浅析深度教学模式在高中数学教学中的实践与思考

［摘  要］ 深度教学是培养学生数学学习能力，发展学生数学学科核心素养的重要途径. 在高中数学教学中，教师应以发展学生数学学科核心素养为导向，结合教学实际创设有效的问题情境，使学生的思维在问题的解决中逐渐走向深处，促进深度学习的达成.

［关键词］ 深度教学；核心素养；深度学习

作者简介：路建国（1971—），本科学历，中学高级教师，从事高中数学教学与研究工作.

随着新课改的推进，深度学习正逐渐成为课堂教学中的一个热门概念. 然而，在高中数学教学领域，传统的以教师讲授为主的教学模式仍然普遍存在. 这种模式导致学生对数学知识的理解仅停留在表层，从而妨碍了他们深入学习能力的发展，以及数学学科核心素养的培养. 在教学中，教师应贯彻“以生为本”的教学理念，为学生搭建一个自我发展、自我完善的舞台，引导学生主动参与知识的建构，让学生获得持久的学习动力，提升课堂教学质量.

圆的标准方程既是高中数学教学的重点，也是高考的核心考点. 本节课在学习直线与方程等知识后，进一步深化了对解析几何的理解. 在教学中，教师应当注重培养学生对方程思想、等价转化思想以及数形结合思想的认识和应用. 不仅为学生后续学习椭圆、双曲线等更高级的几何知识打下坚实的知识和方法基础，而且增强他们运用代数方法解决几何问题的能力. 此外，这也有助于促进学生数学抽象和数学建模能力与素养的提升.

教学分析

1. 内容分析

圆的方程是圆锥曲线章节中的重要内容之一，本节课的学习将为探索椭圆、双曲线和抛物线的标准方程提供思路. 在学习本节课内容前，学生已经掌握了“直线与方程”以及“坐标平面上的直线”等知识内容，并且积累了一定的研究圆锥曲线的思想和方法. 在教学中，教师要重视研究学生、研究教学、研究教材，在“四个理解”的基础上创设符合学生认知水平的问题情境，引导学生在由浅入深、由易到难的问题的探索中理解数学知识本质，掌握数学研究方法，促进学生的数学学科核心素养全面提升.

2. 学情分析

高中生已经具备一定的观察、类比、归纳、表达等能力和素养，因此，在本节课教学中，教师应“以师为主导，以生为主体”，鼓励学生参与知识形成、发展、应用等过程，促进学生的知识与能力、情感与价值观全面发展. 学生虽然掌握了一定的研究解析几何问题的方法，不过接触得不多，因此在应用坐标法研究圆的方程问题时可能会感到不适. 在教学中，教师应依据学生的真实反馈，及时提供启发和指导，从而调动学生参与课堂的积极性，让学生理解并掌握相关的研究方法，提高学习能力.

3. 教学目标

（1）引导学生结合圆的定义及几何元素推导圆的标准方程；

（2）引导学生根据圆的标准方程解决一些简单的问题；

（3）进一步培养学生利用代数方法研究几何问题的能力；

（4）引导学生经历知识形成、发展及应用等过程，感悟数形结合、等价转化等数学思想方法的价值，提高学生的综合能力与素养.

4. 教学重点和难点

（1）圆的标准方程的推导及应用；

（2）运用坐标法研究圆的方程问题.

教学设计

1. 创设情境，引入课题

问题情境：公园欲在人工湖上建造一座圆拱桥，设计的剖面图如图1所示. 已知圆拱桥的跨度AB=20 m，拱高OP=4 m，拱柱间隔为4 m，求拱柱AB的长度. （精确到0.01 m）

图1

设计意图 在教学中，教师以学生熟悉的公园圆拱桥为研究背景，启发学生用数学眼光观察现实世界，提高学生参与研究的积极性. 在引入阶段，为了让学生更好地感知圆，快速地引入课题，教师利用几何画板将圆拱桥补全为一个圆（如图2所示），并让学生通过小组合作探究的方式讨论解题方案. 从学生交流反馈来看，有的学生提出可以添加辅助线，利用几何方法求解问题；有的学生提出可以从代数的角度出发，通过建立平面直角坐标系寻找解题的切入点.学生探索的积极性被点燃.

2. 深入探究，获得新知

问题1 圆的定义是什么？圆的几何要素有哪些？

设计意图 引导学生回顾圆的定义及圆的几何要素，启发学生利用几何方法来解决问题.

