问题引领,揭露本质,发展数学学科核心素养

[摘  要] 《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》强调选择合适的问题情境是考查数学学科核心素养的重要载体. 在“方程的根和函数的零点”教学中，研究者通过创设合理的问题情境来揭露知识本质，让学生充分感受数学学科的应用价值与文化价值，为发展学生的数学学科核心素养创造条件.

[关键词] 问题情境;知识本质;数学学科核心素养

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（下文简称新课标）强调核心素养的培育是数学学科教学的主要目的[1]，课堂中创设丰富的问题情境可引发学生思考，让学生从根本上掌握知识本质是教学主要任务. 在以核心素养为导向的当下，高中数学课堂教学基本实现了能力立意向素养立意的转化，这就要求课堂教学不仅要关注学生对知识的掌握程度、技能的熟练程度，还强调如何让学生基于问题情境构建模型，发展学力.

纵然新课标明确了数学学科核心素养的组成要素，并对其水平做了细致划分，但在培育过程中各种能力与素养的发展往往交织在一起，这就需要教师拥有一双敏锐的眼睛，捕捉提升学生数学学科核心素养的契机. 本文以“方程的根和函数的零点”教学为例，具体谈谈如何在问题的引领下，通过师生活动揭露知识本质，发展学生的数学学科核心素养.

教学分析

1. 学情分析

本节课前，学生已接触初等函数，了解其图象与性质. 现有认知水平使他们能探索基本运算，绘制函数的图象，判断函数的单调性与奇偶性.

2. 教学任务

借助教学培养学生用函数观分析与处理问题的意识，即从函数零点个数的探索中，体会函数的性质对于探索零点个数的用处;通过对方程实数根、函数图象和x轴交点的观察，明晰什么是函数零点，基于函数零点附近函数值符号的变化现象，挖掘函数零点存在定理所具备的一些特征;引导学生深入体验活动过程，构建学习经历，培养数学抽象能力.

同时，在函数零点个数的探索过程中引导学生不断梳理知识结构，培养逻辑清晰的思维习惯，提升逻辑推理能力;引导学生在探索函数图象与x轴交点、方程实数根以及函数零点间的关系中获得良好的数形结合能力，并基于整体视域建构方程、函数以及不等式间的关系网，完善知识结构，提升数学学科核心素养.

3. 教学流程

本节课的教学重点在于函数零点存在定理，以及借助函数性质探索函数零点问题. 其中关于函数零点个数的判断为本节课的教学难点. 结合新课标要求、知识特点和学情分析，本节课教学遵循如下流程：①创设问题情境，引发学生从函数的视角来分析与处理问题，初步形成函数意识;②通过对函数图象与x轴交点与方程实数根之间的关系的探索，提炼函数零点的定义;③通过对函数零点附近函数值符号的变化情况的探索，提炼函数零点存在定理;④分析函数零点个数及大致区间，感知如何借助函数性质来探索函数零点问题;⑤课堂小结，安排课后作业.

教学过程

1. 问题情境引出主题

问题1 方程lnx+2x=6存在几个实数根？

师生活动：学生在独立思考的基础上，展开小组合作交流. 教师巡视观察，并邀请两名学生板演，图象通过几何画板展示. 经探索，学生呈现两个解题方法.

解法1 将原方程lnx+2x=6转化成lnx=-2x+6，如图1所示，在同一个直角坐标系内分别作函数g（x）=lnx与h（x）=-2x+6的图象，观察图中的交点.

观察发现，这两个函数图象的交点只有一个，由此可判断方程lnx+2x=6有且仅有一个实数根.

解法2 如图2所示，将函数f（x）=lnx+2x-6的图象绘制出来，通过观察函数图象与x轴的交点情况，发现函数f（x）=lnx+2x-6与x轴仅有一个交点，由此判断方程lnx+2x=6的实数根仅有一个.

设计意图 利用简洁明了的问题情境，引导学生用函数的观点来分析与处理问题. 此题无法用常规的方法来解决，这就激发学生的认知矛盾与冲突，促使学生进入思考状态. 在探索过程中，学生需结合数形结合思想分析函数性质与方程实数根之间的关系，由此揭露本节课教学的核心是：借助函数的性质探索方程的实数根，彰显知识间的纵横关联情况，为帮助学生获得结构化思维与函数应用意识奠定基础.

2. 抽象函数的零点的概念

问题2 逐个分析表1中的方程的实数根和二次函数图象与x轴交点的横坐标之间的关系.

师：关于二次函数图象与x轴交点横坐标和方程实数根之间的关系，是否适用于一般函数？

生1：我认为这种规律适用于一般函数，可作为一般情形来推广.

师：为了将这种关系展现出来，便于进一步借助函数的性质来探索方程的实数根，就涉及一个新的概念——函数的零点.

师生活动：具体从以下几个方面探索函数零点相关内容. ①概念：对于一般函数y=f（x），把使f（x）=0的实数x叫做函数y=f（x）的零点;②函数y=f（x）的零点即方程f（x）=0的实数根，亦可理解为函数y=f（x）的图象与x轴的交点的横坐标;③方程f（x）=0存在实数根（的个数）⇔函数y=f（x）的图象与x轴有交点（的个数）⇔函数y=f（x）有零点（的个数）;④求方程f（x）=0的实数根，可理解为求函数y=f（x）的零点，亦可理解为求函数y=f（x）的图象与x轴的交点的横坐标;⑤关注“点”与“函数零点”的异同.

