“结构化”与“层次性”
作者： 杨黎琴
摘 要：教学《正比例的意义》一课时，从学生熟悉的生活情境入手，引入一组具有结构化特征的实验，引导学生在比较与归纳中，基于“两种相关联的量”建立正比例的概念；进而设计一组层次性练习，帮助学生在迁移与运用中把握正比例的本质，由此促进学生对正比例意义的深度理解。
关键词：小学数学；《正比例的意义》；数学实验；结构化；层次性练习
“正比例的意义”是苏教版小学数学六年级下册第六单元第一课时的内容。学习这一内容时，学生对“判断有具体数据的两个量是否成正比例”容易掌握，而对“离开具体数据，判断两个量是否成正比例”较难掌握。因此，笔者在教学中，基于“做数学”的理念，从学生熟悉的生活情境入手，引入一组具有结构化特征（相互关联）的实验，引导学生在比较与归纳中，基于“两种相关联的量”建立正比例的概念；进而设计一组层次性（逐层递进）练习，帮助学生在迁移与运用中把握正比例的本质，由此促进学生对正比例意义的深度理解。下面分环节呈现本节课的教学过程与相应的教学思考。
一、在生活情境中感知“两种相关联的量”
师 （出示情境图）仔细观察屏幕上的信息，你有什么想说的？
生 数学书的单价是5.8元。
师 告诉我们的是数学书的单价，你联想到哪两种量？
生 我联想到总价和数量。
师 继续看动态演示，你发现了什么？
生 我发现，数学书的数量发生变化，总价也随着发生变化。
师 我们通常就说数量和总价是两种相关联量。你还能从生活中找到两种相关联的量吗？
生 汽车在高速公路上行驶，它行驶的时间和路程是两种相关联的量。
……
师 同学们举的例子都不错，老师也来举一个。老师的年龄和身高是两种相关联的量吗？
生 不是。
师
身高不会一直随着年龄的变化而变化，所以，年龄和身高不是两种相关联的量。
［思考：选择学生熟悉的数学书价格情境，激活学生关于单价、数量、总价关系的学习经验；通过具体数量和总价数据的动态演示，让学生直观感知“两种相关联的量”。“两种相关联的量”作为上位概念，是合适的“先行组织者”，为学习“正比例关系”奠定基础。］
二、在数学实验中寻找“两种相关联的量”
师 同学们，下面我们来做一组实验。（出示图1）
这是第一个实验，从中你能找到两种相关联的量吗？
图1
生 水的高度和水的体积是两种相关联的量。水的高度在变化，水的体积也随着在变化。
师 那它们到底是怎么变化的呢？（出示
表1）
请先填写表格。
表1 水的体积随水的高度变化的情况
水的高度/cm
水的体积/mL
（学生填表，交流。）
生 高度变高，体积也随着变大；高度变矮，体积也随着变小。
师 （出示图2）第二个实验是怎么操作的？从中你能找到哪两种相关联的量？
图2
生 石子的体积和总体积是两种相关联的量。石子的体积在变化，总体积也随着在变化。
师 那它们又是怎么变化的呢？
（学生填写表2，交流。）
表2 总体积随石子的体积变化的情况
石子的体积/cm3
总体积/mL
生 石子的体积变大，总体积也随着变大；石子的体积变小，总体积也随着变小。
师 （出示图3）这个实验又是怎么操作的？你找到两种相关联的量了吗？
图3
生 水的底面积和水的高度是两种相关联的量。水的底面积在变化，水的高度也随着在变化。
师 这两种相关联的量是怎么变化的？
（学生填写表3，交流。）
表3 水的高度随水的底面积变化的情况
水的底面积/cm2
水的高度/cm
生 底面积变大，高度随着变小；底面积变小，高度随着变大。
师 （出示图4）这个实验又是怎么操作的？又有哪两种相关联的量呢？
图4
生 水的底面积和水的体积是两种相关联的量。水的底面积在变化，水的体积也随着在变化。
师 具体来说呢？
（学生填写表4，交流。）
表4 水的体积随水的底面积变化的情况
水的底面积/cm2
水的体积/mL
生 底面积变大，体积也随着变大；底面积变小，体积也随着变小。
