在生活情境中“创造”概念，在图形表征中深化本质
作者： 孟霞
摘 要：教学苏教版小学数学教材《分数的初步认识（一）》单元的第一课时，利用教材例1创设的学生熟悉的“野餐时分食品”的生活情境，从结果能用整数表示到结果不能用整数表示，引发用分数表示的需要，然后引入“分食品”的实物操作，引导学生“创造”分数概念，理解分数表示的结构意义；再利用图形表征，从直接的到间接的，从面积到长度，从连续的到离散的，设计丰富的外延变式，引导学生应用辨析几分之一的概念，深化认识其内涵本质。
关键词：小学数学；生活情境；图形表征；分数概念
*本文系江苏省基础教育前瞻性教学改革实验项目“小学数学个性化教学的实践研究”（编号：2022JSQZ0126）的阶段性研究成果。
一、教前思考
苏教版小学数学三年级上册第七单元《分数的初步认识（一）》，是分数知识的起始单元。第一课时主要教学例1和例2：认识一个物体的几分之一，比较两个几分之一的大小。从自然数到（正）分数，是数系的第一次扩充。在自然数概念的基础上学习分数概念，对学生来说具有一定的挑战性。
数学来源于对现实世界的抽象。小学生学习数学概念，尤其需要借助生活情境，调动具体（实践）经验，理解抽象（理论）知识。同时，根据布鲁纳的儿童认知发展阶段论，也需要经历从动作表征（实物操作，常常和生活情境相联系）到形象表征（图形观察）再到符号表征（形式化的思考，用来形成抽象知识）的过程，特别需要充分利用具有半具体、半抽象特点的形象表征，作为具体和抽象的中介，实现从动作表征到符号表征的过渡［1］——形象表征相比于动作表征，还具有便捷、高效的特点，更适合环境相对封闭、资源相对有限的课堂教学。此外，抽象的数学概念具有外延广泛、内涵明确的特点。学习时，还需要借助丰富的外延变式，通过应用辨析，把握内涵本质。
据此，教学《分数的初步认识（一）》第一课时，笔者设计了两个环节：在生活情境中“创造”概念、在图形表征中深化本质。第一个环节，利用教材例1创设的学生熟悉的“野餐时分食品”的生活情境，从结果能用整数表示到结果不能用整数表示，引发用分数表示的需要，然后引入“分食品”的实物操作，引导学生“创造”分数概念（充分体验分数概念的产生过程），理解分数表示的结构意义，掌握几分之一的读写方法，学会比较几分之一的大小。第二个环节，利用图形表征，从直接的到间接的，从面积到长度，从连续的到离散的，设计丰富的外延变式，引导学生应用辨析几分之一的概念，深化认识其内涵本质。
二、教学过程
（一）在生活情境中“创造”概念
1.创设生活情境，引发用分数表示的需要
师 同学们，通过前两年的学习，我们初步认识了自然数，知道自然数在生活中很有用，可以表示很多事物的数量。（出示教材例1的情境图）
两个小朋友去野餐，他们带了这样一些食品。把每种食品平均分成2份，每人分得多少？
生 把4个苹果平均分成2份，每人分得2个。
生 把2瓶矿泉水平均分成2份，每人分得1瓶。
生 把1个蛋糕平均分成2份，每人分得半个。
师 2和1都是整数；半不仅不是整数，而且不是数。显然，把1个蛋糕平均分成2份，结果不能用整数表示，那么，结果能用其他的数表示吗？或者说，我们能创造出其他的数，来表示这一结果吗？
生 （抢答）
二分之一个。
师 二分之一？怎么写？
（学生板书：½。）
师 它是一个数吗？是什么数？
生 分数。
师 你真厉害！你是怎么得到这个数的？
生 书上看到的。
师 那你知不知道分数是怎样创造出来的？
（学生迟疑。）
利用“野餐时分食品”的生活情境，从结果能用整数表示到结果不能用整数表示，引发用分数表示的需要。这其实是对数学史的重构，符合分数产生的历史过程，有助于学生理解分数的意义和价值。对于用分数表示半个蛋糕，学生的表现很“真实”：知道二分之一的读法和写法，不太清楚分数是怎么创造出来的，归根到底即不太清楚分数表示的结构意义。
