APOS理论：大概念视角下小学数学单元整体教学设计的有效路径

摘要：APOS理论是一种具有数学学科特色的以建构主义为基础的学习理论，它将概念的教学分为活动（Actions）、过程（Process）、对象（Object）和图式（Scheme）四个阶段。基于APOS理论，开展大概念视角下小学数学单元整体教学设计，借助大任务、大问题驱动，将目标具体化，构建“课程→单元→单课”的下沉通道，通过分析学习主题，把握学习本质；确定单元目标，设计教学活动；制定评价方案，发挥导向作用，真正将核心素养目标落实到每一节课中。

关键词：小学数学；APOS理论；大概念视角；单元整体教学

《义务教育数学课程标准（2022版）》强调重视单元整体教学设计，改变以往过于注重以课时为单位的教学，体现数学知识之间的内在逻辑关系，以及学习内容与核心素养的关联。因此，大概念视角下的小学数学单元整体教学设计成为当今一线数学教师研究的热点。但这也对教师的专业能力提出更高的要求，他们迫切需要科学合理的专业理论指导。因此，将APOS理论引入单元整体教学，为广大一线教师提供一定的参考与借鉴。

一、APOS%理论基本概述及其意义

APOS’理论是美国数学家杜宾斯基提出的一种具有数学学科特色的以建构主义为基础的学习理论，它将小学数学概念的教学分为活动（Actions）、过程（Process）、对象（Object）和图式（Scheme）四个阶段[1]。活动阶段是学生经历学习活动的过程，目的是更好地感知概念、建立表象；过程阶段是学生在经历活动阶段后对经历的活动进行思考和反思的过程，目的是抓住概念的本质；对象阶段是学生在经历操作和过程这两个阶段后，能够将自己对要学习的数学概念赋予定义和符号化的过程，目的是达到精致化；图式阶段是学生在原认知结构的基础上，主动沟通联系新学习概念的过程，目的是形成新的概念图式。

APOS理论是针对数学概念学习的建构学习理论，能够很好地帮助教师规划“图形的认识与测量”主题概念课教学的顺序和过程，对其教学具有指导意义。例如活动阶段，强调通过学生外显的观察和动手操作或内隐的思维活动，实现对概念的初步感知；过程阶段，强调自主探究，反思总结实现对概念的理性思辨；对象阶段，强调通过同化或顺应用自己的语言或者数学语言对概念进行表征，达到概念的精致化；图式阶段强调建构总体的知识网络，建立概念与概念之间、概念内部元素之间的联系。通过这四个阶段，学生经历动手操作、自主探究、问题解决、创造应用等过程，有机结合概念的形成与同化，揭示概念的本质属性，建构结构化的概念图式。

二、APOS理论指导小学数学单元整体教学的可行性分析

大概念视角下的单元整体教学设计，是以核心素养为导向，在主题的核心概念统领下，将碎片化的课时教学结构化，实现学习内容的整体性以及学习方法的系统性，以主题的核心概念为统领实现学科本质的一致性，使学生形成知识与方法的迁移，最终实现核心素养的落地[2]。这与APOS理论的理念不谋而合，该理论重视数学学习过程中学生的主体性，强调教师以整体性视角设计学习活动。这四个阶段是相互融合、交融并进的一个整体，最终目标是实现知识与技能的完整性、系统性。我们将研究APOS理论在单课时的经验，移植到单元教学的实践，不断更新迭代，探究APOS理论指导的大概念视角下小学数学单元整体教学设计与实施。它的实施路径一般按照三步展开：分析学习主题，把握学习本质；确定单元目标，设计教学活动；制定评价方案，发挥导向作用。

三、大概念视角下小学数学单元整体教学设计说明

下面以苏教版二年级上册《厘米和米》单元为例，具体阐明：

（一）分析学习主题，把握学习本质

根据单元内容所属的学习主题进行分析，能更好地厘清学科本质，有利于整体把握单元和系列单元。《厘米和米》是苏教版二年级上册的内容，属于图形的认识与测量这一学习主题。《图形的认识与测量》的课程内容要求是：学生在经历统一度量单位的过程中，感受统一度量单位的意义；基于度量单位理解长度、角度、周长、面积、体积等；在推导一些常见的图形周长、面积、体积计算方法的过程中，感受数学度量方法，逐步形成量感和推理意识。

