推动代数推理认知发展的三个关键点

摘 要：义务教育阶段的学生学习代数推理，通常需要经历两层：意识层→能力层；五级：具体化算术→结构化算术→符号化概括→形式化建构→一般化推广。我们需要厘清代数推理认知发展的进阶规律，找准关键节点：通过横向变形和纵向趋同，打牢结构化算术形成的基础；通过多元表征和结构统整，强化符号化概括；通过反思原条件和寻求新规律，达成一般化推广。

关键词：小学数学；代数推理；认知发展

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）将《义务教育数学课程标准（2011年版）》中的“推理能力”演化为“推理意识”和“推理能力”，意在凸显推理能力的心理来源，分阶段细化推理能力的培养过程，体现课程设计“螺旋上升”的理念。

［1］新课标旨在突破依靠初中平面几何知识“一步到位”培养推理能力的困境，引导小学教师利用数与代数知识培养学生的推理意识，为初中阶段做准备。

本文聚焦代数推理，立足代数推理认知发展层级，探索推动代数推理认知发展的关键点。

一、代数推理认知发展的层级

史宁中教授将数学抽象分为四个阶段：感性具体→感性一般→理性具体→理性一般。而代数推理同样要经历这样逐级抽象、一般化的过程，甚至达到辩证逻辑思维的层次。吴立宝教授在此基础上构建了代数推理认知发展的层级［2］：如下页图1所示，将感性具体、感性一般和理性具体归于意识层，将理性具体、理性一般和辩证逻辑归为能力层；理性具体被看作意识层和能力层的中介；学生代数推理的认知发展经历“具体化算术→结构化算术→符号化概括→形式化建构→一般化推广”这样五级，每一级是基于前一级自下而上发展的。

（一）具体化算术

具体化算术是指，以具体情境为背景，以具体数值为对象，依据算术的具体程序进行求解的操作。这一级无法做到关联对象之间的相似性与差异性，不能抽象出操作对象的结构及其规律。学生是以孤立的眼光操作整体中的个体，头脑中映射的是孤立的运算程序和运算结果。比如，学生在计算11×23时，是以具体的数去运算得到结果253的，而不是抽象出其代数结构。再如，在运算1+3+5+7+9=25时，学生通过连加计算求得结果但并不能发现1+3+5+7+9=52，结果就是中间数的平方。具体化算术是代数推理的认知起点，只有经历具体化算术，日后才能逐渐脱去具体对象、直观情境的外衣，逐渐发现研究对象之间潜在的关联与结构。

（二）结构化算术

结构化算术的操作对象是去情境化的数字或数量，是由表及里探求代数式内在本质结构的过程。结构化算术包含纵向和横向两个方向的结构识别。纵向结构识别指的是以关联的视角寻求若干个特殊代数式的共同属性，横向结构识别指的是对代数式进行结构变形。纵向上的观察识别与横向上的结构变形二者相辅相成，互利互助。结构化算术是由算术向代数跨越的第一步抽象，是开启算术运算到代数推理的“钥匙”。

（三）符号化概括

符号化概括是指，学生已经探得若干个代数式的共同结构，尝试用符号代替具体

的数与数量，进一步表示出代数式所蕴含的规律。自然语言的表达方式、文字语言的描述或者简洁的符号都可以用来表达结构、揭示规律。学生在头脑中将符号视作特殊值，但还没有达到用符号进行形式化推演的程度。符号化概括是由感性一般上升到理性具体的思维过程，是意识层的最高级，同时也是能力层的最低级，在意识层到能力层的过渡中起着至关重要的作用。

（四）形式化建构

形式化建构是指，学生不再将字母看成有限个具体数值的替代物，而冲破特殊的束缚，在头脑中形成抽象符号的形式化表象。形式化建构是对符号化概括的修正检验，这里的形式化超越了有限和特殊的限制，向“无数”过渡，但还未达到“任意”的层面，还不具有全局性。思维由理性具体上升到理性一般，是代数推理的第二级。

（五）一般化推广

一般化推广有两方面的理解：其一，将符号的含义由形式化阶段的“无数”推广到“任意”层面来表达一般化规律。符号的意义被扩大，推向极限，形成普适的表达。正如史宁中教授所说的，抽象的最高层次是普适阶段。其二，一般化推广的认知发展还体现在推广发现新的更具普适性的结论，如改变一些前提条件，规律会随之怎样改变，进而产生更具有一般性的普适的新代数结构。［3］比如，“两位数×11”的规律结构被破解，如果“两位数”的条件被改变，变成“三位数×11”，结论是否还成立？

二、推动代数推理认知发展的关键点

基于上述代数推理认知发展层级，不难发现，意识层内部发展的关键是结构化算术的形成，从意识层到能力层跨越的关键是符号化概括的形成，而能力层发展的关键则是一般化推广的形成。

（一）结构化算术：横向变形，纵向趋同

我们可以从横向与纵向两个方面来促进结构化算术的形成。结构化算术的前身是具体化算术，具体化算术的特点是直观性和具体性，此时学生的思维是具象思维，看待问题伴有一定的感性色彩，这就便于引导其从具体的事例中找到相应的结构，尝试横向变形。当学生在具体事例中有了足够量的积累，逐步从感性具体走向感性一般，就可以引导他们从有限个特殊事例中寻找联系，关联结构，展开纵向趋同。通过横向变形与纵向趋同，进一步探寻客观不变的本质结构。

