单元教学视角下苏教版与人教B版教材课时内容的对比研究
作者： 徐红兵 李青
[摘 要] 教材是教师贯彻落实国家课程理念、开展课堂教学活动的关键依据.文章基于单元教学视角，从教材分析和新知构建两个维度，对苏教版与人教B版教材中“直线与方程”单元的“点到直线的距离”一节内容进行对比研究. 目的在于更好地将单元教学与课时教学相衔接，从而推动数学学科核心素养在课时教学中落地生根.
[关键词] 单元教学;对比研究;苏教版教材;人教B版教材
研究背景
《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》明确指出：普通高中的培养目标是进一步提升学生综合素质，着力发展核心素养. 新的目标呼唤新的理念，单元教学随即成为教学研究热点. 这是因为单元教学有利于从整体上规划学生核心素养的发展，有利于借助大背景、大问题、大思路和大框架进行高观点统领、思想性引导和结构化关联，能有效规避传统课时教学的碎片化. 然而，单元教学的理念和目标必须通过具体的课时教学来落实. 教师在进行课时教学时，其主要依据是教材中明确的课时内容. 因此，有必要基于单元教学视角对教材课时内容进行对比研究，以便更好地将单元教学与课时教学相衔接，从而推动数学学科核心素养在课时教学中落地生根.
教材又称课本，是按照课程标准编制的、系统反映学科内容的教学用书，是教师贯彻落实国家课程理念、开展课堂教学活动的关键依据. 目前，按照新课标编纂的新教材已开始在全国各地逐步推广使用，对课程改革的推进起到了关键作用. 一线教师如何从整体上阅读新教材、分析新教材、理解新教材，并在单元教学框架下把握好课时教学的内容和目标，是当前“三新”背景下使用新教材的主要问题. 本文基于单元教学视角，从教材分析和新知构建两个维度，对苏教版与人教B版教材中“直线与方程”单元的“点到直线的距离”一节内容进行对比研究，探究教材使用过程中所面临问题的解决策略.
研究内容
1. 教材分析
为了顺利实施单元教学，教师必须明确单元教学核心概念，厘清单元教学主线，把握单元教学与课时教学的逻辑关系，将单元教学目标分解到课时教学目标中，将课时教学置于单元教学的逻辑框架中，推动核心素养在课时教学中落地生根. 为此，本文从单元间的联系、单元的整体结构、单元与课时的逻辑关系三个方面分析教材的课时内容.
（1）单元间的联系
两版教材在单元编排的顺序上有所不同，苏教版教材将“直线与方程”单元安排在选择性必修第一册第1章，距离必修第二册的“平面向量”单元较远，后续单元是“圆与方程”“圆锥曲线与方程”. 人教B版教材将“直线与方程”单元安排在选择性必修第一册第2章，编排在选择性必修第一册“空间向量与立体几何”单元之后，后续单元是“圆及其方程”“曲线与方程”. 由于两版教材在单元的编排顺序上有所不同，因此学生建构知识体系的路径就有差异，探究新知的思想方法各有特色.
（2）单元的整体结构
“直线与方程”是高中平面解析几何的开篇之章，学生在本单元中将学会建立坐标系，用坐标、方程等知识来刻画点、直线，研究点、直线的性质和位置关系，将几何问题代数化，再通过处理代数问题，分析代数结果的几何意义，最终解决几何问题. 在本单元的学习过程中，学生将感受“以形助数，以数解形”的理念，初步体会数形结合是研究解析几何的一般思路和基本思想，形成研究解析几何的一般观念，为后续学习圆与方程、圆锥曲线等章节做铺垫.
两版教材的单元整体结构基本相同，都是围绕“如何建立直线的方程”“如何利用直线的方程研究直线的性质”这两个基本问题建构单元教学内容的. 在具体课时内容的划分上有所区别，各有特色. 苏教版教材通过“直线的斜率与倾斜角”“直线的方程”“两条直线的平行与垂直”“两条直线的交点”以及“平面上的距离”这五节内容的编排，构建了整个单元的结构. 该结构体现了在几何问题代数化的过程中，引入坐标法的策略. 通过直线的方程来探究直线的性质，学生将逐步体验、感悟并掌握运用坐标法研究几何问题的独特之处. 人教B版教材依据“坐标法”和“直线及其方程”两大主题来划分章节内容，再将“直线及其方程”细分为“直线的倾斜角与斜率”“直线的方程”“两条直线的位置关系”以及“点到直线的距离”四个小节. 通过建立平面直角坐标系，人教B版教材首先引导学生解决几个平面几何问题，以此来介绍坐标法的独特之处. 随后，运用坐标法来探究直线的方程及其性质.
