数学高阶思维的生成基础、本原特征及内在维度

摘要：数学高阶思维是提高数学学习的质量和效率的一个重要行为方式。数学高阶思维需要实现问题解决和数学概念化、内核化与结构化的意义耦合，元认知和数学要素化、过程化与结果化的反思聚合，批判性思维和数学符号化、层次化与模型化的抽象契合，创造性思维和数学复杂化、图式化与整体化的情境融合，同时被赋予探究性、元认知、批判性和创造性等特征。在此基础上给出了其内在维度：在能力维度实施意义建构的多维统整；评价维度实施反思重构的多元诠释；逻辑维度实施抽象概括的理性回归；学科维度实施情境设置的靶向场域。

关键词：数学高阶思维；问题解决；元认知；批判性思维；创造性思维

中图分类号 G420 文献标识码 A 文章编号 1005-4634（2025）01-0070-08

“高阶思维作为完成复杂任务、解决劣构问题的高级综合能力的集中表现”[1]，不仅是学生在信息时代生存和发展的必要条件，更是培养学生创新精神和能力的前提和基础。数学学科是核心基础学科，数学学习更需要学习者在高阶思维中“沉浸”，目的是激励学习者不断探求新知、创新驱动并积极地求真务实，力求让学习者做到知识学习不浮于表面低层次的外在表征，而是能深入内在本质，通达高层次的内部表征。数学高阶思维的应用水平是衡量学习者数学思维能力的重要指标。聚焦高阶思维的生成基础，把握数学高阶思维的本源特征，探究数学高阶思维的内在维度，在当下具有十分重要的理论意义和实践价值。

1 数学高阶思维的生成基础

Dewey认为思维的过程是一种事件的序列链[2]，始于反思，后经探究、批判性思维，最终得以解决问题。学者[3]King F J认为高阶思维概念是由低阶思维对比引申而来的，并超越简单记忆性知识、重复单一性思维，运用场景多见于问题解决路径尚不明晰的环境中，需要持续付诸心智努力，达成决策、解决问题及建构意义的能力和意愿[4]。由此可知，数学高阶思维生成于“较高层次数学活动中”[1]，需要问题情境作支撑，围绕特定数学对象以问题冲突作为载体展开，在猜想、操作、验证过程中，元认知贯穿整个思维，实现问题解决和数学概念化、内核化与结构化，元认知和数学要素化、过程化与结果化的反思聚合，批判性思维和数学符号化、层次化与模型化的抽象契合，创造性思维和数学复杂化、图式化与整体化的情境融合。

1.1 意义生成：问题解决和数学概念化、内核化与结构化的意义耦合

数学高阶思维意义生成，是学习者赋予数学问题的“自发的、主动的、积极的加工过程”[4]，同时也是“复杂问题解决过程中分析、评价、创造等认知过程”[5]，体现为问题解决和数学概念化、内核化与结构化的意义耦合。

首先，问题解决与数学概念化的意义耦合。问题解决是学习者对一个问题的“提出—解决—再发现”的探究过程，以唤醒自身概念意识和激发概念动机的问题为情境，将教材概念知识转化为一系列的教学问题。学习者通过用自己的语言正确地叙述概念，超越知识浅层，深入刻画知识内核，解释概念所揭示的本质属性，理解概念知识符号代表的意义。其次，问题解决与数学内核化的意义耦合。问题解决是学习者通过数学问题的“最近发展区”，建立认识基础，突破认识界限，确认、接受、辨析数学问题过程，并分解、创造、拓展、关联与协调数学领域知识和经验以及相关的表征等，用分析综合、类比归纳、抽象概括、演绎推理、具体化和系统化等方式进行学习，建立一个系统、有序与有意义的体系。最后，问题解决与数学结构化的意义耦合。问题解决是以问题发现为基础的高级复杂智力行为，学习者综合运用各种数学知识去解决那些非常规问题，探寻知识间的深层关系，在原有认知结构上质疑思辨与反思审视，“最大限度地激发学习兴趣，深入知识意义内核进行心理建构”[6]，从而完成学习者认知系统化的蜕变，实现对知识意义的深度理解。

1.2 反思生成：元认知和数学要素化、过程化与结果化的反思聚合

数学高阶思维反思生成，是学习者通过元认知的自我观察、认识和调节，在反思中的分析、评价、批判、修正中实时监控，调节补救，优化计划，体现为元认知和数学要素化、过程化与结果化的反思聚合。元认知作为实现深度学习的重要内部条件，是确保高阶思维发展、深度学习落地的重要抓手[7]。

