点子纸上的“国数课”

摘 要：“国数课”是“加强爱国主义教育的数学课”的简称，是“我为祖国教数学”使命感的新表达，是落实《义务教育数学课程标准（2022年版）》、努力为数学课涂上爱国底色的新样态。从中华优秀传统文化、革命文化、社会主义先进文化中寻找适合小学数学课堂的中国故事，将祖国和数学相连接，以爱国为数学添温暖，用数学为爱国增理性。《半条被子》一课，爱国情感隐藏在“半条被子”里，数学知识隐藏在“点子纸”中。

关键词：小学数学；点子纸；“国数课”；《半条被子》

我们提出的“国数课”，是“加强爱国主义教育的数学课”的简称。它是“我为祖国教数学”使命感的新表达，是落实《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）、努力为数学课涂上爱国底色的新样态。从中华优秀传统文化、革命文化、社会主义先进文化中寻找适合小学数学课堂的中国故事，将祖国和数学相连接，以爱国为数学添温暖，用数学为爱国增理性，即，把可“化”的一切爱国资源，“化”成学生的一切，而不只是数学技能。“国数课”一般有两类：一类是用中国故事讲好数学，另一类是用数学讲好中国故事。

本文呈现的，是我借红色经典故事《半条被子》，和三年级学生一起认识分数的“国数课”的一次探索。

一、异彩纷呈

课上，我提出重点问题：“送出半条被子之后，平均每位女兵盖多少被子？”学生的作品异彩纷呈（如图1—下页图7所示）。

图1、图2和图3，大同小异，学生都直接准确地表示出答案是“1/6”。学生为什么会在图3中标上①—⑥？因为前面的教学环节是，在点子纸上画出半条被子后，我问学生：“图上除了1/2，还能看到哪些分数？”确认可以看到2/4、4/8、8/16时，我都要求学生在图中数出分母的几份和分子的几份。小结时，我请学生概括：“回过头来想一想，我们是怎样确定一个分数是几‘份’之几的？”学生说：“先看是平均分成了几份，再看取了几份。”所以，看到图3，我十分高兴学生的活学活用。

图4，稍显毛糙，但两端各擦去一列，彰显了画图学生的机灵。按照8列的被子，难以将一半再平均分成3份。于是，他将两端各擦去一列。“我的被子，我做主”，有气魄！其实，我还可以提醒他：“分出一半后，难以竖着平均分成3份，那能不能横着分？”

备课时，我预设的答案只有一个“1/6”。当看到学生在图5中呈现的“1/3”时，我才恍然大悟：1/6和1/3，两个答案都对。但我又想：这太复杂了，三年级学生能解释清楚吗？他们是第一次正式接触分数啊。于是，我问：“送出半条被子之后，平均每位女兵盖多少被子？”学生指着图5说：“盖这些被子的1/3。”另一个学生及时补充：“盖剩下被子的1/3。”这个回答一点毛病没有，并且强调了整体不同，分数就可能不同。这正是“点子纸”的价值所在——借助虚线实线、阴影空白，先画出整条被子，才能数学化地画出半条被子。

在图6中，学生也认为答案是“1/3”，但开始的“半条被子”没有平均分，学生也没有“机灵地”在左边加上一块。可能是他没有注意到，也可能是他注意到了，但他以为可以忽视左边，只看右边。所以，他的答案“盖剩下被子的1/3”，是正确的。对此，我们还可以让学生开展同伴评价，顺便强调“平均分”。

在图7中，学生的答案也是“1/3”，但没有“平均分”——这个“平均分”是必须的。我组织学生互动评价，该生的解释是：“我知道要平均分，但要画在点子上，我没法画了。”我笑着说：“下次再画，你知道可以怎么画了吗？”他点点头。我追问了一句：“送给老百姓的是2/6？”他说：“不是，也应该是3份。”我请他用红笔修改，他写上了“3/6”。

……

此外，在一次研讨活动中，我也执教了《半条被子》，一位学生竟然说出：“我认为，在这道题里，1/6等于1/3。”学生错了吗？并没有，学生反而展现了哲学家的潜质。

这样异彩纷呈的课堂，我想，都源自一个重要的学习支架——点子纸。

二、善假于物

事情得从头说起。

2021年，我重读《陶行知全集》，读到了有趣的《半块糖》；读党史，读《长征记》，我都读到了《半条被子》。

我喜欢读他人的文字，想自己的问题。我觉得可以借《半块糖》《半条被子》来讲“1/2”，可以让学生画一画。不管是画半块糖，还是画半条被子，都要先画出整体。突出整体，强调单位，也是新课标的一大重点。

