聚焦“意义”：第一学段“运算之间的关系”教学探索
作者： 魏光明
摘 要：“运算之间的关系”是义务教育数学课程“数与运算”主题的重要内容之一，第一学段需要达成“知道减法是加法的逆运算、乘法是加法的简便运算、除法是乘法的逆运算”的学业要求。“表内乘法”和“表内除法”相关内容是“运算之间的关系”教学的重要载体。教师要在具体情境中，结合乘法和除法的初步认识、乘法口诀的编制和应用，引导学生理解乘法是加法的简便运算、除法是减法的简便运算、除法是乘法的逆运算，从而在生活与数学、旧知与新知、单点与结构之间建立联系，有效落地核心素养导向的课程目标，促进认知进阶、问题解决、思维发展。
关键词：小学数学；运算关系；运算意义；简便运算；逆运算
*本文系全国教育科学“十三五”规划2020年度教育部重点课题“小学数学核心知识建构的教学研究”（编号：DHA200370）的阶段性研究成果。
“运算之间的关系”是义务教育数学课程“数与运算”主题的重要内容之一。《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）明确指出它在不同学段的学业要求：第一学段，“能描述四则运算的含义，知道减法是加法的逆运算、乘法是加法的简便运算、除法是乘法的逆运算”［1］；第二学段，“能描述减法与加法的关系、除法与乘法的关系”［2］，“进一步理解除法是乘法的逆运算”［3］；第四学段，“知道乘方与开方互为逆运算”［4］。可以说，第一学段“运算之间的关系”的教学直接影响着相关知识整体建构和应用迁移的质量，值得研究和重视。
一、第一学段“运算之间的关系”教学管窥
先看苏教版小学数学二年级上册《期末复习》单元的两道练习题（如图1所示）。对于经过一个完整学期学习的二年级学生来说，解答这两道基础性练习题是没有难度的。笔者在实际教学中发现：无论是有指定运算类型要求的第1题，还是没有指定运算类型要求的第2题的第（2）题，超过90%的学生能够快速且统一地写出两道乘法算式和两道除法算式。
这样的结果，与教材的编排意图和教师的教学预期完美吻合：“第1题通过看图写两道乘法算式和两道除法算式，引导学生回忆乘、除法的含义，进一步体会乘、除法之间的内在联系”；第2题的第（2）题“让学生练习根据一句口诀写出两道乘法算式和两道除法算式，帮助学生复习用口诀求积和求商的方法，熟练掌握乘法口诀与表内乘、除法之间的对应关系，促进计算技能的形成”。［5］
综观人教版、北师大版和苏教版小学数学教材中“表内乘法”“表内除法”的相关内容，无一例外地突出了情境、口诀与乘法运算、除法运算的关系，关注了除法是乘法的逆运算。如苏教版小学数学二年级上册，在《表内乘法（一）》单元，突出了情境、口诀与乘法运算的关系；在《表内除法（一）》单元，突出了情境、口诀与除法运算的关系，初次感悟除法是乘法的逆运算；在《表内乘法和表内除法（二）》单元，突出了情境、口诀与乘法运算和除法运算的关系，进一步感悟除法是乘法的逆运算。依据这样的内容编排开展教学，可以帮助学生强化对乘法与除法之间关系的理解；但另一方面，弱化了对乘法与加法、除法与减法之间关系的理解，学生往往难以从整体上感悟和理解四则运算之间的关系。
二、第一学段“运算之间的关系”教学建议
以苏教版小学数学二年级上册“表内乘法”“表内除法”相关内容的教学为例。这两部分内容的教学，应借助具体情境，结合乘法和除法的初步认识（含义理解）、乘法口诀的编制以及应用口诀计算相应的乘法和除法、解决简单的实际问题，引导学生理解乘法是加法的简便运算、除法是减法的简便运算、除法是乘法的逆运算，并与“减法是加法的逆运算”这一旧知建立联系，首次从整体上感悟和把握四则运算之间的关系。
