核心素养背景下信息技术在高中数学教学中的应用研究

[摘  要] 教育信息化是现在乃至未来很长一段时间教育发展的方向，它的可视化、动态演示等特征，可让原本静止的数学知识变得生动，让学生能更好地理解数学本质，发展核心素养. 研究者以“两个变量的线性关系”教学为例，分别从教学分析、教学简录与教学思考三个方面展开实践与探索.

[关键词] 核心素养;信息技术;线性关系

以互联网技术与多媒体设备为核心的信息技术的发展，改变了人们的生活与学习方式. 尤其在以核心素养为导向的背景下，信息技术为数学教学提供了支持，是教育信息化时代的基础. 实践证明，将信息技术深度融合到教学中，不仅能增加教学信息的表现力，让抽象的问题变得直观具体，还能将静止、复杂的问题变得动态、简单，从而激活学生的思维，让学生领悟数学思想方法，发展数学学科核心素养.

教学分析

生活中的事物瞬息万变，但变化的事物之间又存在一定关联性. 从数学学科的角度来看，可用散点图来描述事物间的变量关系，为其相关性提供判断依据，但散点图的应用并不能刻画定量关系. 如人的身高与体重的关系，它们之间无法用确定的函数关系来表示，因此就需要探寻一种函数模型，借助近似来刻画两变量间的关系. 一次函数是最简单的函数模型之一，如何用一次函数模型对两变量间的关系进行刻画呢？实践发现，最小二乘法求线性回归方程可对事物进行预测，揭露两变量间的联系. 因此，此为本章节的教学重点.

教学简录

1. 情境创设，提出问题

问题1 王阿姨开了一家奶茶店，发现气温的高低与奶茶的销量有一定的关系，为了在不同气温下让备货的数量与销量平衡，她想拟定一个备货参考，具体该怎么操作呢？她随机抽取并记录了奶茶出售数量与当天气温情况（见表1），如何预测某天气温38℃时，卖出的奶茶杯数？

学生有前两节课作为认知基础，对于这个问题，很容易判断出气温与奶茶销量正相关，因此选择散点图绘制模型.

设计意图 奶茶是很多学生喜欢的热饮，以此为情境可快速拉近学生与课堂的距离，激发学生的探索欲. 气温与奶茶销量间存在相关性，但非确定的函数关系，需引导学生从统计角度思考建模.

教后反思 以奶茶销量与气温间的关系作为情境，贴合学生的认知经验，体现了数学与生活的关联性. “收集处理数据—建模—解决问题”渗透着数学统计思想，助力学生数学建模与逻辑推理能力的发展.

2. 深入探索，研究问题

问题2 观察散点图（略），点大多处于一条直线的附近，但大家所画的直线有所差异，该如何评价所画直线的“优劣”呢？说说具体的评价标准.

教师将学生所画的散点图投影展示出来，让学生自主评价哪种图形更恰当. 经小组合作讨论，学生确定了标准：选择整体上各点到直线的距离最小的散点图更合适. 该发现为后续数形灵活转化的表达奠定了基础.

设计意图 承接问题1的探索，学生从散点图中初步抽象出直线，教师趁机带领学生一起深入分析，提炼回归直线（方程）的定义，引导学生确定选择标准，为最小二乘法的引出做铺垫.

教后反思 几何直观抽象数学式子，探索常用新知，符合学生的认知规律. 此环节，教师借助多媒体展示学生所画的图，并给学生留足时间，鼓励学生积极主动地表达自己的见解. 每个学生都积极参与课堂活动，在润物细无声中发展探究与思考能力.

问题3 怎样用代数式来刻画“整体上各点到直线的距离最小”这句话？

师：假设待求直线的方程是y=bx+a，n个点分别为P（x，y），i=1，2，…，n，且这些点所处的位置均位于直线y=bx+a附近. 假设P与直线y=bx+a的距离是d，Q=d+d+…+d，则待解决的问题就是：a，b取什么值时，Q的值最小.

基于教师的点拨，学生自主将“各点到直线的距离”转化为偏差进行分析，也就是借助PiFi代替d，理由是偏差比点线距离的表达更便捷，且PiFi与d为正比关系. 随着探索的深入，学生所展示的推理过程为：

假设l为待求直线，α为其倾斜角，P为散点图里的任意一点. 过点P作与y轴平行的直线PiFi，再作PiEi与直线l垂直，假设∠EiFiPi=β，根据图1、图2得α+β=或α-β=. 因为α是定值，可确定β也是定值.

在Rt△EiFiPi中，d=PiFisinβ，因此可用PiFi代替d. 结合图1、图2可知，Q=

y

-bx-a+

y

-bx-a+…+

y

-bx-a. 此时，教师做如下告知：求多个绝对值之和最小值的过程异常复杂，就连厉害的数学家也历经了约两个世纪的探索才获解. 由此考虑用“平方”替换“绝对值”，因为两者均为非负数，于是引导学生求当Q=

y

-bx-a2+

y

-bx-a2+…+

y-bx-a

2取最小值时a，b的值.

