关注知识形成过程　发展数学核心素养

[摘  要] 课堂上给学生留下充足的思考时间，为学生创造更多的提问、探索与表达的机会，可有效发散学生的思维，培养学生的学科核心素养. 文章以“指数函数”的教学为例，从“情境创设，激发探究兴趣”“积极互动，揭露知识本质”“例题分析，增强应用意识”“回顾反思，提炼总结升华”四个方面展开教学设计与分析.

[关键词] 过程;核心素养;指数函数

随着新课改的推进，发展学科核心素养已成为各门学科教学的主要任务. 高中数学教学，该如何引导学生经历知识的形成过程，以发展学生的数学学科核心素养呢？笔者认为，为学生提供充足的思考时间，将课堂提问的权利、探索过程以及表达的机会都留给学生，可有效提高学生的逻辑推理能力，让学生从真正意义上掌握概念的内涵与外延，实现深度学习，提升学力. 本文以“指数函数”为例，谈谈如何实践这一教学理念.

教学简录

1. 情境创设，激发探究兴趣

情境1 统计显示，某市在2023年共产生了1千万吨垃圾，如果以年均8%的速度增长，那么在2024年该市大约会产生多少垃圾？2025年呢？如果将2024年记为第一年，该市第x年产生的垃圾量为y，请写出x与y之间的关系式.

对于学生而言，这个情境问题的难度不大. 学生很快就计算出该市在2024年产生的垃圾量为1.08千万吨，在2025年产生的垃圾量为1.082千万吨;关系式为y=1.08x（x∈N*）.

情境2 有人说，将一张普通的纸张连续对折64次，能搭建起地球通向月球的阶梯. 对于这个说法，大家觉得可信度是多少？现在请大家取出白纸自主折叠，在折叠过程中探索对折次数x与对折后纸张的层数y之间的关系，并写出关系式. 若白纸的面积是1，经过多次对折后，每层纸张的面积y与对折次数x之间存在怎样的关系？用式子表达出来.

对于这个情境问题，学生通过思考与交流，得到对折次数x与对折后纸张的层数y之间的关系式为y=2x（x∈N*）;每层纸张的面积y与对折次数x之间的关系式为y=

x（x∈N*）.

设计意图 上述两个情境与学生的生活有一定的联系. 情境1的提出，一方面引发学生对本节课所学内容的探索兴趣，另一方面引发学生的环保意识，让学生切身感知当前的垃圾产量巨大，对未来生活会产生较大的负面影响，因此需做好日常的垃圾分类工作，争取做一个环保达人. 关于情境2，学生并不陌生，但要写出相应的关系式，需要通过思考与交流. 这两个情境成功吸引了学生的思维，使其聚焦于教学主题，为后续教学活动的开展做好了铺垫.

2. 积极互动，揭露知识本质

（1）探索指数函数的一般形式

师：借助以上两个情境，咱们获得了几个关系式？

生1：三个关系式：y=1.08x（x∈N*），y=2x（x∈N*）与y=

x（x∈N*）.

师：如果将关系式中的“x∈N*”改成“x∈R”，那么这三个关系式能否构成x与y的函数表达式呢？

学生给出肯定的答案，因为每一个确定的x，均存在唯一确定的y和它对应. 在此基础上，教师要求学生说一说这三个函数表达式的共同特征. 学生经交流和补充，列举了以下三个特征：三个函数表达式均为指数式，x均位于指数上，底数均为常数.

师：能否根据以上特征，写出此类函数的一般形式？

生2：y=ax.

师：咱们观察这个函数表达式，可见底数是常数，自变量位于指数上，但它的定义域是什么呢？

生3：应该是实数集R.

师：类似于y=ax（x∈R）的函数，就是我们即将重点探索的一种新函数——指数函数（板书：指数函数）. 现在请大家列举一些指数函数.

生4：如y=a3，y=a-5等.

生5：我认为生4所举的这两个例子不对，因为这两个函数表达式不符合指数函数的定义. 指数函数的指数是自变量x，但这两个函数的指数均为常数.

师：谁来列举一些指数函数的例子？

生6：如y=3x，y=1x，y=（）x.

