基于历史名题的高中数学单元复习课教学：徐东

[摘  要] 受《九章算术》运用“鳖臑”解决大量实际问题的启发，以该历史名“体”设计了三个层次的探究：采用“问题链”的方式，引导学生以严谨的逻辑推理验证直观想象，以系统的知识体系感受公理化思想，以“鳖臑”解构形式各样的几何体、深刻体会我国古代数学的建模思想，培养空间意识与科学精神，感受数学史的教育价值.

[关键词] 鳖臑;立体几何;单元复习;历史名题;数学文化

[⇩] 引言

徐光启在评论《几何原本》时曾说过，“举世无一人不当学几何”. “立体几何初步”位于人教A版必修第二册第八章，其主要任务是研究空间中物体的形状、大小与位置关系. 在课程设置上，它是初中平面几何的延续，从二维增加到三维，又是高中必修第二册6.4.3“余弦定理、正弦定理”的具体应用，是高中数学课程的重要板块.

现实中，不少学生在学习立体几何之初感到困难较多，引入空间向量、空间直角坐标系后，反而觉得简单了. 从解题的角度来看，有了“坐标法”的帮助，立体几何的教学任务似乎已经完成了，但从“立体几何初步”的教育价值来看，却仍然存在着较大差距. 主要体现在：一是高中立体几何中的两大位置关系——平行与垂直. “平行”在立体几何直观图中能得到形象的表现，而“垂直”往往不能仅凭观察获得，有时甚至与图形相距甚远，需要用几何推理、论证才能判断与确定，即用推理来丰富直观想象. 二是我国日常教学中，随着课时计划的推进，学生的立体几何知识是逐步获得的，其认知发展是线性的，若仅满足于解题而忽视知识体系的整体建构，不易形成公理化思想，有悖于“立体几何初步”的教学初衷. 以上两点是这一单元复习课需要解决的主要问题.

“鳖臑”是我国古代数学的一个常用几何模型，比正方体更为精简，但它蕴含的位置关系和几何特征却更丰富. 如何利用这一历史名“体”破解上述困难，笔者在教学中进行了尝试.

[⇩] 史料

“鳖臑”是我国古代对三棱锥的称谓. 《九章算术》第五卷“商功”第十五问[1]：

今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺. 问积几何？

答曰：九十三尺、少半尺.

术曰：广袤相乘，以高乘之，三而一.

刘徽（约公元225年—295年）注：邪解立方，得两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑成一阳马，合三阳马而成一立方，故三而一.

如图1所示，将一个长方体沿一对角面截开，就得到两个三棱柱，即“堑堵”.

如图2所示，将一个“堑堵”分解成一个四棱锥和一个三棱锥，所得的四棱锥就是“阳马”，三棱锥是“鳖臑”.

第五卷“商功”主要讲的是土石工程的计算和各种立体体积的计算，包括正四棱柱、圆柱、圆台、正圆锥等10种立体体积. 该卷共提出了28个立体几何问题，而涉及“鳖臑”的有18个问题：直接应用的有1题，间接使用的有17题，按使用方式统计如表1所示，相应占比分析如图3所示.

可见我国古代先民以“鳖臑”为基本几何构件，解决了大量的空间度量问题.笔者受此启发，选取“鳖臑”为重要模型，进行“立体几何初步”单元复习.

[⇩] 教学实践

1. 创设情境

课前发放《预习单》，向学生介绍“鳖臑”的几何结构及史料. 要求学生温故教材，梳理出课本中与“鳖臑”相关的例题或练习题.

《预习单》的回收情况表明教材中存在着大量的与“鳖臑”相关的问题，摘录若干如下：

人教A版必修第二册第八章“立体几何初步”，第158页第3题和第171页第13题，题目自身几何体即“鳖臑”;第164页第19题可以通过连接顶点得到三棱锥A-ABC即“鳖臑”;第152页例4可以通过连接顶点得到三棱锥A-BBC即“鳖臑”;第170页第11题过B作BE⊥CD于E，从而得到三棱锥A-BDE即“鳖臑”.

这与表1统计《九章算术》中“鳖臑”的使用方式相似，这为课堂教学创造了有利条件.

2. 课堂探究

上课伊始，教师发放《学习单》.《学习单》中设计了三个层次的探究，每一层次的探究配置了若干问题，以“问题链”的方式，采取步骤“直观感知→操作确认→推理论证→度量计算”，引导学生温故知识、整理方法，形成系统的立体几何知识网络，提升空间观念.

探究1：验证直观感知.

问题1-1：我们知道，空间中任意三点必共面，但是任意四点却未必共面.如图4所示，取AC，BC，BD，AD的中点分别为E，F，G，H，连接EFGH，请观察“鳖臑”中四边形EFGH是否为平面图形;如果是，猜想是什么图形.

问题1-2：由问题1-1得到的平行四边形EFGH与AB是什么位置关系？

问题1-3：记AC，BC的中点分别为E，F，过EF的平面α交BD，AD（不包括端点）于G，H两点，直线AB与直线GH是什么位置关系？

问题1-4：如图5所示，取AC，BC，CD的中点分别为E，F，G，平面EFG与平面ABD是什么位置关系？

问题1-5：取AC，BC的中点分别为E，F，过EF且与平面ABD平行的平面α交CD于G，BD与FG是什么位置关系？

问题1-6：在问题1-5中，平面α内的任意一条直线与平面ABD是什么位置关系？

问题1-7：“鳖臑”四个表面是否都为直角三角形？

通过以上7个问题的探究引导，师生共同梳理了相应的知识（如图6所示），并让学生口述相应位置关系的数学定义.