设计意图 学生亲历几何问题代数化的过程，为提炼最小二乘法奠定基础. 为什么要将“距离”转化成“偏差”呢？这是此环节的重要思维点，可帮助学生提炼数形结合思想与转化思想.

教后反思 为什么要将“距离”转化成“偏差”呢？这是学生感到棘手的问题，甚至有些教师也说不清楚. 课本原文为：从整体上来看，各个点和该直线的距离最小……可用

y-（

a+bx），i=1，2，…，n来表示点（x，y）到直线的远近. 课本特别提出了偏差，又称残差，记作=y-=y-（x+），i=1，2，…，n. 大学中的《统计学》也提到了残差与最小二乘法的概念，并借助求导数法获得了计算，的公式. 从上述几点来看，用“偏差”比用“距离”更合适.

问题3呈现了“距离”这个词，主要是根据该阶段学生的认知特点而设计的，但在探索过程中，则应站到宏观的角度进行指导，让学生弄清楚“距离”和“偏差”的等价性.

问题4 想让Q=

y

-bx-a2+

y

-bx-a2+…+

y

-bx-a2存在最小值，a，b的值为多少合适？式子中的a，b均为二次，由此可联想到接触过的什么知识？

关于这个问题，只要将式子Q=

y-bx-a

2+

y

-bx-a2+…+

y

-bx-a2变形为关于a，b的二次式，再通过配方法进行推导，即可获得a，b的计算公式，也就是b==，a=y-bx. 学生一旦明确符号“∑”的真实意思与运算顺序（先求b，再求a），问题则迎刃而解.

设计意图 此设计一方面为揭露最小二乘法的定义服务，另一方面让学生深刻理解数学统计思想，为突破本节课的教学重点与难点奠定基础.

3. 增强应用，解决问题

问题5 利用图形计算器对回归方程进行分析，思考当气温处于38 ℃以下时，出售的奶茶杯数. 当取y的近似值时，是否需要四舍五入？如果某天气温为38 ℃，是否一定可以出售58杯奶茶？如果这一天出售了50杯奶茶，是否正常？说明理由.

借助图形计算器，不难获得a=147.77，b=-2.3517，回归方程为y= -2.3517x+147.77（见图3、图4）.

鉴于回归直线的随机性，结论存在误差. 58杯和59杯均可，卖出50杯也合理.

设计意图 信息技术的介入，节省了计算时间，使学生将更多精力投入到最小二乘法的研究上. 随着探索的深入，学生深刻理解了温度与奶茶杯数之间的不确定性关系.

教后反思 时代发展推动信息技术进步，教师应善用科技产品，增强学生的探索兴趣，提升教学效率. 学生自主操作图形计算器，效果深刻于教师展示，能激发学习热情，促进思考.

问题6 气温为36 ℃时，预期可出售几杯奶茶？出售的数量和表格中的“54”一定相同吗？理由是什么？该怎样区分估计值与实际值？

借助图形计算器，易得y=63，该值与表格中的54差距较大. 事实上，表格中所呈现的数据是学生随机抽取的，该值具有较大的随机性. 由此可见，借助回归方程所获得的结论仅为一个估值.

刚开始，学生并没有设y=bx+a为回归方程，大家都明白a，b是随机抽取而来的，若想将它与确定值区分开来，则需给它们“戴帽子”，用，来表示. 同样，计算y=x+而来的结果也是估计值，也需要戴上帽子，记作，也就是=x+.

从本题的探索来看，回归方程= -2.3517x+147.77与之前接触过的一次函数有较大区别，它由随机性的样本数据而来，所反映的是随机事件的规律性特征.

设计意图 如此设计的主要目的是让学生深刻理解“用回归方程预测事件的随机性特征”，引出估计值与表达符号，揭露“回归方程的系数的表达符号为，”.

教后反思 在课堂尾声引入，，，主要是基于学生的认知发展规律以及教学需求所设计的. 实际数据与计算数据之别凸显统计随机性.

教学思考

1. 了解知识背景可增强理解

最小二乘法从本质上来说，就是求Q=∑（观测值-理论值）2最小值的方法，最小一乘法与之相关，是求Q=∑观测值-理论值最小值的方法. 最小一乘法出现得更早一些，但发展却非常缓慢，直到1950年借助电子计算机才解决了计算问题，由此就能理解课本上所提到的“绝对值让计算变得更复杂”. 教学背景的揭露，不仅能促使师生更好地理解所学内容，还能拉近学生与知识的距离，渗透数学文化，发展核心素养.

2. 把握信息技术的辅助作用

引导学生把握并理解知识是课堂教学的核心任务，信息技术的引入有效增强了知识的可视化，提高了教学效率. 值得注意的是，信息技术是教学的辅助工具，并非必需品，不是每一个教学环节都必用信息技术，只有恰到好处地应用才能发挥其教学辅助功能，切忌主次不分，否则得不偿失. 当前，可用的信息技术工具有图形计算器、几何画板、GeoGebra软件等，这些工具使静态的数学知识动态化、可视化，可帮助学生更好地理解数学.

总之，核心素养背景下信息技术的应用，让课堂变得更具活力与生命力. 学生在动态化、可视化的课堂中，不仅能更好地理解数学，还能有效发展逻辑推理、数学抽象素养.