问题2 设圆心为C（a，b），圆的半径为r，试推导该圆的方程.

问题给出后，教师启发学生将圆置于平面直角坐标系中研究，根据圆的定义寻找蕴含其中的数量关系. 在教师的启发和指导下，学生通过互动交流给出了如下推导过程：

设点M（x，y）为圆上任意一点，则由圆的定义可知CM=r，所以CM==r，两边平方得（x－a）2+（y－b）2=r2.

由此可知，圆C上任意一点的坐标均为方程（x－a）2+（y－b）2=r2的解；而方程（x－a）2+（y－b）2=r2的解所表示的点均在圆C上. 因此，从学生的最近发展区出发，顺利地推导出了圆的标准方程.

设计意图 推导圆的标准方程既是教学重点，也是教学难点. 为了突出重点，突破难点，教师引导学生根据圆的定义建立等量关系，推导圆的标准方程. 尽管圆的标准方程的推导具有一定难度，但得益于先前知识的积累，这一过程变得相对容易掌握.

问题3 若给出圆心坐标和半径，你能写出圆的标准方程吗？反过来，若已知圆的标准方程，你能写出它的圆心坐标和半径吗？

要求学生两人一组进行互动交流，以此深化学生对圆的标准方程的理解，提高学生的语言表达能力.

问题4 方程（x+a）2+（y+b）2=m表示的是什么曲线？

问题4具有一定难度，主要考查学生对圆的标准方程的理解程度及分类讨论意识. 在教学中，教师先让学生独立思考，然后以小组为单位进行合作探究. 教师一边巡视，一边给予启发，并引导学生归纳和总结：若m>0，则该方程表示以（－a，－b）为圆心，为半径的圆；若m=0，则该方程表示一点，点的坐标为（－a，－b）；若m<0，该方程无意义，不能表示任何曲线.

设计意图 在教学中，教师从学生的最近发展区出发，创设符合学生认知水平的问题，让学生在问题的解决中体会方程与曲线之间的内在联系，学会用代数方法来研究几何问题. 在教学中，教师要提供时间和空间让学生进行互动交流，通过解决问题培养学生的分类讨论意识，提高学生的辩证思维能力，促进深度学习的实现.

3. 应用举例，巩固提高

问题5 除了圆心和半径外，还能由其他条件来确定一个圆吗？

该问题是一个开放性问题，其答案不唯一，具有一定的探究性. 在探究中，教师应坚持“以生为本”，鼓励学生合作学习. 学生通过合作学习给出了多种答案，有的学生提出根据圆的直径的端点坐标可以确定一个圆；有的学生提出根据圆心及圆上一点的坐标可以确定一个圆；还有的学生提出不在同一直线上的三点可以确定一个圆……学生积极地进行交流和实践，使得课堂氛围充满了活力.

设计意图 在教学中，通过设计开放性问题来激发学生的潜能，使他们探索确定圆的方法的多样性，从而培养他们的发散性和灵活性思维.

例1 （1）已知圆C的圆心坐标为（3，4），且圆C过点M（1，－3），求圆C的标准方程.

（2）已知圆C的圆心坐标为（－1， 2），且与直线l：2x－3y－5=0相切，求圆C的标准方程.

（3）已知P（3，4），Q（－5，6）为圆C直径的两个端点，求圆C的标准方程.

（4）已知A（7，1），B（－2，2），C（0，2）三点在圆C上，求圆C的标准方程.

设计意图 上述问题与问题5遥相呼应，通过对实际问题的解决，加深学生的理解. 学生解题后，教师引导学生进行反思归纳，形成解题策略. 对于问题（1），已知圆心及圆上一点的坐标可以确定一个圆，该圆的半径为圆心与圆上一点的距离；对于问题（2），已知圆心坐标及圆的切线方程可以确定一个圆，该圆的半径为圆心到切线的距离；对于问题（3），已知直径的两个端点坐标可以确定一个圆，其圆心为直径两个端点的中点，其半径为直径两端点间的距离的一半. 对于问题（4），不在同一直线上的三点可以确定一个圆，该圆的圆心位于由三个点所构成的三角形的三条中垂线的交点，其半径为圆心与三点中任意一点的距离. 通过解决这四个问题，学生不仅验证了相应结论，而且清晰地掌握了求解圆方程的方法.

例2 已知圆C的圆心在直线2x－y－7=0上，且与y轴相交于A（0，－4），B（0，－2）两点，求圆C的标准方程.

