引导类比 深入探究 学会思考

［摘  要］ 在数学教学中，教师应指导学生掌握知识，深入思考学习方法，以增强他们的数学能力和思维能力，提高他们的数学素养. 文章以一个典型的椭圆中点弦问题为例，引导学生通过类比的方式深入探索椭圆与圆的性质，领悟数学知识间的联系与差异，以提升学生发现、提出、分析以及解决问题的能力.

［关键词］ 数学能力；数学素养；类比

作者简介：周章权（1977—），本科学历，中学一级教师，从事高中数学教育教学工作.

数学是一门锻炼思维的学科，掌握数学知识有助于学生培养思考能力. 但是，倘若教师仅仅传授知识，而不提供思考的机会，教学过程将变得被动、效率低下且乏味. 关键在于，学生最终可能会遗忘那些知识点，而数学思维能力却能够得以保留. 本文通过探讨一个椭圆中点弦问题，阐述如何在教学中引导学生学会独立思考.

案例呈现

例题 如图1所示，已知椭圆方程为+=1，点P（1，1）是椭圆内一点，过点P的直线l与椭圆相交于点A，B，若点P是AB的中点，求直线l的方程.

圆锥曲线中点弦问题既是解析几何中的重点内容之一，也是高考的热门考点，是一个值得深入探索的问题. 该类问题的解法多样，可以很好地考查学生的综合能力. 在本课例教学中，教师以学生为出发点，引导学生通过多元探究提炼解题方法、提升解题思维，积累解题经验，实现学生探究能力和思维能力的发展.

解法探究

例题是直线与椭圆的相交问题，解法多样. 在教学中，教师首先让学生独立求解. 从学生的反馈来看，大多数学生采用点差法和韦达定理法解得直线l的方程为2x+3y－5=0.

师：大家刚刚通过点差法和韦达定理法顺利地解决了问题. 除了这两种方法外，你们还有其他方法吗？（学生沉思）

师：该题除了从曲线中点弦的角度去分析，我们还可以将其看成什么问题呢？

生1：还可以看成点关于点的对称问题.

师：非常棒的发现. 若从点对称的角度去考虑，有没有其他办法来求解呢？

生2：设点A的坐标为（x，y），则点B的坐标为（2－x，2－y）. 因为A，B均是椭圆上的点，所以+=1，+=1.两式作差，整理得2x+3y－5=0，所以直线l的方程为2x+3y－5=0.

师：哦，为什么这样求得的方程就是直线l的方程呢？

生2：设点A，B的坐标分别为（x，y）和（x，y），则+=1，+=1，两式相减得2x+3y－5=0. 同理可得2x+3y－5=0. 所以，点A，B均在直线2x+3y－5=0上，可知直线l的方程为2x+3y－5=0.

师：这个解法与我们解决两圆交点弦问题所用的方法是否类似？

学生觉得类似.

教学说明 在教学中，教师安排充足的时间供学生深入思考、相互交流，并归纳总结解决此类问题的通用方法. 这样的做法旨在提高学生的解题技能，并有效提升解题效率. 另外，教师鼓励学生应用多种方法求解，这样既能帮助学生积累丰富的解题经验，发散学生的数学思维，又能帮助学生将相关知识联系起来，促进知识体系的完善和解题能力的提升.

拓展研究

在教学中，教师预留时间让学生反思回顾，并启发学生思考直线l的斜率，发现斜率为定值，由此引发一般探究.

探究1 在椭圆内，若点P是弦AB的中点，则k·k的值是否为定值呢？如果是，你能求出定值吗？

问题提出后，教师给予学生一段时间进行思考和讨论. 在此过程中，教师引导学生探究椭圆相交弦问题的处理方法与圆相交弦问题的处理方法之间的联系. 这一过程旨在激活学生的先前知识，增强他们解决问题的信心.

生3：在相交弦问题上，椭圆和圆的处理方法是一致的，因此可以借助圆的中点弦的研究经验来研究椭圆的中点弦问题.

