融入数学史的数学教学

［摘  要］ 数学史是数学文化的重要组成部分，具有潜在的教育价值.在教学中融入数学史并非单纯地讲数学故事，而应将数学史渗透到数学教学中，学生不仅能感受数学的美学魅力，认识数学的文化价值，还能应用数学家的思想和方法建构新知或解决问题. 文章以“数列”的教学为例，探究如何将数学史有效融入到数学教学中.

［关键词］ 数学史；数学教学；数列

《普通高中数学课程标准（2017年版）》中的“教学建议”指出：“在教学活动中，教师应有意识地结合相应的教学内容，将数学文化渗透在日常教学中，引导学生了解数学的发展历程，认识数学在科学技术、社会发展中的作用，感悟数学的价值，提升学生的科学精神、应用意识和人文素养.”［1］

目前，我国多数学者研究了教材中蕴含的数学史和数学文化，数学史融入数学教学的原则和策略，基于数学史的教学设计，等等. 从这些研究中可以发现，数学史具有很好的教育价值，但在教学实践中会遇到一些难题，比如如何在众多史料中选择最恰当的？针对不同的课题和教学环节，选择什么样的方式方法将数学史融入到教学中才能提高教学质量并达成教学目标？这些都是值得思考的问题.

“数列”作为高中数学学习的重点内容之一，蕴含着一些重要的数学思想方法.在数列的学习过程中，概念、公式繁多，学生容易丧失兴致，但数列具有深厚的历史底蕴，可从数学史入手激发学生的学习兴趣，因此以“数列”的教学为例来探讨数学史融入数学教学的意义、方式以及如何在数学教学各个环节中融入数学史，具有较好的示范性和参考性.

■ 数学史融入数学教学的意义

彭刚、汪晓勤等学者认为，在将数学史融入数学教学的过程中，教师可以得到更好的专业成长，其内在专业结构也不断得到更新、演进和丰富；学生能更好地理解数学知识、数学过程与数学方法，培养美好的情感观、积极的态度观和正确的价值观［2］.

将数学史融入课堂教学，使得教学内容丰富且有意义，课堂中充满乐趣和文化气息，是加强数学文化教育的有效途径. 对于学生而言，不仅能够调动学习的积极性，将被动接受转化为主动探索，在轻松愉快的课堂中习得新知，而且能够感受数学的美学魅力，认识数学的文化价值，应用数学家的思想和方法建构新知和解决问题.

■ 数学史融入数学教学的方式

汪晓勤教授结合我国数学课堂教学的特点，并将国外已有的几种数学史运用方法进行整合和优化，提出了四种运用方式，分别为附加式、复制式、顺应式以及重构式［3］. 这四种运用方式并没有优劣之分，教学时可采用一种或多种结合的方式将数学史融入到数学教学中.

1. 附加式

附加式是较低层次的运用方式，只是将数学史作为教学内容的一个补充. 主要介绍数学家的生平事迹或重大数学成就，某个数学主题的发展过程，以及数学概念、命题和符号的来源，等等. 因此，通常在情境导入环节中使用附加式，能够调动学生学习的积极性，增强其求知欲，丰富课堂教学内容. 例如，在教学“数列的概念”时，可引入古希腊毕达哥拉斯学派的“形数”、泰姬陵的“宝石数”以及泥板书的“月相表”.

2. 复制式

复制式也是较低层次的运用方式，它是直接呈现史料，不对史料进行任何改编，让学生体会史料的“原汁原味”. 因此，通常在巩固练习环节中使用复制式. 例如，在教学“等差数列的通项公式”时，可选用《九章算术》中的一些问题作为习题，题目中难以理解的字词应进行注释，避免学生在理解题目的过程中遇到困难，而无法考查学生是否真正掌握了知识.

3. 顺应式

顺应式是较高层次的运用方式，它结合学生的知识基础、认知水平以及本节课知识的特点，对史料进行改编.通过改编可以在一定程度上避免“史料虽好，但不适用”的情况. 例如，在教学“数列的递推公式”时，可将汉诺塔改编成游戏，在游戏中学习数列的递推公式.

4. 重构式

重构式是最高层次的运用方式，它是一种隐形的方式，通过学习史料中蕴含的数学思想方法，让学生在潜移默化中建构新知，而不是被动地接受知识. 例如，在教学“等差数列的前n项和”时，通过讲述高斯计算1+2+3+…+100的故事，学生从中获得启示，从而推导出等差数列的前n项和公式.

■ 如何在数学教学各个环节中融入数学史

荷兰著名的数学教育家弗莱登塔尔曾强调：将数学史融入课堂教学，不是简单的谈历史、讲故事，而是要灵活运用数学史知识，引起学生的兴趣，启发学生的思维，进而有效地帮助学生理解和学习知识［4］. 我国数学教育家张奠宙提出：数学史的研究任务就是提供各种数学历史背景，让学生了解数学的原始思考及其来龙去脉，获得真正的理解［5］.

