谈谈高中数学教学对学生直观素养的培育

[摘  要] 直观素养有助于催生学生形成和发展数学猜想. 在高中数学教学中，教师要引导学生通过感知、观察、建构和建模等，丰富学生的原型直观、表象直观、想象直观和模型直观等. 作为教师，必须有意识地培育学生直觉思维能力、想象能力. 通过“本质直观”能力的培育，让学生形成一种有创新性、创造性的能力.

[关键词] 高中数学;直观想象;数学素养

直观素养是数学素养的重要组成部分，是沟通“数”与“形”两者之间的认知桥梁、纽带. 在高中数学教学中，教师应当有意识地借助实物、模型（包括图片、图形）等培育学生的直观素养. 高中生的认知特点是以抽象逻辑思维为主，但同时也必须辅之以直观思维[1]. 可以这样说，直观素养有助于催生学生形成和发展数学猜想，而抽象逻辑演绎思维则有助于学生对相关数学定理等进行证明. 有时，直观素养还能直接洞察数学知识本质，这就是一种“本质直观”（胡塞尔语）.

[⇩] 引导学生感知，丰富学生的“原型直观”

学生的直观想象与直观能力是密不可分的. 学生的直观素养可以分为原型直观、表象直观、想象直观和模型直观. 所谓原型直观，是指“教师在教学中向学生呈现原型以便让学生通过视觉建立初步认识的过程”. 相较于初中阶段、小学阶段，高中阶段的数学知识的原型可能更隐蔽、更难找寻一些.

尤其是学生学习“立体几何初步”等相关知识时，就需要借助现实世界中的几何原型来认识特征. 原型直观不同于日常生活中的一些物体，原型直观是数学模型的标准外化，或者说是一种“物化模型”. 借助这种“物化模型”，不仅能引导学生进行观察、操作，而且能引发学生进行思考、想象、探究. 原型直观（物化模型）是从现实世界、现实生活中抽象出来的，蕴含着数学关系. 在高中数学教学中，尽管学习主体是高中生，但他们在感知复杂的立体图形时，其视知觉还是很不稳定的，前面的视觉感知往往容易被后续的视觉感知所覆盖. 在培养学生原型直观（物化模型）的过程中，教师要引导学生进行合理性表征和操作等. 因此，教师引导学生进行原型感知时，要提供前后一致的物体. 当学生初步建立了知觉形象后，教师就可以对相关的形体进行变式，比如从位置、方向等方面进行改变，从而凸显形体的本质特征. 尤其是，要引导学生从形体的面、棱、顶点等方面获得感知，从而让学生能区分形体，比如棱柱与棱台，棱柱与棱锥，直棱柱与斜棱柱或正棱柱，棱锥与圆锥，等等. 在培养学生视知觉的过程中，教师不仅要让学生看，更要将事物的原型保存在学生的头脑之中，这就是通过感知对形体的初级加工. 在此基础上，还要引导学生进行形体辨别，引导学生通过视觉调控，把握一种形体与另一种形体的共同点和不同点. 通过丰富学生的原型直观，能让学生从生活原型中形成对几何图形的大致认识.

引导学生感知，要打开学生的感知觉的门户，让学生充分地看、听、触摸等. 从具身认知的视角来看，感知不仅要用眼睛来看，还要用身体来感受、体验. 当然，在这个过程中，视知觉具有得天独厚的优势，应当予以彰显. 在学习的过程中，要引导学生将其他的知觉方式方法与视知觉联系起来、联通起来，从而促进学生获得感知. 如在上述几何形体的教学中，对特征感知是基础，在此基础上，还要对形体进行比较、操作、辨别，这就是一种高级感知.

[⇩] 引导学生观察，培育学生的“表象直观”

从某种意义上来说，学生数学学习效能的高低，在很大程度上取决于学生的数感. 所谓数感，就是指“对数学学科中的数与形的感觉”[2]. 数学学科中的数感与语文学科中的语感、音乐学科中的乐感一样，都是一种直观、直觉的产物. 当然，这种直观、直觉依赖经验的累积、知识的丰富等. 为了让学生形成良好的数感，培育学生的数学直感，教师必须引导学生进行数学观察.

