整体性数学思维方式下的单元教学

[摘  要] 随着新课改的深入实施，整体性思维在数学教学中的应用变得日益频繁. 通过基于整体性思维模式来设计单元教学，能够显著提高教学效果，并为学生认知结构的完善打下坚实的基础. 文章以“三角函数的概念”教学为例，分别从概念界定、教学分析、教学实施与教学思考四个方面展开实践与研究.

[关键词] 整体性思维;单元教学;三角函数

在整体性思维方式的指导下，单元教学模式作为新课改的具体体现，激发了教育工作者的灵感. 这种模式鼓励学生主动参与课堂活动和思考过程，对提升学生的学习能力和思维素质发挥着关键作用. 笔者基于实际教学和学习情况，对这种教学模式进行了深入的探索和研究，并取得了显著的成果.

核心概念界定

1. 整体性思维

整体性思维属于辩证逻辑思维中的一类独立思维，具备连续性、立体性与系统性特征. 连续性指将研究对象视为不断发展的延续过程;立体性指基于纵、横两个维度观察事物属性，揭露诸多因素之间错综复杂的关系结构;系统性指综合分析事物本质，根据其层次结构构建完整的认知网络，获得事物的全貌. 数学整体思维指从全局的维度全面观察数学事物本质的过程，即用“集成”的眼光观察数学图形、式子、概念等，将它们视为具有内在关系的整体.

2. 单元教学

单元教学指基于章节或单元的视角，根据学情与知识特点综合应用各种教学策略提升教学成效的一种教学模式. 单元教学应遵循整体性、相关性、阶梯性与综合性原则，基于宏观视角设定教学目标，并拟定相应的教学方案. 每个教学活动都应紧密围绕教学目标进行，特别是问题的设计，应遵循由浅入深、循序渐进的原则. 这是提升学生整体性思维、发展学生数学学科核心素养的重要途径之一.

整体性思维方式下单元教学模式的分析

1. 教学模式

根据整体性思维的特点与单元教学所遵循的原则，笔者参考钟启泉教授基于核心素养的单元教学设计理念，确定整体性思维方式下数学概念课单元教学模式（见图1）.

2. 教学流程

本节课以“三角函数的概念”教学为例，基于单元整体视角设计教学活动，旨在让学生通过一节课的学习掌握一类概念的研究方法. 如图2所示，笔者从整体性思维出发，根据概念教学的普适性从图中所示的几方面设计教学活动.

3. 教学思路

本节课综合考虑学生的学习情况、教师的教学状况以及考试要求，主要采用启发式教学方法，旨在激发学生运用整体性思维，从单元整体的角度出发，鼓励他们自主观察、探索和思考问题. 在教学中，使用GeoGebra软件辅助教学，引导学生通过亲身体验概念的构建和演变，掌握传统的概念学习技巧，为培养数学学科核心素养奠定基础.

教学简录

1. 创设情境，引入概念

数学概念一般都比较抽象，有些学生即使能流畅地背诵概念，却无法从真正意义上理解概念的内涵与外延. 丰富的教学情境可激发学生的学习兴趣，让学生从生活经验出发触及概念本质，从而产生主动探索概念的内驱力[1].

通过PPT展示摩天轮，引导学生利用个人认知经验理解圆周运动的普遍性，并呈现图3（单位圆模型），揭露“点P逆时针围绕点O作匀速圆周运动”为其特点，同时提出相关问题.

问题1 如何准确地刻画点P的位置变化？

生1：可从点P与点O的位置关系来刻画点P的位置变化.

生2：可从角α的大小对点P的位置的影响进行分析.

师：想法都很好，究竟哪种方法更合适一些呢？

师生讨论，最终认同生2的方法更合适一些，因为角α可清晰地体现点P的运动轨迹.

设计意图 摩天轮作为学生感兴趣的生活事物，可以作为课堂引入的起点. 这样的做法不仅能够激发学生的好奇心和探索欲，而且有助于学生理解单位圆概念. 通过数形结合，学生能够亲身体验到数学与日常生活的紧密联系，并且理解到任意角的概念是如何从实际生活中抽象而来的.

2. 探究新知，生成概念

整体性思维下的新知探究需发挥好学生的主体性作用，如借助问题链逐层递进地引发学生深思，让学生深刻理解概念的内涵. 同时，采用合作交流的方式，为学生提供广泛的思考和交流机会，这不仅有助于建立学习自信，也是实现深度学习的有效途径.

问题2 基于之前探索函数的经验，你们认为可以使用哪种函数模型来描述上述运动规律？具体而言，我们应采用哪种方法进行研究？

生3：在解决函数模型问题时，通常需要构建一个平面直角坐标系. 本问题涉及任意角，因此还需要利用单位圆来进行分析.

师：很好！如图4所示，请大家求角α分别为，，时的点P的坐标.

要求两名学生板演，其余学生自主完成，教师加强巡视，鼓励同桌之间互相验证结论正确与否.

追问1：大家在分析点P的坐标时，运用了哪些先前学习的知识？能否详细描述一下探索的具体步骤？

生4：用到了直角三角形的性质，以α等于为例，过点P作x轴的垂线，M为垂足，则从直角三角形的性质出发，探索Rt△PMO，可顺利获得点P的坐标.

追问2：每一个角α所对应的点P的坐标具有唯一性吗？

生5：考虑到单位圆的半径不会发生变化，点P的坐标与角α的大小相关，因此每一个角α所对应的点P的坐标具有唯一性.