师：很好，现在我们一起来回顾一下圆的中点弦问题. 想一想，圆的中点弦有何性质？

生4：垂径定理.

师：由圆到椭圆相当于将圆“压扁”的过程，在此过程中，圆内的一些线、角也被“压扁”了. 结合这个变化过程，你想到了什么？得到了什么猜想？

生5：如图2所示，在圆内，已知点P是弦AB的中点，根据垂径定理可知OP⊥AB，所以k·k=－1，即k·k是定值. 由此猜想：如图3所示，在椭圆内，若点P是弦AB的中点，则k·k是定值.

师：该猜想是否成立呢？该如何证明呢？

在此环节中，教师没有直接给出结论和证明过程，而是将探究的主动权交给了学生，让学生以小组为单位共同探究证明方法.

生6：如图3所示，不妨设椭圆的方程为+=1（a>b>0），A（x，y），B（x，y），P（x，y），则x+x=2x，y+y=2y，+=1，+=1.两式作差后整理可得+=0，即+=0，所以+=0，即k·k=－.

师：非常好，思路清晰，运算准确. 现在我们回头看例题，你们有何发现？

生7：有了这一结论，就可以先求出直线l的斜率，然后利用点斜式来求直线l的方程了.

师：很好，请大家按照生7的思路尝试求解例题.

生8：根据已知易得k=1，因为k·k=－，所以k=－. 又直线l过点P（1，1），所以直线l的方程为y－1=－（x－1），即2x+3y－5=0.

教学说明 通过观察、分析例题的求解过程，发现直线l的斜率为定值，由此开启了一般结论的探究. 在探究过程中，教师启发学生联系圆的性质，引导学生提出问题和猜想. 在解决问题的过程中，教师充分发挥小组合作的优势，引导学生通过协作与交流来归纳和总结，从而提升他们的数学抽象思维能力. 在得出结论后，教师引导学生将这些结论应用于解决实际问题，从而让学生亲身体验数学的实际应用价值.

探究2 在椭圆+=1（a>b>0）中，点A，B分别为椭圆的左、右顶点，点P在椭圆上，且异于A，B两点，试探究k·k是否为定值.

师：通过刚才的探究，我们发现圆和椭圆的一些性质是相通的，除了垂径定理外，两者还有什么可以类比的性质吗？

生9：圆的直径所对的圆周角为90°，也就是说，圆上的任意动点P（异于A，B两点）与直径AB两端点的连线的斜率之积为－1. 如图4所示，在圆内，k·k=－1. 若将圆改成椭圆，则椭圆长轴的两个端点类似圆的直径的两个端点. 因此，我得到以下猜想：若点P为椭圆上一点（异于椭圆长轴的A，B两个端点），则k·k为定值.

师：利用圆内的又一垂直关系得到了关于椭圆的又一猜想，那么该猜想是否成立呢？

学生通过合作探究，证明k·k是定值，且k·k=－.

探究3 如果将探究2改一改，即将长轴改为过椭圆中心的任意一条弦，此时k·k是否为定值呢？

生10：在圆内，任意一条直径所对的圆周角均为90°，显然在圆内，该直径的两个端点不局限于在x轴上. 由此可以得到这样的猜想：在椭圆+=1（a>b>0）内，已知AB是过椭圆中心的一条弦，点P是椭圆上一动点（异于A，B两点），则k·k是定值.

师：是一个非常棒的猜想，那么该猜想是否成立呢？

生11：设A（m，n），则B（－m，－n），n2=b2－m2. 令P（x，y），则y2=b2－x2，k·k=·==－·=－.

教学说明 探究3在探究2的基础上进行了扩展，旨在引导学生经历从特殊到一般的猜想与验证过程，从而得出关于椭圆的又一重要结论. 经过上述探究过程，圆与椭圆之间的联系得到了进一步强化，使学生深刻体验到数学知识间的内在联系，并领悟到特殊与一般数学思想方法在数学研究中的重要价值. 这有助于提升学生的类比联想能力和逻辑推理能力.

