问题引导式探究教学在高中数学教学中的应用

［摘  要］ 探究教学作为一种有效的教学方式，其将教与学融为一体，在发展学生数学能力和思维能力，培养学生创新精神和实践能力等方面发挥着重要的作用. 在教学中，教师作为课堂教学的组织者、引导者和合作者，应结合教学实际精心设计问题，鼓励学生主动参与知识的生成过程，让学生通过探究主动获取知识，以促进其持续、和谐且全面的发展.

［关键词］ 探究教学；问题引导；过程

作者简介：张玉俊（1978—），硕士研究生，中学高级教师，省级骨干教师，贵阳市兼职教研员，贵阳市基础教育专家.

新课标明确指出，教学目标旨在促进学生持续、和谐且全面的发展. 为了达成这一目标，教师需摒弃传统的讲授式教学模式，为学生提供更多的时间和空间去思考、交流、探索，充分发挥学生的主体性作用. 探究教学主张“自主、探究、合作”，将其融入教学实践，有利于教学目标的达成. 在探究教学中，教师不只是数学知识的教授者，更多是探究活动中的促进者和合作者；学生不再是被动的知识接受者，而是积极的信息加工者. 将探究教学应用在高中数学教学中，其有利于激发学生的主体性和积极性，有利于提升学生的实践能力和创新能力. 在教学“三角函数的诱导公式（第1课时）”时，笔者以学生为主体，精心设计探究活动，鼓励学生主动获取知识，在发展学生数学思维能力，激发学生学习积极性等方面取得了较好的效果.现将教学过程呈现给大家，以期抛砖引玉.

学习内容

在学习本节课内容之前，学生已经理解并掌握了三角函数的定义，知晓终边相同的角的同一三角函数之间的关系，了解研究诱导公式一的方法. 这为新知学习提供了知识基础和方法保障. 通过本节课的学习，学生能够利用单位圆推导出诱导公式，并初步掌握运用诱导公式求解三角函数值的技巧.

教学设计思想

根据学生的学习心理规律以及新课标的要求，结合实际教学水平，教学过程中应当实施“以学生为主体，以教师为引导”的教学理念. 通过综合运用观察、启发、类比、引导和探索等教学方法，尽可能地安排充足的时间，让学生积极参与各种活动. 这样，学生能够亲身经历公式的推导过程，从而提升他们的自主探究能力，并发掘他们的数学素养. 同时，通过经历由未知到已知、由复杂到简单的转化过程，体会化归与转化思想的应用价值，提升学生的数学素养.

教学过程简介

1. 创设情境，回顾旧知

问题1 sin0°=sin360°=sin720°，cos180°=cos540°=cos900°成立吗？

问题2 对于以上发现，你能用三角函数的定义解释一下吗？

问题3 与α终边相同的角如何表示？结合以上发现，你能用数学关系式表示吗？

设计意图 从学生已有的知识和经验出发，复习三角函数的定义及诱导公式一，进一步认识单位圆对三角函数定义的简化效果，从而为后续研究终边不同的角的同一三角函数做铺垫.

2. 合作探究，形成公式

问题4 若两个角的同名三角函数值相等，则这两个角终边一定相同吗？

问题5 你能找到正弦与sin30°的值相等，但是终边不同的角吗？

学生结合图形、三角函数的定义等相关知识，得到符合条件的角，即150°+k·360°（k∈Z）.

追问：这些角的终边有何关系？

设计意图 引导学生运用一般到特殊的思想方法思考问题，体会特殊值在解决问题中的优越性，继而主动提出问题：终边关于y轴对称的角的同一三角函数值具有怎样的关系？由此培养学生的问题意识，提升学生的数学素养.

问题6 如果将30°换成任意角α，结论是否依然成立呢？

问题7 若α和β的终边关于y轴对称，则α和β有什么关系？

问题8 设α的终边与单位圆的交点坐标为（x，y），则β的终边与单位圆的交点坐标是什么？

问题9 α和β的三角函数值具有怎样的关系？你能用数学关系式表达吗？

设计意图 通过环环相扣的问题的引导，学生经历由特殊到一般的探究过程，得到终边关于y轴对称的角的同一三角函数值之间的关系，即诱导公式四：sin（π－α）=sinα，cos（π－α）= －cosα，tan（π－α）=－tanα.