我们的数学课上，只让学生动脑，很少让学生动手。陶行知先生在《两件宝》中说：“动手又动脑，才能有创造。”儿童的智慧在手指尖上。培养学生动手画图的能力，很有必要。新课标中，原本初中才开始学习的尺规作图，起点移到了小学，我举双手赞成。画数学，就是在数学化。

2021年12月26日，读书的间隙，我在所读书的版权页背面，写下了这节课原始的教学思路（见图8）。

其中，第4个环节是“方格纸上，画出3/4块糖”。我为什么强调在方格纸上画？因为三年级学生没有多少画图的机会，画一个标准的长方形或正方形就十分不易，再画出这个长方形或正方形的3/4，就更难了。图形不标准，大概率是不好平均分的。以往教学“分数的认识”，教学重点在“平均分”。我认为，教是为了学的开始，我们不必每句话都强调“平均分”，那会让学生害怕数学，讨厌数学；但一直不说“平均分”，绝对是不科学的。怎么解决三年级学生画图能力弱给教学带来的难题？想起我的导师、首都师范大学王尚志教授指导我的话：“方格纸，是个好东西，要多用。”因此，我想到了让学生在方格纸上画3/4块糖。

我继续往下想：方格纸不能是学校打印室打印的，那样的话，方格的线是黑色的，学生用铅笔画图，根本看不见；要去买方格纸，其上的线是蓝色或者绿色的。买来之后，可以“印上两个长方形”。这样，三年级的学生课上画3/4块糖，就容易多了，省时高效。于是，我用红笔写了一个“买”字。

当我写“印上两个长方形”时，忽然来了灵感：点和点之间没有线，岂不更好？所以，我修改为“印点子图更好”，并将“点子图”画了下划线、在下面点了两个点作为示意。

我继续思考：是点子图，还是点子纸？点子图，早已有之。那是通过数点子的个数，来讲运算方法和运算定律的。方格纸，是借助方格来画图的纸，整张纸都是方格。以此类推，该叫点子纸。我用联想输入法打出“点子纸”三个字的汉语拼音，跳出来的是“电子纸”。也就是说，还没有“点子纸”这个词。点子纸是我“创造”出来的。点子纸可以给予学生充分的自主空间，同时又提供足够的操作支持和思维支撑，让学生体验“无中生有”的创造。

那一刻，我的浑身充满了能量，我体验到了“心流”的幸福，而这份幸福源于内心锲而不舍、井然有序地流动。

三、止于至善

有了点子纸这个帮手，学生的画图就有了支架，而点有了“辅助线”的作用，成了“辅助点”。

我试着在点子纸上画出半条被子，画完之后，我不仅看到了1/2，还看到了2/4、4/8、8/16……我是在讲分数的基本性质吗？不是，我只是为学生认识分数的分母、分子的意义提供素材和积累经验。有了确定三个以上的分数的经验，请学生概括“我们是怎样确定一个分数是几‘份’之几的”就会水到渠成。学习就像呼吸一样自然。

一幅图认识多个分数，实在是妙。工欲善其事，必先利其器。为了让学生看得更清楚，我准备了若干张像图9这样的纸片，预备在学生作品看不清晰时拿出来用。

几次试讲，当我问：“图上除了1/2，还能看到哪些分数？”学生说的分数非常丰富，也会有学生说出“2/1”。学生错了吗？没错。分数也是比，能说1∶2，就允许反过来说2∶1。化错教育重在善解人意。学生真是这么想的吗？学生说：“把一条被子分成两份，就是一分之二。”哦，他可能听说过“一分为二”这个成语，于是模糊成了“一分之二”。说实话，对于这样的解释，我是哭笑不得的。教材第1课时只讲“几分之一”，是不是支持了学生的这种迷思？我看到一位年轻教师严格按照教材，第1课时只讲“1/2、1/3、1/4、1/8”。她难能可贵地、创造性地设计了一以贯之的“师徒取经”情境：一个饼，先是两人分，再是三人分、四人分……在组织学生比较这几个分数的相同点时，学生说：“分子相同，都是1。”正中下怀，教师顺势问道：“为什么都是1？”学生答：“因为都是1个饼。”教师没有得到自己想要的答案，又叫起一个学生，学生答：“因为都是1个饼。”再叫起一个学生，学生还是答：“因为都是1个饼。”教师只能依次指着图中的阴影，自己给出“答案”：“是不是都是1份啊？”