该题可以利用待定系数法求解：设圆的标准方程为（x－a）2+（y－b）2=r2，根据已知可得2a－b－7=0，a2－（－4－b）2=r2，a2－（－2－b）2=r2.获得方程组后，问题便迎刃而解.

设计意图 在完成该题的求解后，教师可以引导学生回顾并思考：例1是否也可以运用待定系数法来求解？通过一题多解的方式，帮助学生积累解题经验，并教会他们如何利用圆的标准方程来解决问题.

问题6 回归课初时提出的问题，现在能计算出拱柱AB的长度了吗？

该题的综合性较强，教师先让学生独立思考，然后鼓励学生互动交流，逐步优化解题策略. 从解题反馈来看（解题过程略），有的学生在建立平面直角坐标系时遇到了难点，有的学生在运算中出现了问题. 教师依据学生反馈的具体问题提供指导，协助学生消除了解题障碍，顺利完成了解答.

设计意图 在教学中，教师引导学生回归课初时提出的问题，鼓励学生利用所学知识解决实际问题，积累解题经验，促进“学以致用”教学目标的落实. 在解题后，教师预留时间供学生进行归纳总结，从而把握数学内容的本质，形成解决此类问题的基本策略.

4. 课堂小结，拓展延伸

问题7 通过上述问题的探究，你掌握了哪些知识？有何心得体会？

在此环节中，教师先让学生从知识、经验、方法等多方面进行归纳总结，然后组织学生互动交流，以此促进学生深化知识、积累经验，为后续学习其他圆锥曲线提供了基本思路.

设计意图 课堂小结在课堂教学中必不可少，但要注意的是，教师切勿大包大揽，而应提供机会让学生自主进行归纳总结，从而激发学生的思维，培养他们持续学习的内在驱动力，并提升他们的数学综合能力.

教学思考

圆是学生们较为熟悉的一个主题，他们在初中阶段已经对圆的基本属性进行了系统性的探究. 因此，在本节课的教学中，教师应以学生已有的知识和经验为基础，引导他们进行探索性学习，从而促进他们的思维能力发展，并激发深入学习的兴趣.

1. 以生为主体，激发学生的学习热情

数学课堂是学生学习数学知识、积累数学经验、提炼数学方法和发展数学素养的舞台. 在课堂教学中，教师要以学生的最近发展区为出发点，为学生打造一个平等、充满探究精神、和谐的学习氛围，以此激发学生的主体意识，引导学生主动思考和主动建构，逐步发展个体自主学习能力. 在本节课教学中，教师并未采取灌输式教学，而是根据教学实践，设计了多个贴合学生最近发展区的问题. 教师将探索和解决问题的主动权交予学生，让学生在思考与交流的过程中吸收新知识，掌握新方法.

2. 以师为主导，提升教学效率和质量

教师作为课堂教学的启发者、点拨者和组织者，其在课堂教学中的地位和作用是无法被替代的. 在教学中，教师既要充分地预设教学方案，又要及时捕捉课堂生成，通过启发和引导，唤醒学生的学习热情，激发学生的学习动力，提升教学质量. 在本节课教学中，教师以学生已有的知识和经验为出发点，引导学生通过独立思考和合作探究相结合的方式获得圆的方程. 在此基础上，教师引导学生探索确定圆的方法，突破了仅通过圆心和半径确定圆的局限，激发了思维的多样性，并将课堂教学推向了高潮. 另外，在解题过程中，教师启发学生应用不同方法解决问题，以此通过知识的横向拓展和纵向延伸逐渐优化学生的认知结构，为新知应用打下了坚实的基础.

3. 关注学习过程，发展学生的数学素养

众所周知，学生学习能力的提高和数学素养的培育是一个长期的过程. 因此，教师切忌急于求成，而应适时放缓教学节奏，为学生提供充分的思考、探索、归纳、反思和总结的时间与空间. 这样，学生才能逐步完善自身的知识体系，并提升自主学习能力. 例如，本节课教学以问题为主线，以探究活动为载体，引导学生经历圆的标准方程生成和应用等过程，从而提升了学生的数学抽象、数学建模以及数学运算等能力与素养.

总之，在高中数学教学中，教师要重视引导学生经历新知探索、深化、应用等过程，以此让学生深刻理解知识的同时，锻炼学生的数学思维，促进深度学习的实现.