探究4 为什么圆的性质能在椭圆中得到发展呢？

师：经过刚才的探究，我们可以清晰地看到，圆的性质是推导出关于椭圆结论的“源泉”. 为什么可以这样类比呢？有没有什么依据？

生12：若对椭圆进行拉伸，它将逐渐趋近于圆. 反之，若对圆施加挤压，圆亦可转变为椭圆. 运用极限思维去构想，我们不难发现椭圆与圆在本质上具有相似性，因此它们之间存在可比性.

师：分析得很有道理. 在学习过程中，我们要善于将一些相似或相关的知识进行对比联想，这样往往可以化难为易、化陌生为熟悉、化繁为简.

师：刚才生12是从图形变化的角度来分析的，如果从代数的角度来思考，你们有什么发现吗？（教师先让学生合作交流，然后给出实例让学生对比分析.）

师：在圆x2+y2=4中，点P是圆上任意一点，若点P的横坐标不变，纵坐标变为原来的，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线.

生13：设曲线上任意一点的坐标为（x，y），圆上对应点的坐标为（x′，y′），则x′=x，y′=2y.因为x2+y2=4，所以x2+4y2=4，即+y2=1，所以该曲线的方程为+y2=1. 该曲线为椭圆.

师：很好，通过这个典型例题的求解，我们易于发现，可以将圆挤压变换成椭圆. 接下来，你们能够给出一道实例，呈现通过拉伸将椭圆变换成圆的过程吗？

生14：对于椭圆+=1（a>b>0），作变换φ：x′=，y′=，得到圆x′2+y′2=1.

师：非常好. 结合以上发现，你们能重新证明探究3吗？

（学生积极思考，尝试运用作变换的思路进行证明，很快形成了完整的证明思路.）

生15：设椭圆上任意一点P（x，y），在变换φ下得点P′（x′，y′）；点A（x，y），B（－x，－y）在变换φ下分别得A（x′，y′），B（－x′，－y′）. 又A′P′⊥B′P′，所以kA′P′·kB′P′=-1，即==·=·k·k=－1. 所以，k·k=－.

师：非常好，通过研究从圆到椭圆的变换过程，我们同样能够验证前述结论. 通过类比研究，我们不难理解：之所以能借助圆的性质来探究椭圆的性质，是因为圆和椭圆在伸缩变换的影响下，能够实现彼此之间的变换. 如果以后遇到难以理解的椭圆问题时，不妨尝试将椭圆变换为圆，利用对圆的理解来探究椭圆问题. 这种方法有助于简化问题，使其更易于理解和处理，从而有效提升解题效率.

教学说明 为了让学生深刻地体会这种伸缩变换，教师既要引导学生从几何的角度去观察，也要引导学生从代数的角度去思考，通过“数”与“形”的有机结合，深化学生对知识的理解与掌握，提高学生分析和解决问题的能力. 在本环节的教学中，教师结合教学实际设计探究活动，让学生充分体会通过类比圆的性质来研究椭圆性质的科学性、合理性，充分感悟数学知识间的内在联系，充分领悟转化思想在解决问题中的重要价值. 在上述探究活动中，教师贯彻“以生为本”的教学理念，为学生提供了充足的时间进行猜想和验证，充分调动了学生参与课堂的积极性，拓宽了学生的视野，促进了生本课堂的建构.

教学思考

解题教学的目标不仅仅是教会学生如何解题，更重要的是提升他们提出问题的能力. 通过引导学生探索问题的解决途径，帮助他们揭示解题中所蕴含的一般方法和结论. 这样的教学方式旨在增强学生分析问题和解决问题的技能，进而提升他们的数学思维能力. 在本节课教学中，如果仅仅停留在“就题论题”的层面，而不引导学生去发现、去提问、去探究，那么课堂教学将错失许多精彩. 因此，在实际教学中，教师应创造机会让学生进行思考和交流，激发他们的思维碰撞，使他们学会用数学思维去思考和解决问题，切实提高综合能力和综合素养.