数学观察是一种“有目的地看”. 数学观察不是将学生投入“数的海洋”或“形的海洋”，而是引导学生有序、有向、有法地看. 通过数学观察，帮助学生建立数学知识的表象. 可以这样说，表象是学生数学直感的根基，也是学生数学直感的开端，表象对于学生的知觉加工有着重要的影响. 荷兰著名数学教育家赫尔经过研究认为，学生直观素养可以分为五个层次，即视觉层次的直观、描述分析层次的直观、抽象直观、推理直观、公理化直观等. 显然，积累学生表象是提升学生直观水平、直观能力等的基石. 在引导学生进行表象直观的过程中，教师要对学生的直观活动进行设计，从而避免学生数学直观的随意性、虚假性等，让学生能够借助直观素养在操作、理解之间穿行. 比如人教版“基本立体图形”中的“棱台”这部分内容的教学，笔者就提供了多个图形让学生观察，从而帮助学生建立棱台的正确表象，引导学生在观察中感悟图形的本质特征，舍弃图形的非本质特征. 通过这样的观察，培育学生的数学直感. 学生由于受到了多个棱台图形的刺激，能够在大脑皮层中建立表象，并将这种表象储存到记忆的深处. 在此基础上，笔者引导学生进行对比、研判，让学生认识到“棱台不是长方体”“长方体是底面为长方形的直四棱柱”等. 在判断的过程中，让学生说出这两种形体的异同. 从某种意义上来说，学生的数学直感依赖学生记忆中储存的表象.

表象是原型直观的结果，为了丰富学生的表象，教师有必要向学生提供数学知识的原型，从而丰富学生的感知，丰盈学生的表象，深化学生的记忆，促进学生对相关数学知识的理解. 在高中数学教学中，表象不仅是学生感知的结果，表象更具有过程的意义，表象能促进、发展、提升学生的感知. 对于高中生来说，数学直感依赖学生头脑中积累的数学表象，表象越丰富、越完善，学生的直感就越精准、直感思维能力就越强.

[⇩] 引导学生建构，培育学生的“想象直观”

在高中数学教学中，原型直观是帮助学生建立空间观念的过程，表象直观是帮助学生建构几何表象的过程，而想象直观则是引导学生对表象进行深度加工、操作并建立新表象的过程. 作为教师，要引导学生建构、培育想象直观. 一般来说，培育学生想象直观的过程就是帮助学生建立表象、构建直观模型的一个逻辑详细的过程. 想象直观能发展学生的直觉能力、想象能力.

直观与想象是不可分割的. 可以这样说，“直观无想象则空，想象无直观则盲”. 想象与直观是相辅相成、相互促进、相得益彰的. 在直观想象的过程中，学生对头脑中的已有表象进行加工并改造，从而构建新的形象. 直观想象是一种特殊的思维样式，它往往能突破原有的认知局限、时空束缚等，能有效地预想未来，形成一种灵感思维. 作为教师，要精心架构、打造培养学生直观素养的平台，引导学生把握直观、表象与推理之间的关联，进而有效地提升学生的直观能力，发掘学生的直观潜质潜能，发展学生的直观素养. 比如学习“棱锥的体积”这一部分内容时，有学生根据棱锥和棱柱的表象，联想到圆锥的体积是圆柱的体积的三分之一. 有了这样的直观想象，学生就会调动已有知识经验进行证明. 在引导学生直观想象的过程中，教师要帮助学生摆脱原型直观，同时融入一定的逻辑推理等. 这种逻辑推理有可能不是很严密的，而只是一种合情性、合理性的推理，因而属于一种直观想象. 在数学教学中，教师要引导学生进行解释、认知，促进学生的主观与客观不断相互作用，从而让学生的意向性不断丰富. 想象性的直观，就是引导学生找寻已知和未知的逻辑关联的过程. 借助直观想象，学生能打开自己的数学学习视野，从而丰富自己的直观认知.

想象直观是学生数学直观想象的重要组成部分. 在学生的直观想象素养中，实物直观是基础，表象直观是根基也是核心，而想象直观则是关键. 在想象直观中，学生能摆脱实物直观，直接对表象直观进行加工. 由于想象直观是一种对表象直观的加工，因此这个过程需要教师有效引导、指导. 只有这样，才能让学生的想象直观不会偏离方向. 正如《普通高中数学课程标准（2017年版）》所指出的那样，“借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，是学生的基本数学素养之一”.