（3）单元与课时的逻辑关系
单元教学与课时教学是整体与部分的关系，单元教学的目标需通过课时教学来达成，课时教学应具备单元整体视角，并融入单元教学的整体框架之中，从而构建一个前后连贯、相互呼应的有机整体. “点到直线的距离”在“直线与方程”单元中起着承上启下的作用，它不仅体现了前面章节关于直线方程知识和方法的实际应用，同时也为后续学习“圆与方程”“圆锥曲线与方程”等单元奠定了研究解析几何所必需的基础知识、核心技能和价值取向. 推导点到直线的距离公式，首先需借助两条直线的垂直关系来确定直线的方程. 接着，通过联立方程组来求解这两条直线的交点. 最后，通过一系列的化简、变形、转化与化归等步骤，得到点到直线的距离公式. 在解析几何的后续单元学习中，化简、变形、转化与化归等步骤的应用非常广泛. 因此，教师在授课时应深刻理解这些步骤的重要性，并精心规划教学活动，以确保教学目标得以有效实现.
2. 新知构建
（1）构建新知的思维模式
两版教材均遵循从特殊到一般的逻辑顺序来探究点到直线的距离公式. 具体而言，它们首先针对特定问题进行研究，以发现解决问题的策略，随后将这些策略扩展应用到更普遍的问题解决过程中. 这种从具体案例出发，进而归纳出一般性解决方案，是数学领域中探究问题时常用的一种思维模式.
苏教版教材先给出一个具体的数学问题：已知点P（2，4）和直线l：5x+4y-7=0，探求点P到直线l的距离.如图1所示，过点P作PE⊥l，垂足为E，则点P到直线l的距离就是线段PE的长. 通过对这一问题的优化，得到解决此类问题的一般方法后，再研究一般性问题：如图2所示，已知直线l：Ax+By+C=0（A≠0，B≠0）和直线l外一点P（x，y），求点P到直线l的距离.
人教B版教材也是先给出一个具体的数学问题：已知点P（-1，2）和直线l：2x+y-5=0，探求点P到直线l的距离.同样通过对这一问题的优化，得到解决此类问题的一般方法后，再探究一般性问题的解法.
（2）构建新知的数学思想方法
两版教材在探究点到直线的距离公式的过程中使用的数学知识和思想方法各有侧重、各具特色.
苏教版教材侧重于平面几何知识，在转化与化归数学思想的指引下，作两条与坐标轴平行的辅助线，构造直角三角形，利用三角形等面积法和勾股定理推导点到直线的距离公式. 具体过程如下：如图2所示，过点P（x0，y0）作PQ⊥l，垂足为Q. 过点P作y轴、x轴的垂线，分别交l于点M（x，y），N（x，y）. 由Ax+By+C=0，Ax+By+C=0得x=，y=，则PM=
，PN=
. 利用三角形等面积法和勾股定理可得PQ==，即==. 将PM，PN代入上式得=，即PQ=.
人教B版教材侧重于利用向量知识推导点到直线的距离公式. 具体过程如下：已知P（x，y），求P到直线l：Ax+By+C=0的距离d. 设P（x，y）是直线l上的点，且PP⊥l，由向量知识可得方程B（x-x）-A（y-y）=0①. 如果联立Ax+By+C=0求出x，y，再代入d=求出d，将是运算非常烦琐的过程. 注意到，要求出d=，只需求出x-x与y-y的平方和即可. 基于对求解目标的分析，在方程Ax+By+C=0的左右两边同时减去Ax，By，并整理得A（x-x）+B（y-y）=-（Ax+By+C）②. 将①与②的两边同时平方后相加可得（A2+B2）[（x-x）2+（y-y）2]=（Ax+By+C）2，因此点到直线的距离公式d=.