［思考：引入有趣的量杯盛水数学实验，让学生进一步循理寻找“两种相关联的量”，归纳发现变化规律，增强学习体验。同时，这组实验具有结构化特征，可以引发比较，让学生进一步认识到“两种相关联的量”之间可能有的不同关系，进一步为理解“正比例关系”做好准备。］
三、在比较归纳中建立正比例的概念
师 （出示图5）老师把4个实验的数据表格汇总在一起并做了点加工，请仔细观察表中数据，把4个实验中的“两种相关联的量”分分类。
实验1
水的高度/cm5102025
水的体积/mL50100200250
实验2
石子的体积/cm3581015
总体积/mL55586065
实验3
水的底面积/cm210203010
水的高度/cm60302015
实验4
水的底面积/cm210203040
水的体积/mL60120180240
图5
（学生小组讨论。）
师 你把它们分为了几类？分类的依据是什么？
生 两类：一类是两个量变化方向相同，另一类是两个变化方向不同。
师 好的，你是把实验1、2、4分为一类，把实验3分为另一类，对吧？那还有不同的分法吗？
生 3类。进一步把“两个量变化方向相同”这一类分成两类：实验1、4一类，实验2另一类。
师 为什么？
生 实验1、4中，两个量不仅变化方向相同，而且存在倍数关系。实验1中，两个量是10倍的关系：505＝10，10010＝10，20020＝10，25025＝10。实验4中，两个量是6倍的关系：6010＝6，12020＝6，18030＝6，24040＝6。而实验2中，两个量虽然变化方向相同，但是没有倍数关系。
师 那么存在什么关系？
生 相差关系。
师 你们的发现很有价值！实验1、4中，两个量存在倍数关系，即比值一定，我们就说两个量成正比例关系。再深入分析一下：实验1中，两个量分别是什么？比值10又是什么？
［根据学生的回答板书：水的体积水的高度=水的底面积（一定）。］
师 那么实验4中呢？
［根据学生的回答板书：水的体积水的底面积＝水的高度（一定）。］
［思考：学生找到4个实验中“两种相关联的量”及其变化规律之后，教师利用这组实验的结构化特征，汇总并加工出示数据表格，让学生对数量关系分类，使学生在比较和归纳中发现了不同和相同的数量关系，自然地建立了正比例关系的概念。］
四、在层次性练习中把握正比例的本质
师 根据正比例的定义，要判断两个量是否成正比例关系，
需要满足哪些条件？
生 两个相关联的量，比值一定。
然后，教师出示如下4个层次的练习，引导学生完成。
1.（1）一种铅笔数量和总价的对应关系如表5所示，它们成正比例关系吗？为什么？
表5 一种铅笔数量和总价的对应关系
铅笔的数量/支
1
20
30
40
……
总价/元
0.4
8
12
16
……
（2）一辆汽车行驶时间和路程的对应关系如表6所示，它们成正比例关系吗？为什么？
表6 一辆汽车行驶时间和路程的对应关系
时间/时
1
2
3
4
……
路程/千米
80
160
240
320
……
2.先把表7填写完整，再回答问题。
表7 正方形边长与周长、面积的对应关系
正方形边长/cm1234
正方形周长/cm4
正方形面积/cm21
（1）正方形的周长和边长成正比例吗？为什么？
（2）正方形的面积和边长成正比例吗？为什么？
3.每小时织布米数一定，织布总米数和时间成正比例吗？
4.回到2700年前的古埃及，和智者泰勒斯一起来测量金字塔的高度吧！
［思考：正比例关系的定义揭示了正比例概念的本质，
也是判断正比例关系的条件。本环节，教师设计了4个层次的练习。第1题是基础判断练习，呼应课始的生活情境，基于熟悉的两个数量关系，让学生判断“正确”的两个正比例关系，正向巩固概念。第2题是变式判断练习，变为数学情境，基于熟悉的正方形周长和面积公式，让学生判断“一正一误”的两个正比例关系，正反强化概念。第3题是拓展判断练习，不再给出具体的数据，让学生判断正比例关系，抽象提升概念。第4题是综合应用练习，基于数学史情境，让学生运用正比例关系解决实际问题，进一步认识正比例关系的价值。在这样丰富的层次性练习中，学生能够充分把握正比例关系的本质。］