生搬硬套地在课堂上介绍史料只是形式上的融入，起不到任何教学效果. 要将数学史有效融入到数学教学中，首先需要教师针对本节课的知识开展深入、全面的史料研究，了解相关知识产生、形成、发展的过程，只有在这个基础上才能更好地将数学史讲述给学生. 其次史料的选择十分关键，应选择学生更容易接受的，能引起学生注意和思考的史料. 再次可根据情况对史料进行加工和改编，既能提高教学质量，又能在教学过程中体现一些数学思想和方法.最后要精心设计将数学史融入课堂教学的时机、方式和方法. 下面探讨如何在情境引入、主题探究、巩固练习三个数学教学环节中融入数学史.

1. 在情境引入中融入数学史

情境引入作为一节课的开端，这意味着如果采用融入数学史的方式来引入课题，那么史料的选择和处理十分重要，既要与本节课的内容息息相关，又要能激起学生的学习兴趣，引发学生思考，保证课堂教学顺利、高效地进行下去.

案例1 “等比数列的前n项和”教学的情境引入——棋盘上的麦粒问题.

教师展示国际象棋的图片，并讲述国王与国际象棋发明者之间的故事.

师：相传当时的国王为了奖赏发明国际象棋的人，便问他想要什么，发明者说：“我想要麦子.”国王笑了笑，便问他要多少，他答道：“在第一个棋格里放1粒麦子，在第2个棋格里放2粒麦子，由此下去，每一个棋格里的麦粒数都是上一个棋格里的2倍，直到放满64个棋格. 64个棋格的麦粒总数就是我想要的数量.”国王爽快地就答应了.

问题1 同学们可以帮助国王算一算要奖赏国际象棋发明者多少粒麦子吗？

学生分析后列出1+2+4+…+263，但在逐项相加时发现数值越来越大，这样计算结果较困难.

问题2 若将每一个棋格里的麦粒数看成一个数列，则这个有64项的数列有什么特点？

学生回答这个数列是首项为1，公比为2，项数为64的等比数列.

因此求64个棋格的麦粒总数就是求首项为1，公比为2的等比数列的前64项和. 这就是我们今天要学习的内容——等比数列的前n项和.

设计意图 采用故事法，讲述国王与国际象棋发明者之间的故事，吸引学生的注意力，自然地引入本节课要学习的内容.

2. 在主题探究中融入数学史

主题探究是课堂教学的第二个环节，也是中心环节. 在这个环节中，教师可借助数学史帮助学生建构新知，将相关知识产生、形成、发展、演绎的过程呈现给学生，而不是直接将结论讲给学生. 若涉及数学家的数学思想和方法，应着重讲解或让学生自己领悟、探索其中的精髓，并应用这种思想和方法解决问题.

案例2 等差数列的前n项和——高斯计算1+2+3+…+100.

教师简要介绍高斯在数学领域的成就，并讲述高斯读小学时，他的老师提出了这样一个问题：1+2+3+…+100=？当其他同学还正逐项相加时，高斯就计算出来了. 高斯把1和100结合相加，2和99结合相加，由此下去，就可以得到50对101相加，很快得出结果为5050，即（1+100）+（2+99）+…+（50+51）=101×50=5050. 高斯实际上算出了等差数列1，2，3，…，n的前100项和.

问题1 你能说说高斯在求和过程中使用了什么技巧吗？你从中得到了什么启示？

问题2 你能用高斯的方法计算1+2+3+…+100+101吗？

通过以上两个问题学生发现，采用高斯的方法求等差数列的前n项和，当项数为偶数时方便快捷，当项数为奇数时多了一个中间项.这导致计算等差数列的前n项和时需要对项数分奇、偶数进行讨论.

问题3 我们应如何计算才能避免将项数分为奇、偶数进行讨论呢？

■ 结语

教无定法，贵在得法！将数学史融入到数学教学中，如果只是生搬硬套地介绍史料，那么数学史与数学教学的融合只会停留于表面. 如果学生能应用从数学家身上学到的数学思想和方法来建构新知或解决问题，形成自己的数学思维，那么这才是高层次的将数学史渗透到数学教学中最大化的教育价值.

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版）［S］. 北京：人民教育出版社，2018.

［2］ 彭刚，汪晓勤，程靖. 数学史融入数学教学：意义与方式［J］. 成都师范学院学报，2016，32（01）：115-120.

［3］ 汪晓勤. 数学史与数学教育［J］. 教育研究与评论（中学教育教学），2014（01）：8-14.

［4］ 高红磊. 以史为鉴，感受魅力数学课堂——以“数列”为例谈如何将数学史融入课堂教学［J］. 中小学数学（高中版），2021（03）：57-59.

［5］ 王兄. 基于图式的数学学习研究［D］. 华东师范大学，2005.