（一）回溯乘法意义，丰富加法与乘法之间关系的教学
苏教版小学数学二年级上册《表内乘法（一）》单元从加法运算引出乘法运算，相应的教学常常是通过情境理解、操作模拟、图形表征、史料介绍、算式比较，引导学生初步感悟和了解乘法与加法的关系——但笔者以为，这样的教学只是把加法作为单向引出乘法的基础材料，没有突出也没有充分让学生感悟到“乘法是加法的简便运算”。对此，有必要进一步挖掘教材内容承载的价值，并有意识地从乘法的意义出发，丰富学生对加法与乘法之间关系的感悟和理解。
【片段1】
教师出示下页图2（对苏教版小学数学二年级上册第27页“想想做做”第2题的附图做了适当的修改），引导学生观察、思考，并与学生互动。
师 你能看图用三句话讲一个故事吗？
生 每行有5个花片，有3行，一共有多少个花片？
生 还可以这么说：每组（列）有3个花片，有5组（列），一共有多少个花片？
师 看看图，想想两个同学讲的故事，你能写出哪几道算式？
（学生独立写算式，同桌交流。教师展示学生作业并组织全班交流。）
生 我想到了：5+5+5=15，3+3+3+3+3=15。
生 我想到了：5×3=15，3×5=15。
生 我想到了：5+5+5=15，5×3=15，都是3个5相加。
生 我想到了：3+3+3+3+3=15，3×5=15，都是5个3相加。
师 同学们说得都有道理！既然我们可以用以前学过的加法解决这个问题，为什么还要学习乘法呢？
生 因为乘法写起来比加法简单。
师 是的。3个5相加，或者5个3相加，写成乘法算式和加法算式都可以，但是乘法要比加法更简便。想一想：你能用一句口诀算出这4道算式的得数吗？如果能，用哪一句口诀呢？
生 三五十五。
（很多学生都快速选择了这一句口诀。）
师 乘法口诀真神奇！“三五十五”可以算3个5相加是多少，也可以算5个3相加是多少；可以算加法，也可以算乘法。
【片段2】
教师呈现苏教版小学数学二年级上册第32页“想想做做”第3题（如图3所示），在学生独立计算、反馈订正之后组织全班交流。
师 （依次指每一列）
如果不计算，你能说说每组两道算式的得数为什么一样吗？
生 （指第一列的两道算式）
第1题是2个5加5，就是3个5相加，第2题也是3个5相加。
生 （依次指第二、三列的两道算式）
它们都是4个5相加、5个5相加。
师 有道理。既然都表示3个5、4个5、5个5相加，每组的两道算式分别能用哪一句口诀算出得数呢？
（学生说出“三五十五”“四五二十”“五五二十五”三句口诀。）
师 “四五二十”这句口诀可以计算4个5相加是多少，（指第二列）
除了这两道算式之外，还能够计算哪道算式的得数？
生 5+5+5+5=20。
生 5×2+5+5=20。
师 看来乘法口诀的作用还真不小呢！观察一下，同样表示4个5相加，写成哪道算式更简便？
生 乘法算式更简便。
上述教学，不仅丰富了学生对乘法含义、乘法口诀的理解，拓展了乘法口诀解决计算问题的空间（即用乘法口诀计算同数连加、乘加混合算式的得数），也有助于学生更好地感悟“乘法是加法的简便运算”，初步感悟乘法分配律。笔者以为，在《表内乘法（一）》单元和后续相关内容的教学中，应该经常引导学生退回乘法的含义去理解情境、完成计算、解决问题，不断丰富关于加法和乘法双向转换、算式和图形双向表征、口诀与算式（特别是加法算式）双向联结的经验，从而帮助学生在认知进阶的过程中感悟和理解加法与乘法的关系。
（二）拓展除法意义，补充减法与除法之间关系的教学