2.组织实物操作，理解分数表示的结构意义
师 老师问得再具体一点：二分之一表示什么意思？
生 把一个蛋糕平均分成2份，每份是它的二分之一。
师 很好！下面，我们实物操作一下，充分体验分蛋糕的过程，理解二分之一的含义。课前，各个小组的组长给每位组员发了两个小蛋糕和一把塑料刀。现在，请你拿出一个蛋糕放在盘子里，用塑料刀分一分，并向同桌指出它的二分之一。
（学生活动。）
师 你是怎么分的？二分之一在哪里？
生 这是一个长方形蛋糕，我先用尺子测量它的长度，再从中间的位置用刀将它切成2份。这样，每份都是2份中的1份，都是它的二分之一。
师 很好！理解了二分之一的含义，你能理解二分之一写成“½”的道理吗？下面的“2”表示什么？上面的“1”呢？中间的这条线又是什么意思？
生 从分蛋糕的过程看，中间的这条线表示平均分，下面的“2”表示分的份数，上面的“1”表示所指的对象是其中的1份。
师 表达得真准确！实际上，下面的“2”叫作分母，上面的“1”叫作分子，中间的这条线叫作分数线，它们合起来就是分数。可见，二分之一这么写非常有道理，分数这样创造出来也很合理。（稍停）
同样的道理，如果把一个蛋糕平均分成4份，每份是它的几分之几呢？
生 四分之一。
师 很好！请同学们再拿出一个蛋糕放在盘子里，用塑料刀分一分，并向同桌指出它的四分之一。
（学生活动。）
师 很好！你理解了分数的意义。同样的道理，四分之一该怎么写呢？
生 写成“¼”。中间的这条线是分数线，表示平均分；下面的“4”是分母，表示分的份数；上面的“1”是分子，表示所指的对象是其中的1份。
师 很好！你掌握了分数的写法。继续思考：如果把这个蛋糕平均分成3份，每份是它的几分之几？平均分成5份、6份、7份……呢？你能用一句话来概括吗？
生 把一个蛋糕——
师 只能是蛋糕吗？
生 哦！把一个物体平均分成几份，每份就是它的几分之一。
师 非常好！由分数的产生过程，很容易理解分数的意义，也不难理解分数的读写包含自然数成分的道理。
引入“分蛋糕”的实物操作，让学生“创造”分数概念（充分体验分数概念的产生过程），理解分数表示的结构意义：由表示平均分的分数线、表示分的份数的分母和表示指的份数的分子组成。从而在充分激发学生学习兴趣的同时，帮助学生真正掌握几分之一的读写方法。
3.利用实物操作的结果，学会比较几分之一的大小
师 认识了几分之一，能比较一下它们的大小吗？比如：½和¼哪个大？为什么？
生 ½大。我是看出来的：½个蛋糕明显比¼个蛋糕大。
师 很好！学习数学离不开直观感受。我们还可以进一步感受一下：分别吃下½个蛋糕和¼个蛋糕。
（学生吃蛋糕。）
生 一口吃下½个蛋糕噎得慌，一口吃下¼个蛋糕比较容易，说明½比¼大。
师 很好！不过，学习数学不能只凭感觉，还要讲道理。感受过后，你能讲讲道理，说明½比¼大吗？
生 同样的蛋糕，分的份数越多，每份就越小；分的份数越少，每份就越大。
师 真了不起！你发现了重要的结论：在分子相同的情况下，分母越大，分数越小；分母越小，分数越大。
生 我还发现，½有2个¼大。
师 从分蛋糕的过程可以看出，½和¼有这样特殊的关系。那么，½和⅓、⅕呢？
生 ½比⅓大，⅓比⅕大，但它们之间没有几倍的特殊关系。
师 是的。之前的结论还是有用的，而它们之间的倍数关系不能用整数来表示——至于用什么表示，后面我们会学到的。
在理解分数表示的结构意义，掌握几分之一的读写方法的基础上，利用“分蛋糕”实物操作的结果，让学生比较几分之一的大小。由此，学生不仅能通过观察得到结论，而且能通过品尝加强体验（增加趣味）。同时，实物操作的结果也有助于学生发现大小关系背后的道理——一般的规律。
（二）在图形表征中深化本质
1.直接的图形表征：从面积到长度