因此，《厘米和米》属于“度量”大概念的内容。度量在小学数学中包括数量、长度、角度、面积、体积、人民币、时间、质量等的度量。《厘米和米》是“长度”这一内容的种子单元。但是从“度量”大概念教学的角度来考虑，之前学生已经接触过“数量是计数单位的累加”，也有了一定的知识经验积累，对本单元继续体会“长度是长度单位的累加”奠定了基础，所以本单元实则是“度量”大概念教学中的生长单元。

在这部分内容中可以体现如下的数学大概念：

1.度量是对现实生活中事物某方面属性大小的刻画；2.度量方法和度量单位的选取源于实际生活的需要；3.度量的本质是统一单位的不断累积。

本单元主要涉及量感、空间观念、推理意识等数学核心素养和思想方法，教师需站在大概念教学的视角下，把握度量的核心内容及研究的思想方法，架构起连接知识和数学素养的桥梁。

（二）确定单元目标，设计教学活动

在整体分析单元内容的基础上，制定指向核心素养的教学目标，设计结构化的教学活动。

确定单元目标。单元目标基于以上对“度量”主题的整体建构，结合新课标的要求，设计了如下单元教学目标：

1.-在实践活动中认识长度单位“厘米”和“米”，初步建立1厘米和1米的长度观念，知道“1米=100厘米”，初步认识线段，培养学生直观想象能力，养成尊重客观事实，实事求是的科学态度。

2.经历用不同的方法测量物体长度的过程，感受度量单位产生和统一度量标准的必要性；融入数学史了解度量文化的多元性、发展性和统一性，培养空间观念和推理意识；养成锲而不舍的探索精神。

3.能用刻度尺正确测量物体的长度（限整厘米数），能画指定长度的线段；理解度量本质是度量单位的累加，能根据实际情况选择合适的测量工具和长度单位，提升度量自觉、精准度量的度量意识和能力；通过估测，形成初步的估测意识和能力。

4.-在具体的测量活动中，养成做事严谨、细致的数学品格，体验合作学习的兴趣，增强对数学学习的信心。

设计教学活动。单元整体架构教学实施过程中由课时教学走向大概念单元整体设计，注重单元整体构架，课时设计围绕单元育人目标和整体构建展开，在种子课、生长课、衍展课和盘点课中开展丰富多样的活动发展学生的核心素养，架构起连接知识和数学素养的桥梁。

1.-首先是种子课的设计。活动1：“在古代没有尺子，怎么表达桌子的长度呢？”学生有的说“有4支彩笔那么长”，有的说“有两个数学课本那么长”，有的说“有4拃那么长”，学生都很有想法，这正是历史初期借助具体事物进行度量的阶段。尽管学生想办法表达出了桌子的长度，但是寻找的标准不同，每个人的表达方式不一样，沟通、交流起来依然很困难。

这时适时给学生讲“长度度量的历史”，《史记》中的“禹身为度”，孔子家语中的“布指知寸”，首次在国内统一了测量工具，到不同历史时期、不同国度文化影响下的度量标准，感受文化的多元性，引导学生体会“统一度量标准”的必要性，引入对长度单位“厘米”的认识。再“用1厘米测量”铅笔或小棒的长度，然后“连接符号”创造小尺子，最后出示常见的“测量工具”，即常用的直尺或卷尺，继而解决“怎样测量书桌的长度”的问题。最后运用所掌握的方法对身边其他事物进行测量，实践体验中又产生了新问题：较长的物体（例如黑板的长度）再用厘米测量比较麻烦。

整节课中，学生在活动、过程、对象、图式各阶段中充分操作与体验，经历了完整的测量及确定单位的过程，从“多元”到“统一”，从“非标准”到“标准”，学习内容层层递进螺旋上升，逐步发展量感、空间观念和推理意识。

2.第二节生长课———《米的认识》。本节课的大任务是上节课的遗留问题：黑板的长度是多少？学生用一把15厘米的尺子去测量黑板的长度，感悟测量的麻烦，在自主探究、合作交流中感受较大长度单位“米”产生的必要性。此时介绍度量标准“米”中的文化，引导学生感受数学知识的产生源于人们表达世界的需求，体会知识产生的必要性以及数学与生活的密切联系。

接下来，通过多种方式体验“1米有多长”。

活动2：“我们的身体里也有1米，你能做个1米的样子吗？”学生自然而然想到张开双臂。同桌互相量一量。

活动3：“竖着观察从地面到你身体的哪里大概是1米。”引导学生先猜测贴上标签，再利用米尺量一量，看看估量的是否准确，不准确再调整，在估测中形成初步的估测意识和能力。

