可视化理论视域下小学生数学思维进阶的路径探索

摘要：数学思维是三大数学核心素养之一，通过“画、说、做”三种教学方法，教师可以将学生的思维展现在我们面前。思维可视化视域下，不仅要寻求思考氛围的构建，还要提升学生的整体思维品质。面对学生常规思维和理性思维的交织，一方面要寻求对常规思维的改进，重视理性思维，另一方面要引导学生形成正确高效的学习数学的思想方法，提升数学思维，从而真正提升学生的思维品质。

关键词：思维可视化；小学数学；核心素养

数学思维是主体认识现实世界的一种方式，也是一种特殊的思维活动。在《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称新课标）中，小学生数学思维的发展不仅是数学教学的总目标之一，而且也是数学核心素养之一[1]。

然而思维是没法被直接观察到的，数学思维的显现可以通过教师的“巧”技———思维可视化来帮助教师观察学生的思维状态，从而引导和帮助学生发展自身的数学思维，激发学生的主动性，为学生的未来发展做好准备。

一、可视化视域下小学生数学思维进阶的内涵

思维可视化是指以图示或图示组合的方式，把原本不可见的思维结构、思考路径及方法呈现出来，使其清晰可见的过程。思维可视化具有让知识更容易被理解和记忆，以及发展学生的思维能力和学习能力的价值。可见，思维可视化是一种教学方法，指向发展学生的思维能力和学习能力[2]。

根据建构主义教学理论，学生不是空着脑袋走进教室的，他们在日常生活中已经或多或少地有了一定的数学知识和思考。在思维可视化视域下，不仅仅要考虑学生如何展现思维和在数学思维上的进步，而且还要改正其一些固有的似是而非的观念和思维，从而实现思维质量的真正提升[3]。

二、可视化视域下小学生数学思维进阶的教育愿景

思维可视化的教学方法是数学思维改进的有效方法，数学思维的改与进是思维可视化的目标。

（一）数学思维改与进的展望，思维品质的提升

数学思维有其不足之处，对客观事物都运用数学思维进行认识，会导致死板和机械化的理解，因为数学思维强调推理的形式化，比如在欣赏艺术作品和文学创作时，就不适用数学思维，而更多地需要个体运用感性去感受和想象。因此，数学思维的改进最终不是为了数学思维本身的发展，更不是学生数学知识的丰富，而是通过数学思维的发展，使得学生更会思考。

（二）思维可视日常化，形成良好的思考氛围

教师如果只是将思维可视化视作自己教学仓库中的一个工具，在课堂需要填补空缺时拿出来对教学修修补补，那么这些工具永远是教师私人的物品，它们对于学生来说是陌生的，思维可视化的策略要成为教师和学生共同拥有和运用的利器，就要让思维可视日常化。在日常教学活动中，教师应多引导学生表达和表征自己的思维，将课堂多交由学生表达，逐渐形成良好的思考氛围。

三、可视化视域下小学生数学思维进阶的策略

思维可视化的教学方法如果仅仅作为教师日常教学零散的教学技巧之一，那么其对数学教学，以及学生发展就无法显现出它的价值和作用，它在思维的整体发展上有其重要的作用。基于这样的目的，构建出可视化视域下数学思维进阶策略系统（见图1）。

（一）可视化视域下展现思维的三种利器

数学课堂中的思维发展要以思维的展现作为前提。数学思维的展现如果仅仅凭借教师或学生在日常教学中的灵光一现是不足以为学生提供思维发展的支架和方向的，数学思维的展现需要能贴合实际、有章可循的策略支持。思维可视化就是一种教师可以运用到实际教学中展现学生思维状态的教学方法[4]。

1.画数学，思维的系统展现

画数学是指学生在数学学习的过程中，将复杂的数量关系和概念关系以形象适当的图表形式表示出来的教学方法。画的过程中，学生需要先思考各个概念之间的关系，建立它们的内在联系，然后发挥想象力，用一定的形式将其中的关系表现出来。