生7：还可以补充一些，如y=

，y=（-3）x，y=0x.

生8：他们列举的函数虽然都符合y=ax的形式，但都没有提及定义域.

师：很好！是不是大家列举的所有函数的定义域均为R呢？现在请大家合作讨论.

学生合作讨论后获得结论为：y=0x并不满足定义域为R的要求，当x≤0时，该式就没有实际意义了;y=（-2）x也不满足定义域为R的要求，因为（-2）=无意义;而y=1x的结论恒为y=1，此为一个常数函数.

师：y=1x为常数函数是之前研究的内容，本节课不再继续探索，这里我们明确规定指数函数y=ax中a>0且a≠1（板书强调底数的取值范围）.

设计意图 借助情境问题所构建的函数表达式，探索指数函数的一般形式，整个过程自然、朴实、流畅. 在师生积极且深入的互动交流下，学生清晰地把握了函数的定义域问题. 这种引导方式与新课标所倡导的“以生为本”“自主学习”等理念不谋而合.

（2）探索指数函数的性质

师：基于以上探索，大家对指数函数的概念已经有了初步认识.若想进一步研究指数函数，根据以往的学习经验，接下来该研究什么呢？

生（众）：指数函数的性质.

师：结合以往咱们研究一次函数、二次函数以及反比例函数的经验，大家觉得可从何处着手来研究指数函数的性质？

生9：可从函数图象着手来研究. 根据以往的经验，通过列表、描点、连线可画出指数函数的图象.

师：非常好！将学习方法与经验迁移到新知的学习中，这就是数学能力的体现. 现在请你们自主选择1～2个指数函数，在自己的小方格纸上画出其图象.

要求前后桌四位学生画不一样的指数函数图象，画完图象后，重点说一说自己所画的图象的异同点.

生10：我发现四个同学所画的指数函数图象均过点（0，1）.

师：关于指数函数的图象过点（0，1），有没有办法证明？

生10：因为a0=1（a>0，且a≠1），所以指数函数的图象均过点（0，1）.

师：不错，关于指数函数的特征，还有其他发现吗？

生11：若指数函数的底数为整数，其图象从左往右呈上升趋势;若底数为分数，其图象从左往右呈下降趋势.

生12：这么表达不严谨，应该是：当a>1时，指数函数y=ax的图象从左往右呈上升趋势;而当0<a<1时，指数函数y=ax的图象从左往右呈下降趋势.

师：这两位同学的结论究竟正不正确呢？接下来我们一起借助几何画板进行验证.

利用几何画板的直观演示功能，展示指数函数的底数a取值变化时，其图象的变化情况，并在同一个坐标系内作以下几组指数函数的图象：y=2x和y=

;y=3x和y=

;y=10x和y=

.

师：通过图象展示，大家觉得谁的结论更准确一些？根据图象演示，你们从中有没有发现新的特征？

生13：生12的说法更准确. 通过图象观察，发现指数函数y=ax（a>0，且a≠1）的图象一直处于x轴的上方，且无限趋近于x轴.

生14：我发现指数函数y=ax和y=

（a>0，且a≠1）的图象具有关于y轴对称的特点.

生15：指数函数的底数越大，其位于第一象限内的图象就越往上，但在第二象限则刚好相反.

……

教师充分肯定学生的发现，并将学生的发现逐条罗列出来，整理为指数函数的性质，并板书.

设计意图 引导学生结合其他函数的探索经验，自主进入指数函数性质的探索中来. 随着经验的迁移与图象的辅助，学生的思维在由浅入深的探索中逐渐明朗. 教师将学生发现的各个性质整合在一起板书出来，可进一步深化学生对指数函数性质的理解，提升学生的思考能力，为后续灵活应用夯实基础.

（3）探索指数函数的值域与单调性

师：函数图象处于x轴的上方，可以看出函数的什么性质？

生16：可见函数的值域是（0，+∞）.