活动4：自己动手制作米尺，课后完成。

活动5：找一找生活中长度大约是1米的物体。通过集体活动交流、亲身动手实践，进一步帮助学生理解“米”的具体含义，建立起1米的表象。

度量标准建立之后，开展“我是小小测量员”活动，在实践中进一步巩固测量的方法，并能根据实际情况选择合适的测量工具和长度单位，进一步培养学生的量感和空间观念，增长学生的生活智慧。

整节课中，教师组织各种操作活动，使学生亲身参与其中。通过观察、动手操作、实验探究等外显性的活动和回忆、猜想、推理等内隐性的活动，学生对经历的活动不断反思内化，在巩固原有认知结构中“厘米”概念的基础上，丰富对新获得的概念“米”的理解，建立两者联系，形成新的综合认知网络。

3.第三节“衍展课”———《我们身上的小尺子》。通过播放绘本，引导学生认识一拃长、一脚长、一步长、一庹长这四个身上的小尺子。借助绘本故事，提出问题“用身体测量大树有多粗”。学生提出可以抱一抱大树，就是一庹长，不够的再用一拃长来测量，这不仅为之后其他长度单位的学习种下种子，更是渗透着“化曲为直”的数学思想。

虽然是二年级学生，也可以引导学生经历提出问题、制定计划、解决问题、总结反思的完整过程。实践中，可能遇到以下系列问题，“用哪种尺子量呢（直尺还是米尺）？”“怎样进行精确的测量呢（使用尺子的技巧）？”“一庹长自己能独立测量吗（分组协作更高效）？”“测量一次得到的数据准确吗？”“不同人的一拃长、一庹长一样长吗？”在活动中发现问题并调整反思。

课下引导学生续写绘本故事，将实践活动向课外延伸，学生能利用身上的小尺子进行估量，再利用尺子测量，在活动中体验数学应用于实践的乐趣。

4.第四节“盘点课”。APOS理论重视学生概念图示的建构，盘点课的意义正是如此。通过对整个单元进行总结和整理，理解度量的本质就是度量单位的累加，与之前学过的物体的数量就是计数单位的累加是一致的，重视知识网络的构建，思维方法的梳理。在测量解决问题的同时也提出新的问题，遇到测量不是整厘米、整米的物体怎么办呢？产生通过“细分”创造“更小长度标准”的需求，为后续学习毫米、分米的认识奠定基础，也与接下来学习的除法、分数、小数中的细分思想又有着异曲同工之妙，通过盘点课理出脉络，沟通起知识之间的联系，真正把大概念单元教学落到实处。

（三）制定评价方案，发挥导向作用

在单元整体教学背景下，数学教学呈现出较强的联系性和系统性，因此教师要及时引导学生对数学单元教学内容进行归纳总结，并对学生的数学学习开展多样化的教学评价，夯实课堂教学成效[3]。因此，本单元采取个人评价、生生互评、师生评价相结合的方式，注重过程性评价和终结性评价。结合本单元的活动，设计了课堂自我评价表、活动报告评价表、小组成员互评表等，不仅关注学生数学学习的结果，知识技能的掌握，更关注学生的学习过程、学习态度、学习习惯以及团队合作的能力。

泰勒指出，评价方法的开发不是单纯的技术问题，而是不断完善教育实践的根本性活动。因此，我们一直致力于“核心素养题”的开发，通过回顾表达数量和描述长度的过程，发现数量是计数单位的累加，长度是长度单位的累加，理解度量的本质就是度量单位的累加，打通前后知识的壁垒，沟通知识间的联系，在解决问题的过程中，考核和了解学生核心素养的形成和发展。

APOS理论指导的大概念视角下小学数学单元整体教学的精髓在于借助大任务、大问题驱动，将目标具体化，构建“课程→单元→单课”的下沉通道，从而真正将核心素养目标落实到每一节课中。同时又强调学习的真实性，引导学生将学校所学知识迁移到现实世界中去，变“宽而浅”的学习为“少而深”的学习。

参考文献：

[1] 赵红霞，李丹.基于APOS理论的小学数学概念教学研究：以《轴对称图形》教学为例[J].兵团教育学院学报，2018（2）.

[2] 刘徽.“大概念”视角下的单元整体教学构型：兼论素养导向的课堂变革[J].教育研究，2020（6）.

[3] 孟范举，李永胜.核心概念统领下的小学数学单元整体教学改进策略研究[J].吉林省教育学院学报，2021（12）.

编辑/杨馥毓