例如，在教学五年级上册“多边形面积整理与练习”一课时，学生通过讨论各个图形的面积公式和推导过程，明确各个图形之间的转化关系。在此之前，教师不妨给学生布置一份课前作业，请学生试着用表格或画图的形式整理图形面积计算的知识，通过这两种形式的“画”将学生的思维展现在教师和同学面前。两位学生的作品虽然都选择了表格的形式，但其中所展现的思维是不一样的。左边的作品虽然将图形及其面积公式完整地整理了出来，但是其中缺少右边作品中对概念间关系的体现。右边作品用画箭头的方式表现出了各个图形之间的转化关系，并配上了生动直观的图画（见图2）。一项作业展现了学生的不同数学思维水平。

2.说数学，思维的语言表达

说数学是指学生通过语言表达解决问题的过程和思路、提出和解答疑问、分享学习经验和提出学习建议等行为，其形式包括师生间互动和生生间互动。

以教学一年级上册《有趣的拼搭》的“滚一滚”为例。教师与学生在经历了猜想和实验两个阶段后，紧接着要得出结论。通过实验学生能够很轻松地得出球滚得最快的结论，甚至部分学生能够根据常规思维想到这一结论。如果这一探究过程到此结束，对于学生的数学思维的发展是无益的，学生的数学思维并未得到激发。此时，不妨反问学生一个“为什么”———“为什么球滚得最快呢”。学生此时进行的思考不再是直觉驱动的常规思维，而是对各种立体图形的形状特点和其运动状态关系的思索。有的学生将球和长方体、正方体对比，认为它很圆没有角，有的学生直截了当地表示球是弯的，也有的学生描述了球是怎么滚得快的，而其他形状的球有的很难滑下去。这些学生的想法虽然很天真简单，但是都体现了学生对实验现象的认真思考，教师此时就可以对学生的观点做出肯定。这一过程不仅是学生对思维的表达，同时调动学生的数学思维，避免用常规思维思考数学。

3.做数学，思维的动手表达

做数学是指学生通过动手操作更好地理解数学概念，拓展思维广度，锻炼解决问题的能力。

在一年级下册《十几减8、7》这一课中，学生如何通过操作小棒表征出不同的算法是本节课的核心。教师可以引导学生动手摆一摆、说一说，在动手操作中揭示学生的思维。比如，对于“用小棒摆一摆，和同桌说说你是怎样想的”这一学习任务，有的学生将15根小棒摆在一起，没有将它们分成10根和5根（见图3左）；有的学生在移动小棒时，随意移去小棒；有的学生能够按照“破十减”和“平十减”的方法操作，但不会表达运算过程。第一类学生的操作显示出他们的思维仍然处于常规思维中，并没有将“数的组成”体现在小棒的摆放中；第二类学生也体现了学生思维的非专业性，以常规的角度看待运算过程，并没有将之前学习的几种算法融入思维之中；第三类学生能够以数学思维进行思考，并将所思转化为操作，这是一个思维上的进步，但是不能转化为言语的描述，这种沉默体现了学生在表达想法方面的欠缺，需要教师进一步的培养。

（二）可视化视域下两种思维的改与学

数学思维是由常规思维和理性思维共同组成的，一方面常规思维是学生在日常生活中形成的观念，它通常表现为对事物的感受、猜测和偏见，是非数学化的、具体的；另一方面，理性思维是学生在数学学习中主要运用的思维方式，他表现在对客体的了解、理解和运用，以及对自我的反思，具有形式化、抽象化的特点。

1.暴露常规思维，教学有的放矢

在教学中，常规思维是学生学习的先行者，学生在日常生活中形成的思维方式会使数学教学有所依靠，同时也会产生理性思维和常规思维的矛盾，常规思维具体化的特点通过思维可视化的策略，教师可以使学生的常规思维暴露在课堂中，从而能够给教学以发力点。

以苏教版二年级上册小学数学教材中“认识线段”为例，学生需要按照一定顺序找出所有的线段。学生通常会先将四周的线段连接起来，这时会出现两种情况：一种是学生通过仔细观察，发现中间仍可以连接出两条线段，另外一种情况是学生没能发现中间的两条线段。通过学生的“画”，我们可以思考学生有此错误就是因为常规思维对学生的干扰，学生在日常生活和之前的学习中所见到的图形都是“完整”和“封闭”的图形，并且他们对于点、线和面关系的认识还十分模糊，因此当他们去“按顺序”连接线段时，他们是以封闭的图形作为模型进行认知的（见图4）。如此，学生的常规思维就暴露在我们的面前，教师面对学生的常规思维需要进行引导和优化，这也为思维的发展提供了契机。