师 通过分蛋糕的过程，我们知道了：把一个物体平均分成几份，每份就是它的几分之一。现在，把“物体”从蛋糕变成我们学过的几何图形。（出示长方形、正方形、三角形、圆各一个）
你能分别找到这些图形的½吗？请涂色表示出来。
（学生活动。教师巡视。）
师 （出示学生作品，如图1所示）
涂色部分的形状、大小都不一样，为什么都是相应图形的½？
生 因为涂色部分都是将相应的图形平均分成2份后其中的1份。
师 （出示一个正方形）
你能找到它的¼吗？请涂色表示出来。
（学生活动。教师巡视。）
师 （出示学生作品，如图2所示）
涂色部分的形状不一样，为什么都是正方形的¼？
生 因为都是将这个正方形平均分成4份后其中的1份。
师 很好！你们都抓住了几分之一的本质：不管什么形状，只要将它平均分成几份，每份就是它的几分之一。（出示图3）
因此，还可以这样得到这个正方形的¼。
师 （出示图4）
三个一样的长方形，估一估：每个长方形中的涂色部分分别是长方形几分之一？
生 分别是½、⅓和¼。
师 这样的长方形很瘦长，像纸条，平均分时只需要关注长，不需要关注宽。干脆把它们移到一条直线上，让它们两端对齐。（出示下页图5）
还记得数轴吗？在一条直线上，原本是一条线段（长度）表示一个数，后来我们找到一个点（位置），假设它表示0，从而在它的一边，到它距离（与它之间线段长）为1、2、3……的点分别表示1、2、3……这里，我们可以让三个长方形完全重合，找到重合后图形的一端，假设它表示0，像图中这样，那么，图形的另一端可以表示什么？三个涂色部分的另一端分别可以表示什么？
图5
生 图形的另一端可以表示1，也就是一个长方形的长；三个涂色部分的另一端分别可以表示½、⅓、¼，也就是½、⅓、¼个长方形的长。
师 很好！可见，数轴上不仅有整数，还有分数。以此类推，表示⅕、⅙、⅐、⅛……的点在哪里？这些点有什么特点和趋势？
生 这些点都比1小，而且越来越接近0。
师 能到达0吗？
生 到达不了。
师 它们越来越小，不难理解：分子相同时，分母越大，分数越小。那么，为什么比1小，为什么到不了0？
生 因为分数是把一个物体平均分成几份，如果原来的物体是1，那么分后的物体肯定比1小；而且不论分成几份，都不可能没有大小，也就不可能为0。
师 很好！分数不仅是由整数不够分得到的，而且可以和整数建立大小关系。抓住了几分之一的本质，不管是用图形的面积、长度，还是有关的位置来表示，就都不是问题了。
直接出示图形，让学生找到、判断它的几分之一。从面积到长度，让学生在变式应用中把握分数概念的本质。自然地与数轴建立联系，强化整数与分数的联系，孕伏整数与分数的大小关系。
2.间接的图形表征：从连续的到离散的
师 回到现实生活，再看看哪些“物体”中有分数。（出示法国国旗图片）
这是什么？有分数吗？
生 法国国旗，它的每一个色块是它的⅓。
（教师出示一块分成8格的巧克力图片。）
生 巧克力，它的每一个小块是它的⅛。
生 还有：它的两个小块是它的¼，它的四个小块是它的½。
师 很好！一块巧克力让我们想到了这么多分数，接下来就奖励同学们“吃”巧克力。（出示图6）
虽然三人吃的巧克力块数不同，但是都吃了总数的几分之几？
生 ½。
师 注意，这里分的不是一个物体，而是多个物体组成的一个整体。同学们很自然地就类比得到了正确结果，很厉害！对于这种情况，下学期我们会进一步学习。
回到现实生活，但是不再提供实物，而是出示表示实物的图形，也即间接出示图形，让学生找到、判断它的几分之一。从连续的一个物体到离散的多个物体，让学生在更多的变式应用中进一步把握分数概念的本质。“离散的多个物体”的几分之一拓展了分数的概念，为后续教学《分数的初步认识（二）》埋下伏笔。
参考文献：
［1］俞宏毓，朱向阳，许晓娟.布鲁纳儿童认知发展阶段论指导下的小学数学教学［J］.教育研究与评论（小学教育教学），2024（2）：43.