[⇩] 引导学生建模，培育学生的“模型直观”

著名数学教育理论家范希尔曾经将学生的几何思维水平分为“直观水平”“描述水平”和“理论水平”等. 过去，很多人简单地认为，直观素养就是直观水平，其实这是有失偏颇的. 笔者认为，实物直观、模型直观主要依赖学生的直观水平，而想象直观、模型直观则需要将想象、联想、思维等融入其中.

美国著名教育心理学家卡罗尔·德韦克深刻地指出，“人与人之间的差距，就在于思维模式的不同”[3]. 模型直观不仅引导学生思维，更将相关的数学思想方法等融入其中. 从这个意义来说，模型直观也是一种方法直观、思想直观. 在高中数学教学中，教师应当助推学生的模型直观，充分展现学生的直观过程. 在模型直观中，教师要引导学生进行文字表征、图形表征以及命题表征等. 通过诸种表征方式，引导学生建立完整的表象. 比如教学“直线与平面的关系”时，笔者就借助“长方体”这一模型引导学生思维，帮助学生建立表象. 若向学生抽象地讲解线与面的关系，学生往往难以理解;然若借助模型直观，则能让学生直接看到“棱”与“长方体各个面”的垂直、平行关系. 在模型直观下，学生能将数学直观表象整合成“关系表象”. 借助“关系表象”，学生能将相关的线、面等联结成逻辑体系，如“直线与平面无交点→直线平行于平面内的一条直线→直线所在平面与另一平面平行”等. 通过模型直观，帮助学生认识“直线与直线的位置关系”“直线与平面的位置关系”“平面与平面的位置关系”等. 在培养学生直观素养的过程中，教师要注重学生的直观思维与逻辑思维协同发展，要在发展学生直观思维、直观想象的同时发展学生的逻辑思维能力. 可以这样说，在发展学生直观素养的过程中，笔者认为，学生的观察能力、直觉能力、想象能力都会对学生的直观素养产生影响;而将学生的观察能力、想象能力、抽象能力等融入培育学生的直观素养的过程中，应当是高中数学教师的努力方向. 通过对学生的直观素养的培育，一定会让学生生成富有创意的灵感思维.

“模型想象”是在学生“实物直观”“表象直观”“想象直观”基础上发展起来的，是学生从感性认知向理性认知的一种过渡. 作为教师，要选择、应用相关的策略，引导学生进行直观表征，赋予数学知识形象化的支撑;要培养高中生“用图说话”“用图思考”“用图探究”等能力，通过建构图形，引导学生直观想象、操作，并让学生把握数与形之间的关联. 在高中数学学科中，数与形是相互关联的，把握数与形之间的关联，也是培育学生直观素养的重要使命与责任. “模型想象”就是要赋予数学“形”的意义，因而有助于促进学生对相关数学知识的意义建构. 在“模型直观”过程中，学生能有效地建构数学知识，有效地连接已有知识，从而完善知识网络、认知结构等.

学生的直观素养是对几何形体的形态变化、位置关系、运动规律等的把握，也包括从形的视角来看待、处理数的问题的能力. 学生的直观素养具有“直观性”“思辨性”和“创造性”. 借助直观素养，能开阔学生的思路，丰富学生的学习方式. 作为教师，必须有意识地培育学生的直观想象素养. 在高中数学教学中，直觉思维与逻辑思维同等重要. 作为教师，必须有意识地培育学生的直觉思维能力、直觉想象能力，让学生形成“本质直观”能力;通过培育“本质直观”能力，让学生形成一种有创新性、创造性的能力.

参考文献：

[1]  徐利治. 谈谈我的一些数学治学经验[J]. 数学通报，2000（05）：0-3.

[2]  郭子超. 高中学科教学目标设计的问题及对策[J]. 教学与管理，2019（04）：28-31.

[3]  杨勇. 数学文化融入高中数学教学的实践[J]. 教学与管理，2020（25）：47-49.