研究结论及启示
1. 研究结论
（1）构建知识体系的异同
在构建知识体系的过程中，两版教材均尊重学生的认知规律，从学生已有的认知结构出发，采用从特殊到一般的探究思路来研究点到直线的距离公式. 在推导点到直线的距离公式时，这两版教材所借助的知识和方法各具特色.
苏教版教材以点斜式直线方程为起点，通过联立直线方程求解交点，进而运用两点间的距离公式来计算点到直线的距离. 在此基础上，教材改进了算法：先构建直角三角形，将求解斜线段的长度转化为计算水平线段和垂直线段的长度，然后利用等面积法和勾股定理，推导出点到直线的距离公式.
人教B版教材巧妙地运用向量知识来构建直线方程组，并通过解方程组确定交点. 接着，利用两点间的距离公式，计算出点到直线的距离. 在此基础上，教材优化了方程组的求解过程，即针对求解目标的代数形式，对方程进行适当的变形，从而从整体结构上有效地推导出点到直线的距离公式.
（2）培养数学学科核心素养的异同
苏教版教材通过构造直角三角形，将求解斜线段的长度转化为计算水平线段和垂直线段的长度，为圆锥曲线中一般弦长公式和焦点弦长公式的推导奠定了思想方法基础. 通过观察PM，PN的代数式结构，采取取倒数的方法将PQ=的计算转化为=的计算. 经过这样的变形处理，不仅简化了分式的直接通分运算过程，还减少了计算步骤，提高了运算效率. 这有助于加强学生的计算能力，丰富他们的解题经验，并强化他们的转化与化归思想.
人教B版教材运用向量知识构造出关于点P坐标的方程B（x-x）-A（y-y）=0，接着根据求解目标对方程Ax+By+C=0进行变形，然后对这两个方程进行平方相加运算，最终推导出点到直线的距离公式.
两版教材在构建知识的过程中，都能够依据解析几何大单元的核心教学目标，注重解析几何中数学思想方法的渗透，提升学生的关键能力，培养学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.
2. 教学启示
学生的数学学科核心素养水平的提升并非一蹴而就，它有阶段性、连续性和整合性等特征. 教师应理解不同数学学科核心素养水平的具体要求，不仅要关注主题、单元的教学目标，还要关注每一节课的教学目标，明确这些目标对于促进学生数学学科核心素养发展的重要性.基于此，在进行课时教学时，教师应基于单元教学目标，以单元核心概念和单元核心思想方法为主线，对教材进行加工、整合，提升课时教学效率，促进学生数学学科核心素养的发展.
（1）以单元核心概念为主线整合教材，促进学生知识体系的结构化
单元核心概念这条主线是单元各知识生成和发展的逻辑线，是单元知识体系构建和发展的主动脉，是“四基”的主要载体，是培养学生数学学科核心素养的孕育地、生成源和发展点. 目前，教材普遍以显性知识为基础，构建了分层次的课程体系，这些课程具有固有的课时特性. 然而，不同课时内容之间的逻辑联系往往不够紧密. 因此，教师应当以单元核心概念的生成为主线，贯穿并组织教材内容，实施课时教学，以促进学生对知识和方法的结构化理解.
“直线与方程”单元的核心概念是直线方程，整章内容以“直线”为载体展开，在平面直角坐标系中，探索确定直线的几何要素，建立直线的方程，运用方程研究它们的几何性质及其位置关系. 点到直线的距离既是由单元核心概念生成的新知，也是单元核心概念的具体运用. 另外，它为后续圆锥曲线的弦长公式的推导提供了一种更加上位的知识方法——“化斜为直”. 基于此，本课时的教学目标为：推导点到直线的距离公式，并揭示推导过程中蕴含的知识与方法，帮助学生构建知识体系，促进学生知识体系的结构化.
例如，圆锥曲线的一般弦长公式为AB=
x
-x=·
y
-y（直线AB的斜率存在且不为零）. 弦长公式的推导就是借助两点间的距离公式，利用坐标代换、化斜为直等数学方法转化实现的. 其推导过程为：设直线AB的方程为y=kx+m，A（x，y），B（x，y），则AB=. 因为y-y=k（x-x），所以AB=·