2.定向引导加强，改进常规思维

对于常规思维的改进，一方面要消除常规思维对理性思维的掣肘，另一方面，也要强化常规思维中感觉的准确性[5]。

学生在运用常规思维解决数学问题时，会产生一种轻松的感觉，从而放松自己的思维，倾向于不再深入思考。这会为转入理性思维制造困难。因此当学生的常规思维暴露时，教师应及时介入，以问题为媒介，重新激发学生对于问题的深度思考，转入理性思维。比如，在二年级下册练习九中，学生需要思考如何按顺序找到图中的角（见图5），在组织学生独立思考后，学生会用“从大到小”或“从小到大”等词汇表述自己的方法。这样的思维确实能够成功地解决问题，但是学生依然使用的是对角的通常认知进行思考，没有能够将角抽象成“一个顶点和两条边组成的图形”。此时，教师可以向学生提问：“你能够按照边的顺序找一找角吗？请你们想一想。”接着，教师按照从下往上的顺序先找到第一条边，然后提问：“这是从下往上的第一条边，要想组成一个角，你能找到另一条边吗？”学生找到后，追问道：“这条边不变，你能找到第二个角吗？”“这一条边能够组成的角已经找完了，接下来我们应该怎么办呢？”通过教师的提问和追问，学生对于问题的思考不再囿于常规思维，而是转向了理性思维，即对不同方法、不同视角的思考、理解和运用。

感觉是常规思维的重要组成部分，对于数和量的感觉源于学生在日常生活中的观察和行动，是直接经验的积累。但是学生在生活中的经验积累有着特例性、具体性的特点，缺少量化的思想。因此，教师在教学中应立足于学生日常生活中的经验，引导学生将客观属性量化，加强学生感觉的精确性。例如，在五年级下册圆这一单元中，第一课时是教学“圆的认识”，在课堂中可以设计这样的环节：将不同生活中的圆形物品的照片做模糊处理，并且告知学生它的直径，让学生猜测这是生活中的什么物品。学生通过在脑海中的搜寻和想象，得出一个又一个相近的答案，学生在这样的过程中加强了感觉的精确性。

3.学习数学思想，提升数学思维

数学思维的发展不仅依靠于改善常规思维，也要学习如何进行数学思维。数学思维表现为运算能力、推理意识或推理能力，而其中蕴含着多样的思想方法，如：分类、转化、数形结合、归纳等。数学思维的发展需要通过数学活动实现，学习数学思想方法就是数学活动之一。

在五年级下册解决问题策略单元中，在教学例题2计算时，需要借助数形结合的方法，启发学生联系操作过程，想到用更简单的方法进行计算。但是在深入数形结合之前，学生对于本题的计算能够凭借自己原有的运算能力进行通分计算，对于更简单的计算方法和数形结合的思想方法没有直接的动力。因此，教师可以将原有的算式拓展，然后请学生思考：“如此的算式是否也适合使用通分的方法计算？”引导学生思考更简单的方法，此时“数形结合”才显现出其必要性。在学生画图形时，可以给学生提供几种图形进行尝试，比如圆、长方形、线段和正方形，通过学生的操作和比较，学生能够选择出更适合的图形，优化学生的思想方法，最后在学生完整地经历数形结合的过程后，指明这样利用图形将数量关系直观表达出来的思想叫做以形助数，是数形结合的一种。接着，利用想想做做第2题，指明“以数释形”的思想方法，建立起数形结合的完整思想，丰富学生的思维“武器库”。

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022 年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2022：9.

[2] 刘濯源.思维可视化：减负增效的新支点[J].中小学管理，2014（6）.

[3] 郑毓信.数学思维教学的“两阶段理论”[J].数学教育学报，2022（1）.

[4] 张齐华.“思维可视化”视域下小学数学课堂之重建[J]. 江苏教育，2017 （25）.

[5] [美]丹尼尔·卡尼曼.思考，快与慢[M].胡晓姣，译.北京：中信出版社，2012：3-14.

课题项目：江苏省教育科学“十四五”规划2021年度课题“指向核心素养的义务教育阶段数学探究教学设计研究”（D/2021/01/156）

编辑/赵卓然