问题10 回顾探究过程，归纳上述公式的探究路径.

设计意图 引导学生反思回顾，形成一般性研究思路，从而为后续自主探究活动的开展创造条件.

问题11 我们所研究的是终边关于y轴对称的角的同一三角函数值之间的关系，接下来，我们应该研究什么呢？

在教师的启发下，学生自主提出问题：终边关于x轴、原点对称的角的同一三角函数值之间具有怎样的关系？

问题12 类比以上研究方法，你准备如何研究？请说说你的思路.

学生通过类比，提出下列问题：

（1）若α与β关于x轴对称，它们之间有什么关系？

（2）若α与β关于x轴对称，其终边与单位圆的交点坐标之间有什么关系？

（3）α与β的三角函数值之间有什么关系？

学生通过以上问题的解决，得到诱导公式三：sin（－α）=－sinα，cos（－α）=cosα，tan（－α）=－tanα. 同理，学生通过探究关于原点对称的角的同一三角函数值之间的关系，得到诱导公式二：sin（π+α）=－sinα，cos（π+α）= －cosα，tan（π+α）=tanα.

设计意图 此环节，教师引导学生运用类比思想方法继续探索，以提高学生发现、分析和解决问题的能力.

问题13 现在我们学习了四组公式，这么多公式该如何记忆呢？

设计意图 引导学生作比较，提炼多组公式的共同特征，总结记忆规律：α+2kπ（k∈Z），－α，π±α的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号. 通过归纳总结，不仅可以降低记忆难度，还可以让学生领悟数学知识间的内在联系，增强数学学习的趣味性，从而使学生逐渐爱上数学.

3. 灵活应用，提升能力

问题14 求值：

（1）sin；

（2）cosπ；

（3）tan（－1560°）.

问题给出后，教师先让学生独立求解，然后引导学生归纳总结解题思路：“负变正，大变小，最后变锐角”.

设计意图 应用新知解决问题是检验和巩固新知的必经之路. 通过练习，学生能够加深理解，逐步提升至熟练程度，并形成标准的解题流程. 当然，公式的熟练应用不能单凭几个题或者一节课就能完成，需要学生在今后的学习中不断体会、总结和概括，从而逐渐将知识内化为能力.

4. 归纳总结，升华认知

问题15 通过本节课的学习，你掌握了哪些内容？请从知识、思想和方法等方面进行归纳总结.

问题16 是否还存在其他终边位置具有一定关系的角呢？它们所对应的同一三角函数值又存在怎样的关系呢？

设计意图 教师预留时间让学生进行归纳总结，以进一步加深对公式的理解，体会数形结合、特殊与一般、类比、转化与化归等思想方法的价值，从而促进知识的巩固、能力的提升以及思想的升华. 在此基础上，教师将课上延伸至课下，让学生继续思考其他特殊的位置关系，从而为后续研究终边关于y=x对称的公式五，以及和（差）角公式、和（差）化积公式埋下伏笔.

教学思考

在本节课教学中，教师没有直接呈现公式，而是从学生视角出发，通过启发和引导让学生成为课堂教学的发现者、研究者和探索者，将教与学融为一体，促进知识的理解和能力的升华. 在教学中，教师应尽量创造机会让学生独立思考和合作探究，使学生充分感受探究结果的乐趣，收获成功的喜悦，从而激发学生的探究热情.

问题是思维的起点，是引发学生思考的动力源. 在教学前，学生已经学习了诱导公式一，知晓终边相同的角的同一三角函数值的关系. 在此基础上，教师启发学生思考：若同名三角函数值相同，则两角的终边一定相同吗？进而通过由一般到特殊的探究，发现终边关于y轴、x轴、原点对称的角的同一三角函数值之间的关系，最终得到诱导公式二、公式三和公式四. 提出恰当的问题，将知识点串联成一条线，这不仅有助于学生构建知识体系，还能有效点燃他们对学习的热情. 此外，这种方法有利于增强学生发现、分析和解决问题的能力，提升他们的数学素养.

总之，在高中数学教学中，教师要从学生最近发展区出发，结合教学实际精心创设探究活动，让学生通过自主学习与合作学习相结合的方式体会数学发现和创造的历程，以此提升学生独立分析和解决问题的能力，培养学生勇于探索的学习精神，发展学生的数学学科核心素养.