流、知识建构为首要任务，同时将促进学生深度学习的目标融入课堂活动，得到了各位同事的高度评价. 下面把本节课的“教材研读”（教材指人教A版〈2019〉选择性必修第三册，后同）“教学设计”“课堂实施”和“教学反思”的过程分享给大家，期待指正.
教材设计的基本结构
教材对二项式定理的教学是按照如图1所示的知识结构展开的.
教材将看似不相关的计数原理与多项式运算联系在一起，从计数原理视角看各项系数，让学生在体会知识的内在逻辑的同时，感受数学的巧妙与简洁，体现概念的联系性与数学的整体性.
同时，为了帮助学生主动探索与建构二项式定理的概念，教材在引入二项式定理时设置了相应探究（如图2所示）. 这一设计既尊重二项式定理的历史演变过程，又符合学生学习新概念的一般路径，即从特殊到一般、从具体到抽象，符合大多数学生对新概念的认知规律，也是教师把握教学逻辑的重要依据.
教材设计的教学现实思考
在教材开展二项式定理探究活动前，学生具备哪些认知基础？学生面对探究中的问题串会有哪些关注维度？会朝着怎样的方向推进探究？本节课作为应用计数原理的一节课，是将新知（二项式定理）纳入旧知（计数原理）的探索，还是在计数原理视野下探索新知？通过这些问题的思考，笔者对教材设计有以下两点疑惑.
疑惑1 与学生思维的自然路径的偏差.
学生在初中时学过完全平方和运算，对（a+b）2的展开式了然于心，对（a+b）3的展开式也有一定的了解. 在学生的头脑中，具体的推导方法是（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，因此学生对（a+b）4的展开自然会联想到降幂处理：（a+b）4=（a+b）3（a+b）=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，或者（a+b）4=（a+b）2（a+b）2=…. 学生对教材“探究”中的由n=2，3到n=4的运算，关注的要素是降幂、去括号、合并同类项，是学生自然的想法，会无视计数原理的应用，也正是基于这样的惯性思维，导致学生的探究偏离了用计数原理探究二项式定理的初衷.
疑惑2 与定理的教学逻辑的偏差.
学生需依次经历计数原理应用、系数探究、定理归纳与推导三个层次，这些层次在逻辑上是线性递进的. 其中，第一层次是探究基石，是实现跨领域的视角转换;第二层次是探究核心，起着承上启下的作用;第三层次是以第二层次为基础的归纳、猜想、结论性仿写等. 但是大部分学生在面对整个探究任务时，关注角度与探究导向并不吻合（学生关注的是n=2，3时各项系数的数值规律）. 此外，学生的思维未必会像探究设计那样线性递进，特别是当学生看到n=2，3时的完整展开式，他们可能会预期n=4的结果也是具体数值的展开式. 这种探究可能导致学生思维偏离，难以与计数原理联系起来. 原因是学生被目标驱动，专注于运算结果，而难以对展开式中各项的形成进行理性分析.
在学生的目标与心理的双重驱使下，在探究活动中，容易出现运算在前，意识（计数原理应用意识）在后的情况，即运算与计数原理无法形成链接. 也正是由于意识的滞后，使得探究活动难以持续推进，而且显得拖沓冗长，影响课时（40分钟）的完整性，难免有头重脚轻之感. 如果前置处理计数原理应用意识，那么有助于学生集中探究，避免无关信息的干扰，使活动更有序. 可实施以下三个环节进行探究.
（1）建立模型：教材中直接让学生观察（a+b）2，（a+b）3的展开式，这不利于学生理解探究的前两个层次的逻辑，因此教学可以从（a+b）（a+b）（a+b）的展开式中每一项的构成以及项个数的确认开始. 由展开运算中的“各取一数相乘”，自然地与（分步）计数原理形成链接. 此外，对于认识和理解能力偏弱的学生，还可以帮助其建立“取球”模型，即从3个盒子（编号i的盒子中有两个不同的球a，b，i=1，2，3）中各取一球（即数）相乘，得到的结果就是（a+b）（a+b）·（a+b）的展开式中的项. 模型化计数问题有助于学生直观理解、简化操作，并且便于应用和迁移二项式定理，还能帮助学生理解后续的概率知识.
（2）模型应用：有了计数模型的支持，探索（a+b）3的展开式的各项系数就水到渠成了. （a+b）3=（a+b）（a+b）（a+b），即3个盒子中都放有a，b两球（两数），由于展开式的各项形式是a3-kbk（k=0，1，2，3），故只需从3个盒子中选k个盒子出b球（数），其余出a球（数），得到的项系数为C（k=0，1，2， 3），所以（a+b）3=Ca3+Ca2b+Cab2+Cb3.
（3）模型释义：对于（a+b）n的展开，可利用计数模型，对n=3进行仿写.（a+b）n=[][n个括号相乘]，即n个盒子中都放有a，b两球（两数），由于展开式的各项形式是an-kbk（k=0，1，2，…，n），故只需从n个盒子中选k个盒子出b球（数），其余出a球（数），得到的项系数为C（k=0，1，2，…，n），所以（a+b）n=Can+Can-1b+…+Can-kbk+…+Cbn（n∈N*）.