如图2—图4所示，在教学整数乘法、小数乘法、分数乘法时，借助直观图示引导学生将乘法算式横向变形为如“30×20＝（3×10）×（2×10）＝（3×2）×（10×10）”的模型。然后，引导学生从有限个特殊的事例中寻找联系，关联横向结构，思考这些特殊事例之间是否有关联、有怎样的关联，挖掘横向结构的一致性，进行“纵向趋同”，引导学生纵向比较整数、小数、分数乘法的运算结构，将横向结构与纵向结构加以耦合，让乘法的代数结构特征“计数单位相乘，计数单位的个数相乘”得以浮出水面。

在除法运算的教学中同样也可以遵循“横向变形，纵向趋同”的实施路径：如下页图5-图7所示，首先借助具体的运算律将整数除法、小数除法、分数除法都进行横向变形，改写成“800÷40＝（8×100）÷（4×10）＝（8÷4）×（100÷10）”的结构。然后，进一步关联整数、小数、分数除法的结构进行纵向分析，寻找三者之间共通之处，发现除法的算理是“计数单位相除、计数单位的个数相除”。最终，在乘法运算结构和除法运算结构上再进行二次纵向对比，发现二者都是“计数单位相乘除与计数单位的个数相乘除”。这就很好地体现了除法是乘法的逆运算，但二者在运算上又保持了一致性。

（二）符号化概括：多元表征，结构统整

从意识层到能力层跨越的关键是符号化概括的形成，同时也是算术结构走向代数结构的重要节点。我们需要关注早期“多元表征”与后期“结构统整”两个方面。不管是早期的非正式语言概括（如通过自然语言的说理方式或者文字语言的描述方式）或者后期的规范字母表达，都是符号化概括阶段的认知表达。这就要求我们在符号化概括的早期给予学生充足的思考空间，鼓励学生对结构化的规律进行多重表征，而对于表征方式和表征的抽象程度不作要求。在符号化概括的后期，学生基本掌握了规范的字母表达。但由于同一规律表征方式的不同就会带来规律表达式结构的不同。教师要注意培养学生“用字母式运算”的能力，最终实现符号表达式结构的统整。

如探究个位是5的两位数的平方规律，25×25＝625，学生会概括为个位是5的两位数的平方＝十位上的数×（十位数字＋1）×100＋52，同样也可以概括成a25＝100a（a＋1）＋52。随着学习经验的不断积累，学生通过多种表征方式，体会用字母表示结构关系的简洁性与精巧性，逐步实现用字母的形式进行符号表达。

在如图8所示的“探索规律”教学中也同样遵循“多元表征与结构统整”的实施路径。对于“一张桌子可以坐4人，两张桌子可以坐6人，如果像这样接着摆下去，n张桌子可以坐多少人？”这一问题，学生呈现了不同的表达式，有的是将起始桌的4人看作不变，再加上新增的2（n－1）人；还有的将左右两端的2人看作不变，再加上对坐的2n人；也有的联系了长方形周长公式，得到了（n＋1）×2人。虽然到了符号化运算的后期，学生都是用字母进行表征，但是字母式背后蕴含的方法是不同的。通过进一步公式变形推导，不同的字母表达式又可以统整为2＋2n。

（三）一般化推广：反思原条件，寻求新规律

一般化推广的“推广”一词含有两层含义：一是考虑规律成立前提条件的普适性，二是一个规律向一类规律的延展性。因此，一般化推广的形成需要做好两件事：一是引导学生“反思原条件”，二是启发学生“寻求新规律”。首先，受限于小学生的身心发展规律，代数推理往往采用不完全归纳推理的方式，这里的字母表达式往往不具有普适性。所以，我们应该引导学生对发现的规律进行前提限制或者说普适性检验。其次，当发现一个规律时，应当启发学生继续追问“如果换个条件，规律会变吗？”“这个规律是这样，这一类规律也是这样吗？”只有这样，学生的一般化推广思维与能力才能在不断地发展、突破、调整中得以锻炼。

例如，在教学“两位数×11”时，学生很容易发现“两边一拉，中间相加”（如12×11＝132，得数132的两边是由12“拉开”得到，中间的数3是由1+2得到）的规律。此时教师应该引导学生反思规律成立的前提条件：如果是89×11（中间的数8＋9＝17）也成立吗？80×11这种末尾有0的两位数也符合规律吗？前提条件是否为所有两位数？教师还要启发学生“寻求新规律”：两位数×11的规律成立了，那它是否适用于三位数×11或四位数×11呢？

再如，当学生观察132－122＝13＋12、142－132＝14＋13、152－142＝15＋14时，很容易发现：两个数的平方差等于两数之和。此时教师就应当引导学生“反思原条件”，规律成立的前提条件是所有两位数还是只限于相邻数？通过举更多的例子可以发现，两数的平方差等于两数之和乘两数之差，而相邻数只是因为差为1而省略了。教师还可以进一步启发学生“寻求新规律”：这样的规律对小数、分数同样适用吗？平方差公式的规律是这样，那平方和公式会是怎样的？只有不断地向前追问“原条件”，向外延展“新规律”，才能形成适应不同前提、不同类别的一般化表达，发展严密的代数推理能力。

参考文献：

［1］ 义务教育数学课程标准修订组.聚焦核心素养 指向学生发展——义务教育数学课程标准（2022年版）解读［J］.基础教育课程，2022（10）：1319.

［2］ 吴立宝，刘颖超.从意识到能力：代数推理认知发展的进阶理路［J］.课程·教材·教法，2023（4）：120126.

［3］ 李兴贵，王新民.数学归纳推理的基本内涵及认知过程分析［J］.数学教育学报，2016（1）：8993.