揭示思维过程 吃透解题通法

［摘  要］ 提高学生解题能力和思维能力是高三数学复习教学的重要任务. 在具体实施过程中，教师应以学生发展为出发点，重视展现学生的思维过程，引导学生反思解题方法的必然性，并揭示解题的一般方法，从而提高复习教学的效果.

［关键词］ 解题能力；思维能力；思维过程

作者简介：徐欢（1982—），硕士研究生，中学一级教师，从事高中数学教学与研究工作，曾获南京市教学先进个人称号.

在高三复习教学中，为了提高学生的成绩，大多数教师追求试题的“难、新、多”，这不仅会增加学生的学习负担，而且会影响学生的解题信心，不利于学生提升解题能力. 其实，高考主要考查的是基础知识和基本经验，因此在高三复习教学中，教师应从典型的基础题入手，充分展现学生的思维过程，根据学生的实际情况制定有效的教学策略，以此通过有效的启发和指导帮助学生消除思维障碍，切实提高学生的解题能力，发展学生的数学思维. 笔者在带领学生复习“基本不等式”时，以对话的方式展现学生的思维过程，取得了较好的教学效果，现将教学过程呈现给大家，供参考.

教学背景

基本不等式是高考的重要考点. 在新知教学中已经对基本不等式进行了详细讲解，并进行了典型且重点的练习. 然而，从模拟考试的结果来看，解题效果并未达到预期目标. 基于此，本节课的教学重点是带领学生解决含两个参数的最值问题，以期通过专项训练帮助学生突破难点，提高学生举一反三的能力. 在具体教学实施中，教师将学习的主动权交给学生，重视展现学生的思维过程，以此通过有效的交流揭示解法背后的“秘密”，让学生领悟解决此类问题的通性通法，切实提高学生的解题能力.

教学过程

1. 巧借错误，引发探究

例题 若正数x，y满足x+y=1，求+的最小值.

例题提出后，教师预留时间让学生独立完成，教师巡视，并投影展示学生的解题过程.

师：我们一起看一看，以下解法是否正确呢？

因为x>0，y>0，所以x+y≥2，即≤.

又+≥2≥12，所以+的最小值是12.

生1：以上解法有问题，这里用了两次基本不等式，第一次的取等条件为x=y，第二次的取等条件为9x=y. 又x，y均为正数，显然两次等号不能同时成立，所以最后的12取不到. （生1分析完解题过程后，运用上述解法解题的学生恍然大悟.）

师：分析得非常好，我们利用基本不等式解决最值问题时切勿忽视取等条件. 看来以上解法行不通，那么，该题我们应该如何解决呢？

生2：因为x+y=1，所以+=+=10++≥10+2≥16，当且仅当3x=y=时取等号.

师：非常好，你是如何想到的呢？

生2：偶然想到的.

师：大家说一说例题待求的是什么？已知是什么？

生3：待求的是“+的最小值”，已知“x，y为正数，且满足x+y=1”.

师：很好，它们之间存在怎样的差异呢？（学生沉思）

师：它们的次数是否一致呢？（教师提醒）

生4：x+y=1是一次式，+是负一次式.

师：很好，如何消除差异呢？

生5：将+乘上“x+y”就可以使其次数上升，又x+y=1，这样相乘后不会改变式子的值.

师：非常好，这样通过寻找差异、消除差异，我们就发现了蕴含其中的“秘密”. 你们还有其他解题方法吗？

生6：我是利用消元法求解的. 将x+y=1变形得y=1－x，所以+=+=. 令1+8x=t（t>1），则原式=. 又t>0，所以t+≥6. 所以，≥16.当且仅当t=3时，即x=时取等号.

师：很好，通过消元将原问题转化为函数问题. 求函数最值的方法众多，这为解决基本不等式问题带来了很多便利. 那么，以上两种解法各自具备什么优势呢？

生7：基本不等式法计算量小，但要考虑“一正、二定、三相等”；消元法计算量大，不过求函数最值的方法众多.

教学评析 在教学中，教师精心挑选典型例题让学生独立求解，以此了解学生对基础知识和基本方法的掌握情况，从而为接下来的教学策略制定提供依据. 在此过程中，教师以学生的典型错误入手，先是带领学生分析错因，然后提供机会让学生自主寻找解题方案，充分调动学生参与课堂的积极性和主动性，优化学生的个体认知结构，帮助学生积累解题经验. 另外，教师鼓励学生应用不同方法解题，并引导学生剖析不同解法，使学生充分感知不同解法的优缺点，从而培养学生思维的灵活性和深刻性.

2. 变式拓展

师：现在，我们来看一下接下来的两道题该如何求解.

变式题1：若正数x，y满足2x+y=xy，求x+y的最小值.

变式题2：已知a>0，b>0，且2a+b=1，求+的最小值.

题目给出后，教师首先启发学生思考以下5个问题：（1）待求的是什么？（2）已知条件是什么？（3）它们之间有何不同？（4）如何转化？（5）等号成立的条件是什么？

师：谁来说一说，变式题1该如何求解？

生8：“x+y”的最高次数是1，“2x+y=xy”的最高次数是2，可见它们的差异还是在次数上. 对于2x+y=xy，左右两边同时除以xy，可得+=1. 通过相乘，我们可以找到齐次式，即x+y=（x+y）+=3++≥3+2，当且仅当y=x时取等号.

师：很好，通过简单变形已知等式，将陌生的问题转化为熟悉的问题，顺利地解决了问题. 现在，我们继续来看变式题2，结合思考的5个问题，你们想到了什么？

生9：将b=1－2a代入+，得到+－2，这样转化后，就与前面的两题一样了.

师：你是怎么想的呢？

生9：因为与的次数不齐，所以就想到利用已知条件转化+，就得到了前面的结果.

师：很好. 大家总结一下，我们解决此类问题的关键是什么呢？

生齐声答：寻找差异，消除差异.

教学评析 为了凸显上述问题的本质，帮助学生寻找解决此类问题的通法，教师精心设计了变式问题，以此让学生在变化中领悟不变的本质，提高学生举一反三的能力. 在教学中，教师引导学生深入思考5个关键问题，这不仅使学生的解题思路更加条理化，而且有效地促进他们思维能力的提升.

3. 课堂小结

师：今天，我们重点复习了哪些内容？你有哪些收获？

在该环节中，教师鼓励学生积极分享自己的思考和收获，通过互动交流来深化对基本不等式的理解，并增强学习信心.

教学评析 课末，教师安排一段时间供学生思考自己掌握了哪些内容，还存在哪些问题，以便学生更深入地了解自身情况，从而进一步提升和完善自我，提高解题技能.

教学思考

对于高考试题，许多学生用“难、新、怪”来评价，但是考后分析却发现，其实高考重点考查的就是基础题. 学生之所以感觉“难、新、怪”，是因为在平时学习中既未认清问题的本质，也没有掌握解决问题的通法. 当题目略加变化时，就显得不知所措. 因此，在复习教学中，教师应当注重通性通法的讲解，以切实提升学生的解题技能.

在本节课复习中，教师利用对话的方式，充分了解了学生的思维过程和真实想法，进而为“教什么”“如何教”提供了依据. 教师先是呈现学生的错解，然后让学生自主分析“错在哪里”，引导学生寻找到真正的错因，进而有效避免重蹈覆辙. 随后，教师给出变式题供学生深入研究，并通过提问引导学生思考解题的通性通法. 这样，最终实现“掌握一题，通晓一类题”的效果. 相信通过本节课的专项训练，当学生再解决此类含两个参数的最值问题时，一定可以得心应手.