首先，元认知与数学要素化的反思聚合。在认知实践中，学习者通过对个体、任务与策略的数学认知把信息整体分解成各要素，同时明确数学各要素间的关联，确定整体认知的结构层次，有意识地加以监控、调节，并鼓励反思自己的思维以自我导向达成数学目标。在教学实践中，数学教学一般应从最基本的要素开始，然后逐渐转移到复杂多样的要素，由浅入深、循序渐进地对要素进行反思以促进数学思维发展。其次，元认知与数学过程化的反思聚合。数学学习是处于问题情境中，通过个体的元认知将问题情境相关的知识、方法以及策略进行整合并有效地运用于解决问题情境中的具体问题，再将数学抽象的认知作为元认知的对象进行计划、监控、反思、检验的过程，从而全面加工组合已分解的组成要素，协调和整合大部分与问题相关的材料，系统科学地反思问题解决过程的思想方法，从而综合地认识问题并合理地评价问题。期间往往会进行分析、综合、评价和创造等心智活动而获得高阶思维的发展。最后，元认知与数学结果化的反思聚合。数学学习是学习者通过元认知跨越数学直观感受或直观现象，以理性的、深刻的视角反思数学结果的本质及价值并对此作出自我调节。通过剖析数学结论中的要素、结构及其关系，用数学思维反思检验过程和方法的有效性，跨越具体问题，实现对问题的概括，上升到理论高度思考这类问题的一般性解决办法。

1.3 抽象生成：批判性思维和数学符号化、层次化与模型化的抽象契合

数学高阶思维的抽象生成，是学习者通过批判性思维主动构建知识的过程，抽象出新的知识、技能和思想方法，“促进学习者作出有目的、自我监督的判断的过程”[8]，体现为批判性思维和数学符号化、层次化与模型化的抽象契合。

首先，批判性思维与数学符号化的抽象契合。批判性思维在于发展有效思考的习惯，注重判断哪些事是能够做的、哪些事是能够做到的[9]。数字符号既是数学有效的表达方式、手段、语言，也是一个积极的心理图式反应。数字教学主要关注事物之间的数量关系与空间表现形式，以数学符号为思想纽带进行联系和传递，使事物的联系与表达更加系统、简洁和有序。运用人的概括性思维，将零散的、碎片化的信息通过数量和图形之间的关联抽象得到一般规则和结构，并以数学的符号和语言进行表述。通过数学语言符号来表达客观事物的本质属性是对数学的一种抽象。其次，批判性思维与数学层次化的抽象契合。批判性思维是基于标准的、有辨识能力的判断，注重对现实世界的深刻反省与重新认知[10]。数学是根据客观事物的本质和规律性，经过层层抽象而发展出来的一门学科。数学概念是一种思维的产物，它是人脑在对数量关系和空间形式的本质特点进行了多次抽象并将其现实对象的真实意义隐藏起来后形成的。同样地，数学定理、公式、法则和模型也是对某一类对象之间的共性进行若干次抽象而形成的。最后，批判性思维与数学模型化的抽象契合。批判性思维在于发展一种有恰当根据的、生动的、真诚的和开放的态度，体现了适合特定模式或思想领域的思维的完美性并能克服自我中心和社会中心主义倾向[11]。数学模型化是思维完美性的诠释。数学的研究对象是现实世界中的事物，是复杂且多样的。学习者整合资料并作出符合客观事实的推断，在习得数学概念、定理和规则基础上，从事物的直接模型上在量的方面进行多次抽象概括并得出具有一般意义的模型，然后基于一般模型进行问题研究，获得新的突破。

1.4 情境生成：创造性思维和数学复杂化、图式化与整体化的情境融合

数学高阶思维情境生成，是学习者通过一个复杂且内隐的情境体验，在猜想和证实猜想之间不断激发学生的思维活动。创造性思维在不同时期有不同的表现，在特定时期可以产生出新颖、独特的心智活动模式[12]，体现为创造性思维和数学复杂化、图式化与整体化的情境融合。

首先，创造性思维与数学复杂化的情境融合。

创造性思维生成是学习者根据一定的科学原理和规则，对信息和知识进行开创性整合、提炼、排列，对数学对象的实质和内容进行规律性认知的过程，是学习者在复杂多变的问题情境下在“大脑皮层持续产生联系和恢复联系的加工过程”[13]。其次，创造性思维与数学图式化的情境融合。创造性思维通过激活或启动原有的心理图式表征，对图式表征高度关注并对信息特性作出分解、创造、拓展、关联与协调等，借助图式表征进行抽象编码、认知甄别、重新建构，明确行为方向，以便把新的认知运用于不同的情境。最后，创造性思维与数学整体化的情境融合。创造性思维以想象、直觉、顿悟等思维元素为基础，是人脑与数学对象相互作用而同时作出合理评价的理性活动，数学思维能将离散的信息整合为一个完整的体系，从而构建新的认知并促使更高层次思维的出现，有效地形成、评价和修正新想法。这样就能产生具有创新性且有效解决问题的实际方案，同时带来认知上的进步，提升表达和展示想象的能力。