苏教版小学数学二年级上册《表内除法（一）》单元从现实生活中的平均分问题引出除法运算，相应的教学也常常是通过情境理解、操作模拟、图形表征以及利用乘法口诀求商（想乘法算除法），引导学生初步感悟和了解除法与乘法的关系——但笔者以为，这样的教学忽略了减法也是除法的来源这一事实，中断了学生在先前学习中初步形成的从已知运算引出新运算的思路，割裂了除法与减法的关系。对此，可以尝试突破教材内容的框架，有意识地拓展除法的意义，引导学生建立减法与除法之间的联系。
【片段3】
教师呈现苏教版小学数学二年级上册第48页例5主题图（如图4），引导学生在理解题意后提出问题：6人坐缆车，每车坐2人，要坐多少车？在学生独立尝试通过分物或画图操作解决问题之后，教师为学生提供记录单：“我记录的算式是______，要坐______车。”要求学生想办法用算式记录解决问题的操作过程和答案。然后，教师展示有代表性的学生作品，组织交流互动。
生 我记录的是“2+2+2=6”，要坐3车。
师 在算式中，从哪里可以看出坐了3车？
生 （用红笔依次圈出3个2，数出结果）
1车，2车，3车。
师 你的意思是每车坐2人，这里有3个2人，所以要坐3车，是吗？
生 是的。我就是这么想的。
生 我记录的方法和他的不一样。我记录的是“2×3=6”，每车坐2人，有3个2人，要坐3车。
生 我也是用乘法记录的：2×（ ）=6。因为2×3=6，所以要坐3车。
师 有道理。看来，我们可以用以前学过的加法和乘法知识来解决问题。
生 我是用减法记录的。我记录的是“6-2-2=2”，（依次圈出3个2）
每车坐2人，要坐3车。
生 （指着前一位学生的作品）
我记录的算式和他有一点不同。我记录的是“6-2-2-2=0”，（依次圈出3个2）
每车坐2人，要坐3车。
师 这两种方法看明白了吗？（稍停）
看来用减法也能解决这个问题。
（教师引导学生比较三种记录方法：①2+2+2=6；②2×3=6；③6-2-2-2=0。）
师 三种方法都能记录“6人坐缆车，每车坐2人，要坐3车”，比一比，它们有什么不同呢？
生 “2+2+2=6”可以写成“2×3=6”，但是乘法比加法简便。
生 “6-2-2-2=0”和“2+2+2=6”是相反的。
师 我同意大家的意见。如果“2+2+2=6”能够简便地写成“2×3=6”，那么，“6-2-2-2=0”能不能也有一种简便写法呢？
（学生思考和讨论。）
师 “6人坐缆车，每车坐2人，要坐3车”，用减法记录是“6-2-2-2=0”，还可以简便地写成“6÷2=3”。
（教师同步板书，读出算式，介绍算式各部分的名称。然后，引导学生比较减法算式、除法算式中的几个数与平均分情境中的三个数量之间的对应关系，帮助学生初步感悟一个数连续减去几个相同的数也可以用除法来计算，除法比减法简便。）
上述教学，在学生通过实物或画图操作来加深对平均分的理解，用加法、乘法和减法来记录解决平均分问题的过程和结果的基础上，适时引出除法的记录形式，引导学生初步了解除法和减法之间的关系，感悟“除法是减法的简便运算”，拓展除法的意义。事实上，苏教版小学数学二年级上册《表内除法（一）》单元第53页例7中就呈现了用连减解决平均分问题的方法，只是此方法仅在这里出现了一次，且并未与除法建立起实质性联系。站在学生整体理解除法意义、整体感悟运算之间关系的高度来审视，教师不妨尝试在《表内除法（一）》单元以及后续相关内容的教学中，启发学生用不同的方法（特别是用减法和除法）解决平均分的问题，拓宽他们解决问题的视野，找到除法计算中口诀求商之外的方法，弥合除法与减法之间的断层，实现减法与除法之间的双向转换。需要说明的是，补充教学只是引导学生从另一个源头认识除法，我们依然应该重视乘法与除法之间关系的教学。