理性分析错因 避免“一错再错”

［摘  要］ 解题中出现错误是无法避免的，教师应学会尊重错误、宽容错误和利用错误. 在教学中，教师应引导学生分析错因，认清错误的本质，充分挖掘错误背后的价值，通过对错误资源合理开发与利用有效避免或减少错误的再次发生.

［关键词］ 解题；错误；解题效率

作者简介：张兵（1985—），本科学历，中学一级教师，从事高中数学教学工作.

众所周知，学习与错误相伴而行，因此在学生学习过程中教师与学生都要正确地、客观地对待错误［1］. 但是真正能够做到理性客观对待错误的教师并不多见，其中一个重要原因就是教师的教学往往带有显著的功利性，期待学生能够一学就会，能够迅速运用所学知识去解题. 但学生的学习过程是复杂的，在学习过程中不出错是不可能的. 一位理性的教师，应该以理性的眼光审视学生犯错的原因，并进行深入分析. 他们不会期望学生一学即会，而是更注重引导学生在学习过程中避免重复犯错. 笔者以为这才是科学理性的教学态度，才是面对学生错误时应有的教学心态.

站在学生的角度来看，在学习过程中出现了错误，会下意识地分析错因，只不过很多时候，多数学生会将错因归结为“粗心大意”，那么这个是真正的错因吗？其实，对于不同的学生，其学习能力、思维方式、解题习惯等有所不同，因此产生错误的原因往往也会有所不同. 在解题中，只有找到真正的错因，才能通过有效的修补减少或避免错误的再次发生. 那么，常见错误的成因有哪些？如何分析错因，寻求有效的解决策略呢？笔者结合教学实例谈一谈几点自己的认识，若有不足，请指正.

错因分析

由于个体差异，对于同样的错误，其产生的原因会有所区别. 错误是无法避免的，但是对待错误的态度将直接影响着后期的学习. 在教学中，教师既要给予科学的指导，又要引导学生进行自我反思，以此提高学生自我纠错能力，发展学生数学素养［2］. 分析错误的原因，实际上是培养学生学习能力的良机. 由于每次错误背后都有其特定的原因——有些错误源于理解能力的不足，有些错误源于个人经验与数学规律未能有效结合，还有些错误源于对之前所学知识的掌握不够深入……因此，从这个角度来看，对错误原因的分类分析，不仅与学生的学习成果紧密相关，也深刻影响着学习过程；它不仅关联着学生对知识的掌握程度，还关系到学习能力的培养. 对错误原因的剖析是学生巩固知识、塑造学习能力的关键基础. 下面笔者结合自己的教学经验对五种错误类型进行分析与阐述.

1. 概念模糊不清

高中课程涉及众多概念，这些概念之间存在着内在联系. 如果学生对这些概念的理解不够深入，他们在解答问题时往往会因为概念的误用或过度使用而丢分. 因此，在解题教学中，教师要突出概念的重要性，让学生准确地把握概念，灵活应用概念解决问题.

例1 已知非零向量a=（x，2x），b=（－3x，2）. 若a，b的夹角为钝角，求实数x的取值范围.

错解 因为a，b的夹角为钝角，所以a·b<0，即x·（－3x）+2x·2<0，解得x∈（－∞，0）∪，+∞.

分析 上述错误是学生对向量夹角概念的理解不到位，忽略了夹角的范围所导致的. 向量的夹角θ∈［0，π］，所以a·b>0或a·b<0并不等价于夹角为锐角或钝角. 从夹角θ的范围去思考，应当排除θ=π的情形，故正解是－∞，－∪－，0∪，+∞.

评注 在日常的概念教学中，教师应当引导学生密切关注教学的细节部分，鼓励他们积极参与概念的构建，深入理解概念的内涵与外延，并掌握其核心本质，从而有效地降低错误发生的概率.

2. 审题能力不强

审题是解题的第一步，也是关键的一步. 在审题时，既要读懂显性条件，又要充分挖掘隐含的信息，以便通过合理的整合，找到解决问题的突破口［3］. 然而，在实际教学中，许多学生往往粗略地阅读题目后便急于开始解答. 由于思考不全面导致解题过程中断，这不仅影响了解题效率，也削弱了解题信心. 因此，在日常教学中，教师要重视学生审题能力的培养，引导他们形成良好的阅读和分析习惯，从而提升他们的审题技巧.

例2 数列a的前n项和为S，若a=1，a=3S，则a=______.

错解 由a=3S可得a=3S，两式作差得a=4a，结合等比数列的通项公式可得a=256.