（教师板书值域）

师：升、降趋势分别对应函数的什么性质？该怎样描述？

生17：升、降趋势分别对应函数的递增、递减性，也就是当a>1时，指数函数y=ax在区间（-∞，+∞）上单调递增;当0<a<1时，指数函数y=ax在（-∞，+∞）上单调递减. （教师板书指数函数的单调性）

师：以上所获得的指数函数的性质，都是通过观察图象而来的，还缺乏严谨的证明过程. 但证明过程涉及一些我们尚未接触的内容，因此将其放在以后进行探索. 请大家将本节课所掌握的指数函数的定义、图象、性质等整理到表格中.

设计意图 值域与单调性是指数函数的重要性质，在后续解决一些综合性问题时涉及较多，因此需着重加以引导，并要求学生将对应内容整理到表格中. 帮助学生进一步梳理知识结构，完善知识架构，形成良好的辨析能力，为接下来的实际应用奠定基础.

3. 例题分析，增强应用意识

多媒体展示如下式子，要求学生比较各组式子的大小：①23.2，22.5;②0.8-1.5，0.8-1.2;③0.81.2，1.50.3.

对于①②组的大小比较，大部分学生根据函数y=2x与y=0.8x的单调性，可顺利解决. 但对于③组，则需要进行深入的探索. 由于③组中的式子的底数与指数均不一样，因此只构造一个指数函数显然无法比较大小. 为了解决这一问题，有学生提出将0.81.2转化为（0.84）0.3，并在同一坐标系内画出y=1.5x与y=（0.84）x的图象，通过对x=0.3时对应点的纵坐标的比较，获得结论：1.50.3>（0.84）0.3=0.81.2.

除此之外，还可以构造两个指数函数y=1.5x，y=0.8x，将它们的图象画在同一个坐标系内，通过对x=0.3与x=1.2时对应点的纵坐标的比较，可知1.50.3>0.81.2.

基于以上分析，还有学生提出：可根据指数函数的单调性分别构造y=1.5x，y=0.8x，则1.50.3>1.50=1，0.81.2<0.80=1，因此1.50.3>0.81.2.

设计意图 此问意在发展学生的应用意识，增强学生的应变能力. 通过指数幂的大小比较，学生不仅获得良好的解题能力，还在解题过程中不断优化思维，提升理解与分析能力，此为发展数学学科核心素养的基础. 尤其是中间量的发现，使得解题过程更加便捷，凸显了数学思维的灵活性.

4. 回顾反思，提炼总结升华

鼓励学生自主总结本节课学习了指数函数的哪些知识，应用了哪些研究方法与数学思想等，并在课堂尾声留下思考与探索问题，以满足不同认知水平学生的发展需求.

思考：对于情境2，若想让折叠后的每层纸张的面积均小于0.05，至少需折叠几次？

探索：情境2中提到“将一张普通的纸张连续对折64次，能搭建起地球通向月球的阶梯”，这句话正确吗？（设地球与月球的距离为38.4×104 km）.

设计意图 本节课学习了指数函数的定义、性质与应用等，涉及数形结合、特殊到一般、具体到抽象等数学思想，对教学内容的总结和回顾可进一步夯实知识基础，完善知识体系. 而思考与探索问题的提出，为学生留下了悬念，激趣的同时进一步拓宽学生的思维.

思考感悟

打造自然、朴实、智慧、高效的课堂是促进教育高质量发展的基础，也是提升数学学科核心素养的关键. 好的问题情境，一般选择与学生生活相关的素材作为背景，学生基于这种背景更容易培养出良好的建模能力和“三会”能力.

本节课，以“社会热点问题——垃圾的产量”“趣味性问题——纸张折叠形成的高度”为情境素材，成功激发了学生的探索欲，并增强了他们的环保意识. 随着问题的探索与研究，学生不仅明晰了指数函数的相关知识，还获得了良好的数学迁移能力以及“四基”“四能”. 这些都是发展数学学科核心素养的基石.

总之，秉持“以生为本”的教学理念，践行深度学习，能够为学生开辟更为广阔的思考与探索空间，不断发散学生的思维，挖掘学生的潜能，提升学生的推理能力与创新能力，为培养学生可持续性发展能力与关键性人格品质做铺垫.