教学过程
1. 问题导入，构建模型
问题1 展开（a+b）（a+b），每一项是怎样构成的？共有几项？
设计意图 从运算角度出发，明确多项式是如何相乘的，体会展开式中的项是如何得到的，从而引导学生用计数原理分析多项式乘积展开. 抽象出相应的计数模型，帮助学生建立多项式运算与计数原理之间的联系.
生1：（a+b）（a+b）=aa+ab+ab+bb，每一项分别是从2个括号中各取一数相乘得到的，共4项.
追问1：若展开（a+b）（a+b）（a+b），共有几项？
生1：有8项.
追问2：能对项数4，8的成因做进一步的解释吗？
生1：应该是22，23，如果是n个括号内两数相乘，展开式有2n项. 因为是从每一个括号内各取一数相乘，共有n个2，所以有2n项.
追问3：生1对项数的研究用了什么原理？
众答：分步乘法计数原理.
追问4：能否从分步乘法计数原理的角度对这个问题重新解读一下？
生2：（a+b）（a+b）（a+b）的3个括号可以理解为3个不同的盒子，每一个盒子里有2个数，从每一个盒子里各取1个数相乘，所得的结果就是展开式中的项，其中取法总数是23，所以有23项.
2. 应用模型，探求系数
问题2 展开（a+b）3，能产生哪些项？各项的系数如何？
设计意图 从运算角度出发，应用计数模型探索展开式的各项系数，并将系数符号化（用组合数表示各项系数），让学生体验到应用计数模型的“巧”，感受数学的整体性.
根据学生对前一问题的探究经验，完成填空：（a+b）3=__a3+__a2b+__ab2+__b3.
生3：（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3.
生4：（a+b）3=Ca3+Ca2b+Cab2+Cb3.
追问：展开（a+b）4，能产生哪些项？各项的系数如何？
生5：（a+b）4=Ca4+Ca3b+Ca2b2+Cab3+Cb4.
3. 应用模型，推导定理
问题3 观察（a+b）3和（a+b）4的展开式，你有何启发？
组织学生同桌交流，猜想一般性结论：（a+b）n=Can+Can-1b+…+C·an-kbk+…+Cbn（n∈N*）.
问题4 如何说明猜想的正确性？
设计意图 学生通过观察和归纳n=3和n=4的展开式，进行猜想和论证，体验从特殊到一般的探究方法. 再次借用计数模型解释（a+b）n=Can+Can-1b+…+Can-kbk+…+Cbn（n∈N*）的正确性，帮助学生从直觉思维向理性思维转变.
问题5 展开式结构显示了何种规律？
设计意图 组织学生分组讨论，从整体性与局部性两个角度观察展开式的结构特征，通过分析、归纳，概括出展开式的项数、各项的次数特征、幂指数的变化规律、二项式系数的变化规律、展开式的通项等，给出二项式、二项展开式、二项式系数、二项展开式的通项等概念，引导学生用数学语言描述定理，理解定理内涵，并点明等式（a+b）n=Can+Can-1b+…+Can-kbk+…+Cbn（n∈N*）即二项式定理.
4. 历史演变，感悟魅力
图3反映了二项式定理产生、完备和推广所走过的漫长历程.
设计意图 欣赏数学史，领略数学的魅力，感受数学家对数学研究的孜孜追求与不懈努力.
5. 定理应用，多维链接
问题6 在二项式定理中，令a=1，b=x，能得到怎样的结果？
设计意图 对二项展开式进行变换，引导学生体会定理中的字母a，b只是一种符号，可以是数，也可以是代数式，只要具备（a+b）n的形式，就可以用二项式定理写出展开式，帮助学生加深对定理的理解. 此外，从函数角度看，y=Can+Can-1b+…+Can-kbk+…+Cbn（n∈N*）就是一个关于a或b的n次多项式函数，这有助于研究二项式系数的性质.
追问：计算1+2·C+22·C+23·C+…+2n·C的结果.
设计意图 通过逆用二项式定理，加固学生对二项式定理结构的认识，同时从函数角度看：若f（x）=（1+x）n=1+Cx+Cx2+…+Cxk+…+Cxn，则1+2·C+22·C+23·C+…+2n·C=f（2）=（1+2）n=3n.
例1 求
x+
的展开式. （教材例1的变式）
追问：展开式的常数项是第几项？是多少？
例2 求
2x-
的展开式的第4项. （教材例2（2）的变式）
追问：展开式中是否存在常数项（有理项）？若存在，求出该项;若不存在，说明理由.
设计意图 学生通过运算掌握二项展开式和通项公式，理解特定项的系数与二项式系数的区别. 通过例2体会负号对展开式、通项公式带来的变化.
6. 变式拓展，回归原点
例3 求
x++2
的展开式中含x2的项. （教材复习参考题6第5（5）题的变式）
方法1 转化为二项式：
x++2
=
2+
x+
，其展开式的通项为T=C27-k
x+
（k=0，1，…，7）. 又
x+
的展开式的通项为P=Cxk-2r（r=0，1，…，k），要求含x2的项，则k-2r=2（k=0，1，…，7，r=0，1，…，k），解得k=2，
r=0，或k=4，
r=1，或k=6，
r=2.所以含x2的项为C·25·C·x2+C·23·C·x2+C·2·C·x2=2002x2.
方法2 转化为二项式：不妨设x>0，则
x++2
=
+
，其展开式的通项为T=C（）14-2k=Cx7-k（k=0，1，…，14）. 所以含x2的项为Cx2，即2002x2.