大观念指引下的概念教学的实践与思考

[摘  要] 数学概念是建构数学知识体系的核心，其在数学教学中的地位和价值是不言而喻的. 在概念教学中，教师应充分发挥大观念持久性、可迁移性的优势，创造机会让学生经历概念形成、发展与应用的过程，以此促进知识联结与建构，培养学生可持续学习能力，提升学生的思维品质.

[关键词] 概念教学;大观念;思维品质

在概念教学中，教师可引导学生通过观察、分析、探究和合作来体验概念的形成、发展与应用，从而帮助学生积累数学活动经验，提高学生的数学能力，发展学生的数学素养. 本文以“弧度制”的教学为例，探讨大观念指导下的概念教学方法.

教学设计

在弧度制的教学中，若教师仅介绍概念和换算方法，不引导学生理解概念的形成和演变，则会导致学生将其视为简单的度量单位，不利于学生深入学习和应用. 弧度制是三角函数中的关键概念，它促进了几何与代数的融合，方便了问题的解决. 教师可利用历史背景，引导学生理解弧度制的起源和发展，以增强学生对弧度制的理解和教学效果.

1. 设置情境，提出问题

师：我们班男生谁最高？猜猜他有多高.

生1：1米85.

生2：187厘米.

师：同学们分别用米和厘米来度量身高，你们知道古代人是用什么来度量身高的吗？

生齐声答：尺.

师：很好，我们可以用米、尺等单位来度量长度. 那么，质量可以用什么单位来度量呢？

生3：吨、千克、斤、磅.

师：角可以用什么单位来度量呢？

生4：度、分、秒.

师：还有没有其他单位可以用来度量角呢？（学生窃窃私语）

师：今天，我们一起来学习度量角的另一种单位制——弧度制.

师：结合学习角度制的经验，你们认为研究弧度制应从何开始？（学生沉思）

生5：定义单位角.

师：说得很好，弧度制是如何定义单位角的呢？要解决这个问题还需要从角度制谈起，古巴比伦人以圆为载体，给出了1°角的定义，即将圆周分成360等份，每一份圆弧所对的圆心角的大小就是1°.

设计意图 从学生熟悉的长度和质量的度量单位谈起，自然引出度量角的另一种单位制——弧度制. 在教学中，教师引导学生类比角度制，确定弧度制的研究方向.

2. 问题探究，提出概念

师：现以圆为载体，思考这样一个问题：在圆中，什么量与圆心角的大小有关呢？

生齐声答：半径r和弧长l.

探究1 在角度制中，半径r、弧长l和圆心角n°之间有着怎样的关系呢？

生6：l=.

师：可以用r和l表示n吗？

生7：n=.

师：继续变形得n=·，由此你发现了什么？

生8：是大于0的常数，是实数，n与成正比关系.

师：非常棒的发现. 数学家欧拉以等分圆周为切入口，提出了弧度制，今天我们跟随他的脚步一起来探索弧度制.

师：欧拉将圆周二等分、四等分，得到了表1所示的数据. 结合表1不难发现，是π，这样的实数，显然与角度制中的180°，90°有所不同，于是欧拉就用π来表示二分之一的圆所对的圆心角，用表示四分之一的圆所对的圆心角.

师：结合表1及自己的探究结果，你们认为可以如何定义单位角的大小呢？

生9：取等于r的弧长l，得=1，这样定义单位角可使运算更简洁.

设计意图 教师引导学生结合已有知识将半径、弧长、圆心角建立联系，继而让学生理解用来度量角的大小的合理性. 在此基础上，教师引导学生从“最简”的角度出发，理解取等于r的弧长l去定义单位角的科学性.