2 数学高阶思维的本原特征

从系统论的观点看，认知因素与非认知因素应当是整个思维结构中不可割裂的组成部分。从结构上，元认知负责整个思维的监控调节，同时特定背景下的语言交流、情感支撑影响思维发展；而能力要素则是高阶思维结构中的直接呈现，是高阶思维的表现核心；高阶思维从属于思维，因而也具备思维品质这一重要的个性特征，它是高阶思维个性异质的行为外显。数学高阶思维是内隐性与外显性的有机统一，是“元认知、批判性思维、创造性思维与问题求解能力”的综合体现[14]。所以，数学高阶思维既有数学思维品质外显的形态表征，也是数学思维内隐本质的呈现，其在思维构建中被赋予如下特征。

2.1 问题探究回归到问题目标、本原与应用

问题探究是数学高阶思维的实践能力层面，并为其发展奠定基础。问题探究需要学习者把握概念的内核，能运用已有认知去辨析、思考问题以及在新的情境中灵活运用这些概念，这是运用数学思维进行持续学习的过程，也是不断发现、探索和创新的过程。高阶思维指的是在“理解、应用、分析、评价、创造”等高层次认知目标上的心智活动或认知能力，在数学教学中主要体现为目标、本原与应用问题指引下的探究。首先，目标问题指引下的探究。学习者面对数学问题时产生认知冲突，进而设定一系列目标，进行目标指引下的认知性操作。问题探究是一种包含认知、情感、心智并赋的数学学习过程。学习者为了克服困难而设定一系列目标，应用推理、分析、情感等在经过一系列曲折且复杂的尝试后，不断地缩小数学问题的起始状态与目标状态之间的差距而获得高层次思维。其次，本原问题指引下的探究。学习者基于一个真实的、复杂的、有挑战的本性性数学问题情境，蕴育对问题的思考和策略的构思，解决数学本原性问题中产生出来的知识技能、思想方法及情感价值，激发学习者的内驱力，让学习者体验数学思维所带来的愉悦感和满足感，深入情境问题所涉及的最核心的概念，让学习者从内心触摸到学科的本质，潜在地推动着数学学科的内在知识体系化，从而实现高阶思维的延伸创造。最后，应用问题指引下的探究。学习者在理解实际问题中所包含的数学概念和数学元素时，常常需要学会打破自己的思维定势，作出合理的决策。学习者通过假设猜想、实际操作、实践证明等活动，运用认知观、价值观、态度、信念、动机和情感等，经过分解、创造、整合、关联等协同作用，不断调整和改进学习方法，辨别问题并协调数学领域的知识、经验、相关的表征和推理等，最终实现高阶思维的生成。

2.2 元认知回归到认知知识、体验和监控

元认知是数学高阶思维的认知结构层面，并为其发展提供支撑力。元认知，也就是认知的认知，它包括元认知知识、元认知体验和元认知监控。在数学高阶思维中，它们影响学习者的认知活动。因此，数学高阶思维需要在这三个元素的共同引导下进行对认知的认知。首先，元认知知识指引下的认知。元认知是在学习者理解和应用数学新知识并对原有知识进行深度反思的基础上实现的。通过理解问题与完成任务目标的策略性知识从而实现“学习者对学习活动过程、高阶思维的元认知（对学习过程、高阶思维的认知和监控）”[15]。学习者运用存储在长时记忆中的元认知知识（包括高阶思维知识）来管理和认知活动。其次，元认知体验指引下的认知。元认知在学习者的数学实践活动中产生作用，让其获得关于数学的认知体验或情感体验。学习者通过自身学习特征、任务性质和学习目标间的深度认识从而有效解决目标设定、策略选择、动态调节控制等学习问题。最后，元认知监控指引下的认知。元认知是关于学习者自己认知过程的知识和调节这些过程的能力，是对思维和学习活动的认知和控制，包括任务难度、学习判断、知晓感判断、自信感判断等。学习者对自我的学习进行监测和判断之后，改变和调控认知行为和认知状态，找出认知偏差，评价认知结果并及时调整认知策略。