几分之一是分数单位，确实重要，但，是不是在几分之几中才能彰显出它的价值？不是的。2002年，我执教《分数的初步认识》，就是从测量领带的“3/4”引入的。当然，借用《半条被子》的故事教学这部分内容，就只能从1/2引入。开始的“2/1”，如果不置可否，后面就会冒出诸如此类的一系列分数，让教师欲哭无泪。

百思不得其解。2022年9月28日，半夜两点多，我做了一个梦：我在讲《半条被子》一课。在提问“图上除了1/2，还能看到哪些分数”之后，我让学生思考了几秒钟，不指名回答，然后引导：“我看到了2/4。谁是我的知音，能在图上画一画，让别人看到‘4’在哪，‘2’在哪？”教和学，顺风又顺水。圆满教学后，我反思：引导时，究竟说“我看到了2/4”，还是说“我看到了8/16”，哪个更好？我抓耳挠腮，于是醒了。白天怎么没有想到这个问题呢？我赶紧用常用手机给自己的备用手机发了消息——2/4还是8/16？这是我储存灵感的一种方式。

错要化，但不是所有的错都要化。该化的错，也不是什么时候都能化。我为自己能在梦中想到避开暂时化不了的错而高兴。

究竟是拿“2/4”还是“8/16”举例子呢？一个份数少，便于数；一个不要分，直接数。对于学生来说，哪个更容易？要在“辅助点”之间用想象连线，无中生有，难度大一些。因此，我决定选择直接数小方格的“8/16”。

2022年9月29日，我借班执教《半条被子》，学生的高光时刻频频出现。课的伊始，我就眼前一亮：一个学生画的是两排、一排是4个小格子的被子。4/8，既不要分，又好数。

梦中的我，怎么没想到？醒来的我，怎么没想到？又是学生教我当老师。

四、格物致知

我生命中的贵人、北京第二实验小学老校长李烈先生喜欢说一句话：“方法总比问题多！”探究“点子纸”的过程，我回忆跟着李校长的20多年，发现她那些充满管理智慧的故事背后，首先是她有一双善于发现问题的慧眼。慧根源于慧眼，没有问题就没有方法。

《格言联璧》有云：“只一事不留心，便有一事不得其理。只一物不留心，便有一物不得其所。”进而，我再追问点子纸的创生，如果我没有想到三年级学生画图能力弱，画出的长方形或正方形会不规范，所画的半条被子会不平均，我就不会想到方格纸。如果我满足于方格纸已经解决了问题，没有想象教学场景，没有想象投影出的画面——学生在买的方格纸上所画的作品不是很清晰，就不会诞生没有线的点子纸。如果我是胡适先生笔下的“差不多先生”，就不会纠结学生的“‘2/1’问题”，也就不会有“2/4还是8/16”的思考。没有经历“2/4还是8/16”的纠结，就不会对学生画的“4×2”的被子情有独钟。

点子纸的创生过程说明：备课就是想象学生的问题所在，就是思考教如何帮助学的问题。

我想到了《中庸》里的一段话——子曰：“舜其大知也与！舜好问而好察迩言，隐恶而扬善，执其两端，用其中于民。其斯以为舜乎！”孔子这段话的大意是：舜帝可算是一个拥有大智慧的人吧！他乐于向别人请教，而且喜欢对那些浅近的话分析其含义；他替别人包容缺点而表扬优点，他度量人们认识上“过”与“不及”两个极端的偏向，用中庸之道去引导人们。这就是舜成为舜的原因吧！

好问好察，隐恶扬善，执两用中——在白纸和方格纸之间的点子纸好像就是这样的。两端点之间的线，因人而异，因时而异，时隐时现……

艺术的奥秘在于隐藏。《半条被子》这节点子纸上的“国数课”，就是富含隐藏艺术的一节课。爱国情感隐藏在“半条被子”里，数学知识隐藏在“点子纸”中。运用之妙，存乎一心。能看到什么，取决于心中有什么。

最后，我想学着王尚志先生的话，说：“点子纸，是个好东西，要多用。”