设计意图 此问为抽象函数零点概念奠定基础，师生积极互动进一步深化学生对函数零点的认识，具体问题的解决让学生从真正意义上理解方程的实数根、函数的零点和函数图象与x轴交点的横坐标之间的关系，有效发展学生的数学抽象能力与数学概括能力.

3. 函数存在零点的判定方法的探索

问题3 已知x∈（k，k+1）（k为整数）是函数f（x）=lnx+2x-6的零点，那么k值是多少？

生2：选几个简单的特殊值代入计算，如f（2）=ln2-2<0，f（3）=ln3>0，f（2）·f（3）<0，易得x∈（2，3），由此确定k=2.

师：很好！思路清晰，方法也很简便. 现在请大家对函数位于零点附近的自变量进行分析，思考函数值的符号情况.

生3：令g（x）=lnx，h（x）=-2x+6. 当x<x时，函数g（x）的图象处于函数h（x）的下方，即f（x）=g（x）-h（x）<0;当x>x时，函数g（x）的图象处于函数h（x）的上方，即f（x）=g（x）-h（x）>0. 由此可确定，当函数f（x）的零点处于x附近时，两侧自变量所对应的函数值必然异号.

设计意图 此问意在引导学生自主获得探寻函数存在零点的初步判定方法，为揭露函数零点的本质创造有利条件，也为学生后续深刻探究函数零点问题奠定基础.

4. 函数性质的应用

问题4 如果函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，可否确定f（a）f（b）<0必然成立？

关于这个问题，学生自主探索并交流后，给出的结论是“不一定”. 具体原因为：例如函数f（x）=x2在区间（-1，1）内存在零点0，但f（-1）f（1）=1>0，与问题条件不符.

问题5 关于函数y=f（x），如果明确f（a）f（b）<0，那么函数y=f（x）在（a，b）内是不是必然存在零点？说明理由.

学生独立思考与合作探索后，给出的结论同样为“不一定”. 具体原因为：例如函数f（x）=-x2，x<0，

x2，x>0，虽然f（-1）f（1）=-1<0，但该函数在区间（-1，1）内没有零点;同样，函数f（x）=-x2，x<0

x2，x>0，

1，x=0，虽然f（-1）f（1）=-1<0，但该函数在区间（-1，1）内没有零点.

随着上述问题的解决，学生在教师的点拨下，由此及彼地提炼出函数零点存在定理：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f（a）f（b）<0，那么，函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）=0的根[2].

设计意图 上述两个问题旨在让学生感知函数零点所在区间，强调函数性质的作用，并增强学生对函数零点存在定理的应用意识.

5. 应用函数观处理问题

问题6 函数f（x）=lnx+2x-6是不是只有一个零点？说明理由.

以函数性质为出发点进行分析：若函数y=f（x）是单调函数，则m=n⇔f（m）=f（n）. 由此可知，单调函数的零点最多只有一个. 同理，非单调函数的每一个单调区间内的零点最多也只有一个.

设计意图 通过对函数零点个数的探索，有利于学生梳理逻辑思维，为培养学生的逻辑推理能力打下坚实基础.

练习训练 判定下列函数分别有几个零点，并写出零点所在的大致区间.

①g（x）=2x+x-2;

②h（x）=x2+ln（x2+3）-2.

关于第一个函数，教师引导学生从图象、方程判别式等进行思考与分析，确定它的零点只有1个，且大致在区间（0，1）内;关于第二个函数，教师引导学生根据函数性质与零点存在定理进行分析，发现它的零点有2个，分别在区间（0，1）内与（-1，0）内.

设计意图 引导学生通过解决实际问题，感知零点个数及其大致区间. 如此设计，一方面整理前述知识内容，另一方面引导学生理解函数的奇偶性与单调性等性质对探索其零点的重要性.

6. 总结提炼整理思路

在教师的指导下，学生通过自主总结与归纳，掌握探索函数零点个数及其所在区间的基本方法. 关于函数零点的判断，可从如下几方面展开分析：①先借助函数零点存在定理判断函数有没有零点，而后根据函数的单调性明确存在几个零点;②探索非单调函数的零点个数，先明确其单调区间，再根据区间内的零点个数确定其所有零点.

设计意图 课堂总结具有画龙点睛之功效，学生回顾整节课的核心知识与研究方法，可进一步梳理知识架构，为形成结构化思维奠定基础，也为促进综合素养的发展做好铺垫.

7. 作业设计

（1）判断m发生改变时，函数f（x）=x2-1-m存在几个零点，并写出零点所在的大致区间.

（2）以作图法探索下列函数在区间（-2，0）内的零点个数，再用代数法进行阐述：①f（x）=-x-ln（x+3）+;②f（x）=2x+x2-.

教学思考

在充分了解学情的基础上，教师根据新课标要求与知识特点精心设计问题，不仅将知识本质暴露在学生面前，还能激活学生的思维，增强学生的探索能力与合作意识，促进学生数学抽象、直观想象、逻辑推理等素养的发展.

在本节课教学中，教师紧紧围绕“零点”这条主线展开教学活动，引导学生通过自主探索与合作交流获得相应的能力和素养，将“以生为本”教学理念落到实处. 教学过程由条理清晰的问题串联而来，学生思维在问题台阶中逐步上升.

总之，以核心素养为导向的课堂教学需站到学生的角度来设计，确保每一个问题都能落在学生的最近发展区，这是激发学生潜能、提升学生学力的基础，也是揭露知识本质、促进学生终身发展的关键.

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部. 《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2] 何方顺. 例谈函数的零点问题[J]. 基础教育论坛，2012（10）：34-35.