3. 动手操作，形成概念

师：如何画长度为r的弧长呢？（教师引导学生利用“化直为曲”的思想得到一段长度等于半径长的圆弧，并动画演示这一操作过程. ）

师：这段长度等于r的圆弧所对的圆心角有多大呢？如果让你画出1弧度的角和2弧度的角，你会吗？

教师预留时间让学生动手操作，使其直观感知1弧度的角和2弧度的角的大小. 在此基础上，教师再给出一些相关规定，如在不引起误解的前提下，可以将1 rad，π rad分别写成1，π.

设计意图 通过动手操作让学生直观感知1弧度的角和2弧度的角的大小，引导学生抽象概括弧度制的定义.

4. 总结概括，深化概念

师：已知弧长l和半径r，你能求出α的弧度数吗？

师生活动：在教师的启发和引导下，学生通过独立思考、合作交流，最终确定用α=来表示α的弧度数.其中，若α为正角，则α=;若α为负角，则α=-.

探究2 弧度制和角度制都是度量角的单位，两者是否可以相互转化呢？（学生自主探究）

设计意图 此环节，教师基于学生的认知体系，引导学生独立思考、自主探究、合作交流，促进学生内化知识.

5. 精选练习，理解概念

例1 把下列弧度化为角度：

（1）;（2）4.5.

例2 把下列角度化为弧度：

（1）142°;（2）11°15′.

解题时，教师让学生独立思考，并展示规范的解题过程.

探究3 在弧度制下，如何表示弧长和扇形面积？

生10：由弧长公式l=得l=αr，由扇形面积公式S=得S=αr2.

师：很好，还可以用其他方法转化吗？

生11：由α=得l=αr，S=lr=αr2.

师：可见，弧度制下的弧长公式和扇形面积公式简化了. 值得注意的是，在扇形面积公式中，α≤2π.

设计意图 理解角度制和弧度制，掌握它们之间的转化，认识它们的区别和联系，以加深对这些概念的理解.

6. 沟通联系，拓展概念

探究4 在弧度制下，建立角的集合与实数集R之间的一一对应的关系，猜一猜，建立这样的对应关系有何深意呢？

设计意图 引导学生关注蕴含其中的一一对应的关系，体验弧度制的优越性，为后续学习三角函数打下坚实的基础.

7. 课堂小结，优化认知

师：通过本节课的学习，你掌握了哪些知识？习得了哪些技巧？还有哪些疑问？

设计意图 教师安排时间让学生深入反思和回顾，总结所学知识，提炼关键方法，分享经验，培养反思习惯，优化认知结构，提升数学素养.

教学反思

1. 大观念促进知识理解，揭示概念本质

在弧度制的概念教学中，教师没有直接给出定义，而是引导学生经历概念形成和演变的过程，让学生认清弧度制和角度制的实质就是划分圆周. 在教学中，教师依托历史事实，引导学生沿着古人的足迹探索弧度制，教会他们以发展的眼光审视世界，从而培养他们的创新意识.

2. 大观念促进知识联结，提升数学素养

在探究弧度制的过程中，教师基于学生的认知体系，引导他们回顾1°角的定义，并以等分圆周作为切入点，为新知的探索指明了方向. 教师结合教学实际设计探究性活动，引导学生经历从具体到抽象、从特殊到一般的思维过程，以此培养学生的数学抽象思维能力，并让学生深刻理解在大观念框架下知识迁移的重要性.

3. 大观念促进知识建构，提升思维品质

在本节课中，教师设计与教学实际相符的问题，引导学生在解决问题的过程中理解并深化概念，体验弧度制的优势，同时培养学生的数学抽象、逻辑分析和直观想象能力. 教师还创造机会让学生独立思考、合作交流、相互评价，以此不断完善探究过程，提高学生学习的积极性，促进学生思维能力的发展.

总之，在大观念的引导下，课堂教学需减少套路化的应用，增加学生自主发现和探究的机会，引领学生深入概念的形成与演化，辅助学生构建系统性的知识结构，助力学生获得持久且可迁移的学习经验，进而提高其思维品质和数学素养.