GeoGebra在线数学实验室
作者： 赖晓晖
在高中数学教学中，经常遇到抽象和缺少实物展示的概念和问题，也经常遇到动态变化的图形，要求研究其中的数量关系。在立体几何教学中，课堂上学生需要实物模型，但空间几何体内的图形变化在实物中通常无法展示，但可通过软件模拟出相关图形，展示几何量的数量关系。如果能动手操作模型，学生在获取知识、理解知识、形成能力、提升素养方面将有更大收获。
本项目以GeoGebra软件为工具制作数学实验课件，在GeoGebra官方网站将数学实验与实验引导、问题链融合，生成活动、课程、绘本，形成GeoGebra在线数学实验室（网址：https：//ggb123.cn/m/hrzspaas）。
设计目的与思路
可视化
GeoGebra软件可以通过构造几何体、计算观测量、设置对象的属性，实现动态图像的可视化、观测量的数据变化可视化、数据的可视化等。将抽象概念可视化、让几何体内部不可见的图形可视化，是GeoGebra数学实验设计的初衷和主要目的之一。
探究化
GeoGebra在线数学实验室遵循建构主义理论，融合现代教学设备，打造智慧教学，学生通过在课堂上动手做数学实验，经历直观感知、操作确认、思辨论证，提升数形结合、空间想象、数据分析、数学建模等关键能力和核心素养，实现个性化教学和探究性学习。
系统化
按照现行高中数学教材的教学内容设计数学实验，形成一套较为完整的数学实验系统，并在在线数学实验室中呈现。目前在线数学实验室实验内容包括函数、三角函数、立体几何、向量与解析几何、统计、分形等。
问题链
使用GeoGebra数学实验需要与问题结合，封闭式问题给出了指向明确的观察方向，而开放性问题能为学生提供广阔的观察视野和思维空间。在线学习中，在网页上提供实验引导和问题链，引导学生自觉地阅读并思考，得到初步结论，然后通过操作在线数学实验，验证或否定原有猜想，进一步观察、思考，提出新的问题。
设计原理
以空间想象能力为例进行说明。在教学实践中，空间想象能力的形成过程一般为：学生观察实物模型，在大脑中形成空间几何体的表象，能用二维图形描述空间几何体；能脱离实物模型，按照语言文字的描述，在大脑中构想空间几何体；能对大脑中建立的表象进行加工或操作以便建构新的表象，得到空间几何体的变化、截面、组合体等。
在目前的教学中，学生能接触到柱体、锥体、台体、球体等基本模型，但是，与各种几何体截面相关的立体实物模型较为少见，能动态变化的立体实物模型基本没有。没有实物模型观察，学生对几何体难以形成表象，更谈不上对表象的操作和形象思维，因此，几何体的截面、动态变化等与几何体相关的空间想象成为教学难点。用几何画板可以作出一些几何体的截面，但是难以作出较为复杂的、动态变化的立体几何模型，且几何图形的直观性、准确性有待提升。
本项目尝试用数学软件GeoGebra创设数学实验，让学生可以动手操作实验，全方位观察空间几何体，观察三维动态图形的变化情况，形成表象；再通过设置问题链，让学生对表象进行重构，并通过GeoGebra数学实验校正和加强新的表象，帮助学生突破空间想象的难点[1]。在解决较为复杂的问题时，教师应帮助学生作出图形，在学生有困难时，应展示复杂问题对应的模型，帮助学生建立新的表象，并与已有表象建立联系。
制作过程
从2017年至今，本项目连续经历了2个市级课题的研究，通过一系列措施保证了实验课件设计与制作质量、问题链设计质量，在课堂教学实践中不断提升课堂教学或在线学习效果。同时，本项目设计了单一课堂教学、单元教学、学年教学3组对比实验，收集相关数据，通过数据分析，验证了GeoGebra数学实验对提升学生数学学习能力的促进作用。
设计
本项目设计了GeoGebra实验课件设计表，在课件制作前由教师填写设计表，在设计表中体现动态变化的元素和关联，能够较为全面地思考实验课件与教学之间的互动。设计表规范了实验课件设计的步骤，同时通过分组交叉审核的方法审核，便于集思广益和发挥团队的作用。精心设计的数学实验操作简便，利于师生快速掌握实验步骤，集中注意力于实验观察与分析猜想。
问题链
在设计GeoGebra数学实验课件的同时，根据教材和教学设计，教师需设计与实验相关的问题链。问题是数学的核心，数学实验可以为解决数学问题而设计，学生循着问题链能解决数学及其应用问题。问题链也可以为学生发现规律而设计，还可以为引导学生提出问题而设计。
制作、试用与修改
制作者可以是设计者，也可以是其他人。按照设计表，在充分思考和交流的前提下，发挥具备不同教学教研能力、不同信息技术应用水平教师的长处，制作出相应的数学实验课件。在充分评估实验课件的应用效果后，课件被用于课堂或校本课程教学中，教师将问题链与课件结合，引导学生动手实验、发现规律、思辨论证。
在线实验
通过课堂实践后，修改问题链和实验课件，再上传到GeoGebra在线数学实验室，进行分类展示。GeoGebra数学实验室的绝大部分课件是为学生动手实验而设计的，通过问题链引导，学生经历直观感知、操作确认、猜想验证，升华到思辨论证，实现教师的个性化教学和学生的创造性学习与表达，促进学生对数学的深度理解，逐渐提升数学核心素养。
教学应用
GeoGebra在线数学实验室的系列实验课件可以用于课堂教学、校本选修课程、在线教学，数学实验以数字化、可视化的方式，帮助学生提升数形结合、空间想象、数据分析、数学建模等关键能力和核心素养。
课堂教学
课堂上教师可以用GeoGebra在线数学实验室的实验作为演示实验，引导学生归纳猜想，完成由具体到抽象的教学过程；也可以由学生使用平板电脑动手完成探究实验，观察参数变化后的模型变化，归纳变化规律，提出猜想，再验证猜想的正确性。学生还可以继续观察模型或改变模型参数、度量新的观测量，发现和探究新的问题。
比如，依据人教A版（2020年版）《数学》教材选择性必修二第70页练习4、人教A版（2004年版）《数学》选修2-2教材第2页问题1“气球膨胀率”，构建1个数学实验：匀速给气球充气，观察气球半径关于体积V或时间t的平均膨胀率、瞬时膨胀率。该模拟实验不仅展示了匀速充气的实验效果，还能通过问题链引导学生从直观感知到图形分析，再到定量刻画。
新冠疫情期间，学生居家学习高中数学的立体几何，没有空间几何体的模型，教师在视频教学中使用的模型也不能按每位学生的需求变换角度观察。但是，在线数学实验室的3D模型和实验，可以全方位变换角度观察，既能观察几何体的内部，也能自主观察3D图像动态变化。学生使用电脑、手机、平板电脑进入GeoGebra在线数学实验室，还可与教师同步做实验，也可在课后继续探究，帮助学生提升空间想象能力，实现个性化学习。
校本课程
在校本课程“GeoGebra数学实验与探究”中，用项目驱动的方式组织教学，学生人数限制为20人，每人1台电脑，每周1课时，总共36课时。在教师引导下，学生可体验创建数学模型、学习制作实验课件，并利用自制实验课件探究数学难题，或借助GeoGebra理解数学难点。学生对校本课程很感兴趣，经常使用GeoGebra创建数学模型，甚至读大学时还使用GeoGebra绘制空间曲面图形。