高中物理中涉及角度运算的解题策略研究

摘   要：在教学中培养学生的抽象思维和逻辑思维，能够使学生深刻地理解物理概念、规律的本质及其内在的联系和物理学中的研究方法。角度运算在平抛运动、带电粒子在圆周运动和光学题例中应用时，教师可通过培养学生敏锐的观察能力，助力学生快速找出题中所给角度和所学模型中的角度关系;帮助学生建立建模意识，构造与所学模型中相关的角度;让学生树立应用数学解决物理问题的意识，积累常用的数学知识等方法有效地解决此类问题。

关键词：高中物理;角度运算;思维方式

中图分类号：G633.7    文献标识码：A    文章编号：1009-010X（2024）11-0057-03

“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，学习犹如领略大自然的风光，从横向或纵向不同角度展开学习研究，常常也能得到“天生一个仙人洞，无限风光在险峰”的感慨。

物理学习的最终目的不是简单地做题、提高成绩，而是让物理走进生活，为学生的终身发展打下基础。学习的过程可以提高学生提炼有用信息的能力，从原有知识中找到吻合信息建模的能力，分析推导排除错误信息得出正确结论的能力，应用数学工具和物理语言解决实际问题的能力等。教师在教学中培养学生的抽象思维和逻辑思维，能够使学生深刻地理解物理概念、规律的本质及其内在的联系，同时也能帮助学生深刻地理解物理学的研究方法。知识的横向联系和纵向联系是训练学生常用的策略，本文旨在从纵向思维的角度出发，打破单元教学的桎梏，从速度偏转角出发，浅谈涉及角度问题时的解题策略。

力学中的平抛和圆周、电场中的抛物线、磁场中的圆弧、光学中的折线等图形画在纸上就是一幅幅漂亮的简笔画，而这在物理的天地里就是一个个角度的关系、一条条边的联系，边角组合、自成方圆。然而在题目中出现角度的时候，学生常常找不到思考方向，无从下手。在不同的问题情境下，找出题中所给的角度与物理模型中的角度之间的关联，是解决角度运算问题的关键。

一、平抛运动中角度运算的思路

在平抛运动模型中，学生能记住速度偏转角和位移偏向角之间的关系是tanαv=2tanβs，但在解决平抛运动中涉及角度运算问题时，总是束手无策，没有头绪。究其原因是，试题往往不会直接给出速度偏转角或位移偏向角。这时应该引导学生看到题中平抛运动所给的角度，联想这个角度和速度偏转角或位移偏向角有没有直接关系，然后进一步分析突破。例如下题：

【例1】如图所示，从倾角为θ的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上，当抛出的速度为v1时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为a1;当抛出速度为v2时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为a2，则（   ）

A.当时v1>v2，a1>a2  B.当时v1>v2，a1a2

C.无论v1、v2关系如何，均有a1=a2

D.无论v1、v2关系如何，均有a1不等于a2

【答案】C

思路点拨：小球在倾角为θ斜面上做平抛运动，看到斜面倾角θ马上联想到这个角度和速度偏转角或位移偏向角有没有直接关系，通过位移分解图，可直观看出平抛运动的位移偏向角为θ，即小球只要落到斜面上，则位移偏向角相等。根据速度偏转角和位移偏向角之间的关系是tanαv=2tanβs，可知速度偏转角也相等。通过画速度分解图，直观看出α是速度偏转角和位移偏向角的差值。即无论v1、v2关系如何，均有α1=α2。故选C。

该解题思路可使学生做题时有章可循，思考时方向明确、条理清楚，训练时事半功倍。

二、带电粒子在圆周运动中角度运算的思路

带电粒子在磁场做匀速圆周运动的模型中，常涉及求算粒子运动最长时间的问题，学生能记住求时间的公式：t=T，其中θ为带电粒子在磁场中运动轨迹所对应的圆心角。学生也理解入射速度与弦的夹角为弦切角α，圆心角等于弦切角的2倍，即θ=2α。末速度与初速度之间的夹角为速度的偏转角β，速度偏向角等于圆心角，θ=β。

在求解这类问题时，学生不容易直接求得最大圆心角，因为这常常需要构造弦切角或速度偏向角，然后根据它们与圆心角的关系，求出最大圆心角，进而求出最长时间。若学生构建了这种思路，其解题难度就可以降低，做题速度得以提高。例如下题：

【例2】一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，ab为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为（   ）

A.   B.   C.   D.

【答案】C

思路点拨：本题是考查求算带电粒子在磁场中运动最长时间的问题，根据公式t=T，可知周期T容易求得且和速度无关，但是运动中的最长轨迹和所对的最大圆心角不容易分析出来，这时应马上转换思路，分析速度偏向角和弦切角，求算最大值。画图可见，带电粒子进入磁场的入射点和射出磁场的出射点的连线，与磁场ab圆弧相切时，弦切角最大，在这种情况下带电粒子在磁场中运动时间一定最长。由图中几何关系可知，最大的弦切角为amax=120°，此时轨迹对应的最大圆心角为θmax=240°，则粒子在磁场中运动的最长时间为tmax=T=×=。故选C。

可见，在求解粒子运动的最长时间的问题中，构造与圆心角相关的角度是解题的关键。

三、光学角度运算的思路

光学中有很多玻璃砖，三角形的、半圆形的、矩形的等形状各异，光线在其中发生一系列的发射、折射或全反射，然后射出，形成一副唯美的画卷，在这里也有很多角度的问题。

解决此类问题的思路是：应用几何知识来解决物理问题。学生往往容易把数学和物理分开来理解，所以一旦当物理中用到了数学知识就蒙圈了，但如果把这些知识放到数学中，问题会迎刃而解。学生不是不会这类问题，而是没有树立应用数学解决物理问题的意识。例如下题：

【例3】（2023年1月浙江省普通高校招生选考科目考试13题）如图所示为一斜边镀银的等腰直角棱镜的截面图。一细黄光束从直角边AB以角度入射θ，依次经AC和BC两次反射，从直角边AC出射。出射光线相对于入射光线偏转了α角，则α（   ）

A.等于90°  B.大于90°

C.小于90°  D.无法确定

【答案】A

设各角度如图，在AB边折射角为θ1，在AC边入射光与AC夹角为θ2，在BC边入射角为θ3，在AC边入射角为θ4，由角度关系可以分析如下。

在图中，速度偏转角不易直接找到，但是入射光逆时针转过（90°-θ）就与BA边重合，出射光逆时针转过（90°-α）就与CA边重合，又θ=α，两者逆时针转过的角度一样，又BA与CA垂直，故速度偏转角为90°。故选A。

此题所求的角度比较复杂，在物理题中要用的数学知识较多，需要通过一定的推导才能求出结果，部分学生望而生畏，没有进行细致地分析就举手投降了。但当他明白可以用数学知识去解决后，就会敢于挑战，乐于挑战。

通过分析以上三道例题可以看出，要想很好地解决角度运算问题，首先，要有敏锐的观察能力，能够快速找到题中所给角度和所学模型中的角度关系。其次，要有建模意识，善于构造与所学模型中相关的角度。第三，还要有应用数学解决物理问题的意识，多积累常用的数学知识。比如两直线平行、同位角相等、内错角相等、同旁内角互补;比如三角形的内角和是180°、四边形的内角和是360°;再比如一个角的两个边和另一个角的两个边垂直，则这两个角相等或互补等。

【本文系石家庄市教育科学“十四五”规划2023年度专项课题“‘双减’背景下高中物理教材插图在课堂教学中的应用研究”（课题编号：Z2023021）研究成果。】