从比的视角再认分数

摘  要：分数的意义是《分数的意义和性质》单元以及后续

分数知识系列单元的核心知识，直接影响分数的运算和相关实际问题的解决。《求一个数是另一个数的几分之几》一课，在学生掌握了分数的份数意义、度量意义和商意义的基础上，教师带领学生

从比的视角理解分数，帮助学生完整建构分数的概念。教学有三大亮点：切换视角，突破局限；经验融通，揭示本质；多层变式，深化理解。

关键词：小学数学；分数的意义；比意义

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本文系全国教育科学“十三五”规划2020年度教育部重点课题“小学数学核心知识建构的教学研究”（编号：DHA200370）的阶段性研究成果。

一、教学实践

（一）教前思考

分数的意义是《分数的意义和性质》单元以及后续分数知识系列单元的核心知识，直接影响分数的运算和相关实际问题的解决。建构分数的意义需要从不同的背景出发，其中，直观的等分、现实的度量、抽象的商等背景为更多的教师所熟知。事实上，比、比值和分数之间存在联系——我们可以把比写成分数形式，可以用分数来表示比值。在分数的乘、除法学习之前建立分数和比、比值的关系，可以为理解分数乘、除法以及解决相关实际问题积累丰富的素材。从这个意义上说，“求一个数（量）是另一个数（量）的几分之几”不能仅仅看作分数与除法关系的应用，更应该看作解决有关两个量之间比的实际问题，其比值是一个分数。具体说，求一个数（量）是另一个数（量）的几分之几，本质上是用分数去表达一个数（量）相对于另一个数（量）的比的比值。这就提醒我们在教学中应该引导学生从比的视角再认分数，进而完整地建构分数的意义，为后续相关计算和解决实际问题埋下伏笔。教学时，教师可以引导学生结合具体情境，从他们熟悉的“两个数量之间的关系可以用一个数（量）是另一个数（量）的几倍表示”的角度入手，将这种经验迁移到“求一个数（量）是另一个数（量）的几分之几”，并通过变式比较，引导学生从比的视角理解“求一个数（量）是另一个数（量）的几分之几”的意义，进而在新、旧知识的联系中发展学生的推理意识和模型意识。

由此，可以这样设定苏教版小学数学五年级下册《求一个数是另一个数的几分之几》一课的教学目标：（1）在具体情境中，通过问题解决和比较分析，理解“求一个数是另一个数的几分之几”可以用分数表示两个数量之间相比的关系，进一步理解分数的意义，能正确解决与“求一个数是另一个数的几分之几”相关的简单实际问题；（2）在“求一个数是另一个数的几倍”与“求一个数是另一个数的几分之几”的比较中，在利用分数的意义以及分数和除法的关系进行解释的过程中，感悟数学知识之间的联系，发展推理意识和模型意识，积累基本的数学活动经验，激发学习数学的兴趣。其中，教学重点是从比的视角理解分数的意义，教学难点是确定作为比较标准的量或单位“1”的量，理解两个数量相比较的分数意义。