问题3 （用GeoGebra软件对运动变化过程进行演示）请大家观察角α的终边与单元圆的交点P，尝试用函数来描述这种对应关系.

生6：对于R内的任意角α，其终边OP与单位圆的交点P具有唯一性，主要关系如下：任意角α与唯一的实数x相对应，任意角α与唯一的实数y相对应，x，y均处于[-1，1]内.

师：非常好！哪位同学愿意归纳一下？

生7：两个对应关系均是“R→[-1， 1]”的函数，即对于任意角α∈R，其终边与单位圆的交点P的坐标均具有确定的唯一性，因此，点P的横坐标x与纵坐标y均为角α的函数.

师：不错！现在请大家一起来看什么是三角函数（用PPT展示三角函数的定义）.

设计意图 追问1旨在通过引导，让学生利用已有知识和经验来思考问题. 追问2则着重于让学生理解对应关系的唯一性，熟悉从特殊到一般的思想方法，明确任意角与单位圆上点坐标之间的对应关系，为引出三角函数的定义打下基础. 问题3结合代数与几何，引导学生深入理解函数关系以及三角函数的定义，并为培养学生数学抽象能力创造了条件.

3. 概念辨析，强化概念

问题4 谁来具体谈谈正弦函数、余弦函数和正切函数是什么？

生8：任意角α所对应的点P的纵坐标y是角α的正弦函数，横坐标x是角α的余弦函数，纵坐标y与横坐标x的比值是角α的正切函数.

师：有没有需要补充的？

生9：当点P的横坐标x=0时，角α的终边位于y轴，α=+kπ（k∈Z），此时tanα=没有意义. 因此，须在“纵坐标y与横坐标x的比值是角α的正切函数”中添加“x≠0”的条件.

追问1：sinα，cosα，tanα分别代表什么？

生10：sinα，cosα，tanα分别代表角α与单位圆交点的纵坐标y、横坐标x，以及纵坐标y与横坐标x的比值.

追问2：任意角三角函数的定义域分别是什么？

生11：正弦函数和余弦函数的定义域均为实数集，正切函数的定义域为xx≠

+kπ，k∈Z .

追问3：分析任意角三角函数与锐角三角函数的定义的区别.

生12：直角三角形是锐角三角函数的基础，因为明确为锐角，故各边长比值均为正数;任意角三角函数涉及任意角与单位圆的交点坐标，存在为负数的情况.

设计意图 该环节旨在帮助学生清晰理解三角函数的符号、关系和定义域，为建立全面的认知结构打下坚实基础. 同时，需要特别关注任意角为轴线角的特殊性. 通过这样的设计，旨在深化学生对三角函数的理解，并培养他们思维的严谨性. 通过对比两种三角函数，引导学生连接新旧知识，为灵活应用做准备，同时培养学生的类比思维和逻辑推理能力.

4. 例题巩固，应用概念

例1 求的正弦函数值、余弦函数值与正切函数值.

例2 已知（x，y）为任意角α的终边上任意点P（与原点不重合）的坐标，r为原点O与点P的距离. 求证：sinα=，cosα=，tanα=.

例3 讨论时钟上时针在圆周运动时，各个准点所对应的三角函数值.

例4 请自行列举一些生活中可以用三角函数模型刻画的圆周运动变化的例子.

设计意图 例1旨在让学生掌握使用概念求三角函数值的基本方法;例2通过相似关系的分析，加深学生对三角函数的理解，并巩固知识基础;例3和例4则鼓励学生运用所学知识解释日常现象，揭示数学与生活的联系，促进学生发展“四能”和“三会”.

5. 总结提升，反思概念

要求学生从以下三个维度进行总结与反思：①梳理三角函数概念的形成过程;②提炼本节课所采用的探究方法，并感悟锐角三角函数与任意角三角函数的区别与联系;③反思整个学习过程，总结其中遇到的问题.

设计意图 回顾课堂教学和研究方法，有助于厘清知识逻辑结构，明确函数教学主线，培养反思和总结能力.

教学思考

传统数学教学关注点在学生的知识掌握程度上，而新课标理念下的数学教学不仅要关注“四基”与“四能”的发展，还要注重培养学生的数学逻辑推理、抽象、直观想象等综合素养[2]. 采用整体性思维来设计单元教学，能够满足新课标下对数学教学的需求. 因此，这是一个值得深入探讨和研究的课题.

笔者依据整体性思维的原则，针对教学内容的特性，精心设计了教学方案. 该方案引导学生全面经历概念的引入、构建、辨识、应用以及反思各个环节，确保在每个环节中，学生都置于学习中心. 学生通过独立思考、积极探究以及合作交流的方式，探索新旧知识之间的联系，这不仅有助于他们完善认知结构，还逐步培养他们的数学思维能力.

核心素养导向下的单元教学需要整体性思维. 概念教学不能期望学生迅速全面掌握，因为数学是系统性学科，知识间有联系. 只有引导学生从整体视角实践探索，才能有效连接新旧知识，完善认知体系，促进数学学科核心素养的发展.

参考文献：

[1] 邵臻. 高中数学“六何导图”教学研究[D].聊城大学，2021.

[2] 李平. 例谈如何在数学化的过程中渗透数学建模：以“三角函数的概念”教学为例[J]. 韶关学院学报，2021，42（6）：103-108.