分析 由a=3S得a=3S，需要满足n>1这一条件. 由于学生对基础知识的掌握不牢，导致他们对隐性条件的理解不清，因此在分析问题时忽视了n>1这一条件. 在解题过程中，虽然得到了a=4a，但是要在n≥2时才能满足，故a=aq3，得其正解为3·43，即192.

评注 在解题时，常常会因为忽略隐含条件而导致错误的发生. 例如，在探讨圆锥曲线与直线的交点问题时，学生在运用方程思想方法求解过程中，容易忽略Δ≥0这一条件；又例如，在解决函数问题时，常常会忽略定义域的取值范围. 等等. 实际上，在解决问题的过程中，这类错误时常出现. 因此，在评讲时，教师应当充分展现学生的思维过程，并引导他们自我纠正，以此培养他们缜密的思维习惯.

3. 运算能力薄弱

运算能力是学生必须掌握的基本技能，然而在解题过程中发现，学生常因解题方式选择不当、化简运算粗心等而造成解题中断或解题错误. 出现这一现象的原因与教师的“教”和学生的“学”息息相关. 为了充分利用课堂时间，教师往往主导课堂，很少预留时间让学生独立计算练习. 在构建解题策略之后，部分教师直接向学生透露答案，随后转向下一题. 这样的做法不仅无法有效地提升学生的计算能力，反而可能导致学生形成计算不重要的误解，妨碍他们提高计算能力. 学生经常通过专项运算练习来提升自己的计算能力，然而，这种方法往往只会加剧他们对数学枯燥无味的感受，并未带来其他实质性的效果. 为了提升学生的运算能力，应当将运算融入到实际的解题情境中，引导学生明确运算目标、设计运算流程、优化运算策略等. 此外，在课堂教学中，教师应安排充足的时间，让学生能够完整地完成题目，从而亲身体验运算在解题过程中的重要性.

4. 分类讨论能力不足

在解答问题时，采用分类讨论思想方法尤为重要. 恰当的分类讨论能够有效降低问题的复杂性，揭示解题途径，并显著提高解题效率. 然而，在解答问题的过程中，学生常常会由于分类不当而导致错误.

例3 已知集合A=｛x0<ax+1≤5｝，集合B=x－<x≤2？摇. 若A∩B=A，则实数a的取值范围是______.

分析 在解题过程中，一些学生忽略了对a的分类讨论，直接求得－<x≤；另一些学生虽然分类了，但仅限于两种情况——a>0和a<0，忽略了a=0；还有学生虽然考虑到了上述三种情况，却误认为集合A为空集，这导致他们的解答出现了错误. 仅有少数学生能够准确地分类，但他们在分析区间端点的开闭性时出现了失误，因此也没有得到正确答案. 其实，例3就是一道标准的常规题，难度不大. 然而，由于学生在思考过程中缺乏严密性，未能掌握分类讨论的核心要义，最终导致失败.

评注 分类讨论是一种重要的数学思想方法，其对某些问题的解决有着关键作用. 然而，许多学生在解决需要进行分类讨论的问题时常常“丢三落四”，由于分类不明确，导致错误发生. 为了扭转这一状况，教师可以在教学过程中实施一系列专项训练，强调“逻辑分类”的重要性. 通过这些训练，学生在分类时能够确保既不遗漏也不重复，从而培养出条理清晰且严谨的思维能力.

5. 逻辑推理能力弱

逻辑推理能力是学生认识数学知识、分析数学知识、应用数学知识所需要的重要能力. 在教学中，教师应重视学生逻辑推理能力的培养，引导学生认清问题的本质.

例4 设函数f（x）=ax2+bx，且－1≤f（－1）≤2，2≤f（1）≤4，求f（－2）的取值范围.

错解 根据已知可得－1≤a－b≤2，2≤a+b≤4，解得≤a≤3，0≤b≤，所以f（－2）=4a－2b∈［－3，12］.

分析 在解决此类问题时，学生往往倾向于单独求出a，b的取值范围，然而应知道这两者是相互制约的，不能满足取值的“任意”性. 实际上，很容易验证上述答案是否正确：若a=3，则1≤b≤2，此时4≤a+b≤5，显然与已知条件不符. 求解本题时，可以将a+b，a－b看作一个整体，利用同向不等式运算确保求出的范围不变化.

评注 数学是一门逻辑性极强的学科，其问题的解决过程通常环环相扣. 只有当学生拥有严密的思维和一定的逻辑推理能力时，他们才能找到正确的切入点，从而高效且准确地解决问题.