（二）教学过程

1.激活旧知

师  三年级时，我们学习过倍的认识。（出示图1）一起来看图，想一想，红彩带的长度是黄彩带的几倍？你是怎么想的？

生  红彩带的长度是黄彩带的4倍。因为黄彩带的长度是1份，红彩带的长度是4份，4÷1=4。

生  红彩带的长度是黄彩带的4倍。因为红彩带的长度相当于4条黄彩带的长度。

［说明：通过引导学生回顾三年级“倍的认识”的相关知识，激活学生已有的知识经验，为新知识的产生和迁移做好铺垫，为学生从比的视角理解分数的意义奠定必要的基础。］

2.建构新知

（1）迁移建构

师  如果说红彩带的长度是黄彩带的4倍，那么黄彩带的长度与红彩带的关系可以怎么说？

（学生回答。）

师  黄彩带的长度是红彩带的几分之几？请带着问题完成学习单（如图2所示），先独立思考，再和同桌交流。

写：黄彩带的长度是红彩带的    。

想：你是怎么想的？

说：和同桌说一说理由。

（学生完成学习单。）

师  这里的14是怎么得来的？表示什么意义？

生  把红彩带的长度看作单位“1”，平均分成4份，黄彩带的长度相当于这样的1份，所以黄彩带的长度是红彩带的14。

生  黄彩带的长度是1份，红彩带的长度是4份，1÷4=14，表示黄彩带的长度是红彩带的14。

师  想一想，解决这两个问题的方法有什么相同？有什么不同？

生  都是把两个数量进行比较，都可以用除法来计算。

生  这两个问题中看作单位“1”的量不一样。

师  这两个问题中分别把哪条彩带看作单位“1”的量？

生  前一个问题中，把黄彩带的长度看作单位“1”的量；后一个问题中，把红彩带的长度看作单位“1”的量。

［说明：这一环节，引导学生继续围绕红彩带和黄彩带长度倍数关系的比较展开思考，从“求一个数是另一个数的几倍”的经验出发，思考“求一个数是另一个数的几分之几”，初步理解整数和分数都可以表达两个数量之间的倍数关系，从比的视角感悟分数的意义。］

（2）变式理解

师  （动画演示红彩带减少一段，定格于图3）现在，黄彩带的长度是红彩带的几分之几？你是怎么想的？

生  黄彩带的长度是红彩带的13。1÷3=13。

生  黄彩带的长度是1份，红彩带的长度是3份，所以黄彩带

的长度是红彩带的13。

师  （动画演示红彩带再减少一段，定格于图4）现在黄彩带的长度是红彩带的几分之几？可以怎样列式计算？

生  黄彩带的长度是红彩带的12。黄彩带的长度是1份，红彩带的长度是2份，1÷2=12。

师  比较一下，解决这三个问题的方法和结果有什么相同之处？

生  都用除法计算，都是用黄彩带的长度除以红彩带的长度。

生  这三个问题的结果都是分数，表示黄彩带的长度是红彩带的几分之一。

师  （动画演示黄彩带增加两段，定格于图5）现在黄彩带的长度是红彩带的几分之几？

生  黄彩带的长度是红彩带的34。黄彩带的长度是3份，红彩带的长度是4份，3÷4=34。

师  （动画演示黄彩带再增加两段，定格于图6）现在黄彩带的长度是红彩带的几分之几？红彩带的长度是黄彩带的几分之几？先想一想，再和同桌交流。

（学生独立思考、同桌交流。）

生  黄彩带的长度是红彩带的54。黄彩带的长度是5份，红彩带的长度是4份，5÷4=54。

生  红彩带的长度是黄彩带的45。

红彩带的长度是4份，黄彩带的长度是5份，4÷5=45。

师  两个问题中，黄彩带的长度都是5份，红彩带的长度都是4份，为什么表示结果的两个分数不同？

生  因为第一个问题是黄彩带的长度与红彩带相比，第二个问题是红彩带的长度与黄彩带相比。

生  单位“1”的量发生了变化，相比较的两个量交换了位置。

［说明：引导学生通过观察红（黄）彩带长度的动态变化，直观地思考作为比较标准的量（红彩带长度）发生变化时如何影响黄彩带长度与红彩带长度的比的关系，感悟到虽然两个量之间的比较方法不变，但是结果（即分数）会发生相应的变化，具体表现为除法中的除数和分数的分母发生变化，从而进一步从比的视角理解单位“1”以及相关分数的意义。］

（3）比较概括

师  同学们在解决问题和比较的过程中，发现了分数新的意义。现在请大家比较一下三年级学习的“求一个数是另一个数的几倍”与今天学习的“求一个数是另一个数的几分之几”，解决问题的方法和结果有什么相同之处？

生  解决这两种问题都要用除法计算，都是除以看作单位“1”的量。

生  不管是整数还是分数，都表示两个数量相比较的关系。

师  如果用A和B来表示两个数，怎样用一道式子来表示上面两个问题的思考过程和结果呢？

生  A÷B=AB。

［说明：通过变式教学，直观地呈现两个量和两个量比较的结果，帮助学生深入地理解作为比较标准的量（看作单位“1”的量）和分数的含义，即用来描述两个数量的比的关系。同时，在比较中沟通了“求一个数是另一个数的几倍”与“求一个数是另一个数的几分之几”的联系，帮助学生形成结构化的认知。］

3.应用新知

（学生完成教材“练一练”第1题。）

师  想一想，你把哪个量看作单位“1”的量？511表示什么意义？

（学生回答。）

师  三角形的个数是圆的几分之几？

（学生完成教材“练一练”第2题。）

师  已知“小英家养了4只公鸡，9只母鸡”，你能提出一个怎样的问题？

（学生回答。）

师  如果绿彩带的长是红彩带的54，绿彩带有多长？（出示图7）请在图中画出绿彩带。

［说明：聚焦课程内容，从正、反两个方向引导学生思考如何用分数来表示两个数量之间的比的关系，深化对单位“1”的量以及分数意义的理解，促进学生的知识、思维进阶，发展推理意识和模型意识。］