本轮探究以学生易于想象的平行关系为基础，在他们猜想出共面、平行的情况下，促使他们主动提取平面的基本事实、线面平行判定定理、线面平行性质定理等知识，对一个显而易见的事实进行证明，为下一步探究树立大胆猜想、严密论证的数学学习观;问题1-7为垂直关系的学习埋下了伏笔.

探究2：体验严谨思维与精确度量.

问题2-1：如图7所示，直线AB与平面BCD是什么位置关系？

问题2-2：线段BD上有一动点E，直线AB与CE是什么位置关系？

问题2-3：思考并证明平面ABD与平面BCD的位置关系.

问题2-4：在平面BCD内过C作CE⊥BD于E，直线CE与平面ABD是什么位置关系？

问题2-5：若

AB

=

BC

=

CD

=2，则直线AD与平面BCD所成角的正弦值为多少？

问题2-6：若

AB

=

BC

=

CD

=2，则二面角B-AD-C的大小是多少？

问题2-7：若

BC

=

CD

=2，二面角A-CD-B的大小为，则直线AD与平面ABC所成角的正弦值为多少？

通过以上7个问题的探究引导，师生共同梳理了相应的知识（如图8所示）.

本轮探究以垂直关系为主线，在无法可视化获得是否垂直这一结论的情形下，处理方式与平行关系已经大为不同，必须依靠严密论证来找到垂直的位置关系，再系统规范地思辨、论证得到结果，“采用演绎的形式用文字、数学符号和普通的逻辑来表达”[2]. 为此，教师应帮助学生将这些貌似杂乱的结论用逻辑链条重新铺排，追根溯源至其原始概念——平面[3].

“垂直”在立体几何中具有特殊地位.求线面角时，需要通过垂线得到斜线在平面内的射影. 求二面角时，需要二面角的棱与两个半平面的射线同时垂直，得到其平面角. 如图9所示，当l⊥OA且l⊥OB时，∠AOB是二面角的平面角.

在具体问题中，与二面角的棱垂直的两条射线往往不是现成就有的.给出较多的是某半平面内的斜线AC，如图10所示，需要我们自己去作垂线AB⊥β，从图中可以发现，几何体A-BOC就是“鳖臑”.

计算线面角的关键就是找由斜线段、垂线高、射影组成的直角三角形. 高可以通过面面垂直的性质定理得到，也可以通过线面平行等距转化、相似三角形等比例转化、等体积法转化等间接得到.

平行关系、垂直关系是立体几何中最基本的关系，体现了从空间问题到平面问题的转化，需要教师帮助学生提升图形识别、空间想象、逻辑推理等能力.

探究3：解构与建构.

很多立体几何问题中都能找到“鳖臑”的身影. 为进一步深化学生对于“鳖臑”的体验与认知，教师给出了以下6个探究问题，让学生在复杂的几何结构中寻找“鳖臑”.

问题3-1：如图11所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，已知∠ABC=120°，AB=1，BC=4，PA=，M，N分别为BC，PC的中点，PD⊥DC，PM⊥MD. （1）证明：AB⊥PM;（2）求直线AN与平面PDM所成角的正弦值.

注：三棱锥P-MCD即“鳖臑”.

问题3-2：如图12所示，在三棱台ABC-DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，

DC

=2

BC

. （1）证明：EF⊥DB;（2）求直线DF与平面DBC所成角的正弦值.

注：求线面角时可过D作DG⊥AC于G，连接GB，三棱锥D-GBC即“鳖臑”.

问题3-3：如图13所示，已知三棱柱ABC-ABC，平面AACC⊥平面ABC，∠ABC=90°，∠BAC=30°，AA=AC=AC，E，F分别是AC，AB的中点. （1）证明：EF⊥BC;（2）求直线EF与平面ABC所成角的余弦值.

注：过C作CG⊥AC于G，三棱锥G-ABC即“鳖臑”.

问题3-4：如图14所示，已知多面体ABCABC，AA，BB，CC均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，AA=4，CC=1，AB=BC=BB=2. （1）证明：AB⊥平面ABC;（2）求直线AC与平面ABB所成角的正弦值.

注：延长AB，使得AG=2AB，则三棱锥A-AGC即“鳖臑”.

以上4个问题分别为浙江省2021年、2020年、2019年、2018年高考第19题.由此可见，“鳖臑”这一历史名“体”融汇了立体几何的多种知识与方法，成了高考的热点问题.

问题3-5：北京冬奥会的美好回忆始于一片雪花，讲述了“世界大同，天下一家”的故事，完美契合了“更团结”的奥运精神. 北京冬奥会主火炬由一个六边形及六个等腰三角形组成. 如图15所示，ABCDEF是边长为2的正六边形，GHIJKL沿着正六边形的各条边向上翻折到同一点P，形成正六棱锥P-ABCDEF.

（1）定义：多面体顶点的“曲率”是指“2π与这一点的面角之和的差”.若正六棱锥P-ABCDEF的侧棱长为+，求正六棱锥P-ABCDEF的各个顶点曲率之和.

（2）若平面ABP⊥平面DEP，求直线AP与平面DEP所成角的正弦值.

解：（1）各个顶点的曲率之和为4π;

（2）如图16所示，取AB的中点为R，ED的中点为K，连接PR，PK，记平面ABP与平面DEP的交线为l. 可得l⊥PR且l⊥PK，故平面ABP与平面DEP所成二面角为∠RPK，即∠RPK=90°. 不妨设正六边形的边长为2，则在直角三角形RPK中，RP=，侧棱长PA=. 由直线AB∥平面PED得点A到平面PED的距离等于R到平面PED的距离RP，故直线AP与平面DEP所成角的正弦值为=.

注：三棱锥P-OKE即“鳖臑”.