改进策略

理性地看待学生在学习和解题过程中所犯的错误，是帮助他们积累知识和提高能力的关键第一步. 随后，更为关键的任务是寻找并实施有效的改进策略. 对学生来说，改进策略应当重视学生的解题习惯——许多教师认为解题习惯与智力无关，认为习惯仅源于日常的解题训练，然而这种理解并不全面. 实际上，习惯反映了学生对自己解题过程的理解，以及影响学习的多种因素，因此，它是纠正学生学习错误的关键起点. 此外，教师还应重视培养学生良好的思维习惯和计算能力. 下面分别说明.

1. 规范解题过程

纵观学生在解题过程中出现的错误，发现这些失误源于学生未能培养出良好的解题习惯. 学生在解题时常常“跳步”，这导致由于解题过程缺乏规范性，从而出现错误套用公式或凭空臆测的情况. 因此，在日常教学中，教师应引导学生以清晰和规范的方式解答问题，确保每一步骤都有充分的依据，从而降低误解的风险. 当然，规范的解题过程不仅需要关注书写规范，还应当重视审题规范. 必须确保思路清晰、过程完整，以有效避免“会而不对”的情况发生.

教师帮助学生规范解题过程是一个需要理性看待的过程，规范解题过程一定不能成为规范解题的重复训练，而这是日常教学中最容易出现的行为之一. 理性地引导学生规范解题过程，本质上是为了帮助学生理解解题过程中所蕴含的逻辑关系. 这要求学生将最能体现因果推理的环节清晰地表达出来，并确保表达的准确性，以确保言辞能够充分传达其意. 在学生形成这样的认识后，引导他们审视自己不规范的解题步骤，识别出哪些部分是不必要的，并判断还缺少哪些要素. 实践表明，通过这种努力，学生通常能够理解解题步骤的规范性，确保最终提交的解题过程符合既定的标准.

2. 培养思维习惯

通过分析上述错误原因，可以清晰地看到，学生在解题时出现的错误与其思维习惯紧密相关. 由于学生的思维缺乏必要的严谨性、深度和灵活性，导致他们虽然理解了问题，却无法有效地解决问题的情况. 在学习过程中，学生应当摒弃传统的“接受式”思维方式，转而采取积极主动的态度，多思考、多探究、多交流，养成“勤思善问”的好习惯，以此有效发展思维能力.

大量的教学经验表明，学生在学习过程中很难形成良好的思维习惯，而这极大地制约了学生的数学学习效果，体现在解题过程中，就是解题方向确立不准，选用的知识工具杂乱无章. 在多数情况下，学生学习是被动的，他们很少意识到需要主动去培养自己的思维习惯，这使得提升学习能力变得相当困难. 因此，在培养学生思维习惯的过程中，教师必须采取精准的策略，给予学生充足的时间和空间去思考. 对于关键的题型或知识点，应确保学生进行适量的重复练习，以便巩固必要的思维过程，进而培养出良好的思维习惯. 此外，必须特别指出，在培养学生思维习惯的过程中，教师应当容许学生犯错，并引导他们理解错误的根源. 当学生真正理解了错误的原因，他们通常能明白如何努力可以获得正确的逻辑思维，这同样有助于塑造他们的思维习惯.

3. 做到理性运算

在解题过程中，要做到理性分析，切勿拿笔就算，唯有深思熟虑，方能寻得恰当的突破口，进而简化计算流程，提高解题准确率. 在日常教学中，教师应重视引导学生展示其运算过程，以便通过有效的互动帮助学生澄清知识脉络，并构建完整的知识体系. 相比之下，培养学生在运算过程中保持理性，实际上是在引导他们形成一种良好的运算态度. 许多学生存在一个误解，他们认为解题过程中，掌握推理方法是至关重要的，只要足够细心，就不会犯下运算错误. 教师必须引导学生树立正确的认识，让学生理解重视运算同样至关重要. 这不仅仅是关乎细心的问题，而是关乎运算习惯和运算能力的问题. 只有当学生培养出良好的运算习惯和强大的运算能力时，才能确保解题时避免重复犯错.

总之，在日常教学中，教师应正确对待错误，并巧妙地利用它们，深入挖掘错误所蕴含的潜在价值. 这样，错误就能成为提升学生认知能力、培养学生综合素养以及增强解题技巧的有力工具.

参考文献：

［1］ 曹文慧. 有关高中数学课堂教学中“错误资源”的应用研究［J］. 语数外学习：高中版（下），2019（5）：46-46.

［2］ 茅建未.提高审题能力——高中数学高效解题的前提［J］. 数学教学通讯，2020（6）：57-58.

［3］ 钱怡. 着眼于优化解题教学的高三数学复习教学实践研究［J］. 数学教学通讯，2021（24）：52-53.