4.课堂总结

师  通过今天的学习，同学们对分数有了什么新的认识？

［说明：课尾，引导学生回顾反思，旨在帮助他们感悟从比的视角再认分数的价值，并联系先前所学的从三个不同背景认识分数的经验，形成对分数意义的完整理解。］

二、教学评析

“认识分数”是学生数学认知的一次重要拓展，而分数也因其丰富的内涵成为小学数学教学中的一个难点。这堂课，在学生掌握了分数的份数意义、度量意义和商意义的基础上，孔老师带领学生从比的视角理解分数，帮助学生完整建构分数的概念。

本次教学有三大亮点。

（一）切换视角，突破局限

分数的意义可分为两类，一类表示分率，即表示两个量之间的关系，包括分数的份数、比意义、度量意义；另一类表示数量，即分数是一个数，可以表示具体的数量，包括度量意义、商意义。简言之，分数既可以表示“率”，也可以表示“量”。《求一个数是另一个数的几分之几》一课，不少教师认为就是利用分数与除法的关系解决实际问题。殊不知，求一个数是另一个数的几分之几，其实是对分数的份数意义的进一步扩充，份数意义主要体现在部分与整体之间的关系上。本课应突破部分与整体这个局限，走向用分数表示两个物体或两个集合之间的比较（倍比关系）。因此，教学的重心不应仅是分数与除法关系的实际应用，而应让学生在实际应用中认识分数的比意义，从而完善对分数意义的理解。孔老师将这节课定位为从比的视角认识分数，这得益于其对知识的深刻理解与对教材的深入把握。

（二）经验融通，揭示本质

分数的比意义表达两个量之间的倍比关系。“倍比关系”这一概念，学生并不陌生，他们早在三年级时就学过“倍的认识”，这是他们已有的知识经验基础，两者本质上是一致的。因此，《求一个数是另一个数的几分之几》一课的学习可以采用概念同化的方法，让学生将新知纳入原有的认知结构中，扩大和深化原有的认知结构，达成对概念的理解。这堂课上，孔老师根据学生的已有经验，从复习“红彩带的长度是黄彩带的几倍”开始，自然引出“黄彩带的长度是红彩带的几分之几”这个问题，再通过引导学生比较“解决这两个问题有什么相同和不同之处”，让学生在倍比关系和分数的比

意义之间建立起实质性的联系，感受到虽然“黄彩带的长度是红彩带的几分之几”后面没有“倍”这个字，但仍然表示两个量的倍比关系，只不过从整数倍变成了分数倍，其表示倍比关系的本质并没有变。在此过程中，学生将已有的知识经验和新知学习进行融通，深刻理解一个数是另一个数的几分之几表达了倍比关系的本质。

（三）多层变式，深化理解

在概念学习中，变式是通过变换各种直观材料或事例的呈现形式，以突出概念的本质特征。在学习分数意义的过程中，变式是一个重要的工具，它能帮助学生去除非本质属性，抽象出本质属性。在第一次研究“黄彩带的长度是红彩带的几分之几”后，孔老师通过两次有层次的变式，让学生在解决同一个问题的过程中，深化对分数的比意义的理解。首先，通过改变标准量即红彩带的长度，学生发现黄彩带的长度可以是红彩带的13、12以及之前的14，初步感受一个量不变、另一个量（标准量）发生变化时，表示倍比关系的分数也会随之改变。接着，通过改变黄彩带的长度，学生得到黄彩带的长度分别是红彩带的34、54，再次体验到标准量不变、另一个量发生变化时，表示倍比关系的分数也会相应改变。虽然每次得到的分数结果不同，但方法始终一致，因为无论两根彩带的长度如何变化，都是在探讨两者之间的倍比关系。最后，通过反过来求“红彩带的长度是黄彩带的几分之几”，揭示“求一个数是另一个数的几分之几”与“求一个数是另一个数的几倍”的本质联系——都是将一个数与标准进行比较，得到它们之间的份数关系，从而打通了知识的内在联系。

综上，孔老师通过这堂课，带领学生经历了从比的视角认识和运用分数的学习历程，帮助学生进一步体会分数的丰富内涵，深化对分数意义的理解，这对于他们未来进一步学习分数相关知识具有重要意义。