留白呈现变式题组专题教学走向开放
作者： 于春华
摘 要：在观摩“含参不等式组整数解”微专题教学之后，针对课堂氛围的沉闷与问题的封闭式呈现等不足，给出其教学再设计，突出了“一境多用”、变式教学、留白呈现、开放教学、让思维可视化等教学立意。
关键词：初中数学；含参不等式；微专题教学；一境多用；留白开放
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2024）26-0031-03
在一次教研活动中听了一节七年级专题课，专题讲评“含参数的不等式（组）的整数解问题”，执教教师具有一定的教学经验。整节课体现了一定的设计感，紧扣主题，层层递进，变式拓展，但是从课堂表现来看，氛围比较沉闷，多数学生的学习效果不太理想。本着“同课异构”的教学研讨追求，本文先呈现该课的主要教学活动及听课随感，再给出该课的教学再设计，供同行进一步研究。
一、“含参不等式（组）整数解”专题教学概述
（一）回顾旧知，引入新知
1.若关于x的不等式ax>1（a>0），则该不等式的解集是？
2.若关于x的不等式（a+1）x>a+1的解集为x<1，则a的取值范围是？
3.求不等式ax+b>0 （a>0）的解集。
教学概述：3道习题引导学生复习回顾了“含参”的不等式解法及依据，目的是引导学生初步感知“含参”不等式问题的解题方法。但这个复习旧知的内容对于后续教学的铺垫作用不是很明显，可以删减。
（二）合作探究，建构新知
问题1 不等式x<4的正整数解是？
教学概述：教师组织学生画出数轴，并在数轴上找出符合要求的正整数解。
例1 若关于x的不等式2x-a<1有3个正整数解，求a的取值范围。
教学概述：教师先让学生解出不等式的解集x<（a+1），然后借助数轴分析代数式（a+1）的取值范围。观课发现，学生明显感觉有困难，教师讲授示范，先得到3<（a+1）<4，进一步追问学生有一处边界能否“取等号”，经过辨析师生共同得出3<（a+1）≤4，解得5<a≤7.
例2 若关于x的不等式组2x-a>1
x<2有2个整数解，求a的取值范围。
教学概述：虽然有了例1的铺垫，但是学生面对例2，仍然表现出困难，课堂氛围比较沉闷，教师只好继续讲授、示范，先解出不等式组的两个不等式的解集，然后在数轴上分别表示，直至分析出-1≤（a+1）<0，之后再让学生解出a的取值范围-3≤a<-1.本例解题过程中的难点（比如怎么分析出两处临界值-1和0，为什么在-1处“取等”），教师讲授过程“一气呵成”，难点在学生齐答声中“快速滑过”。
（三）当堂反馈
教学概述：选了两道求含参的不等式组整数解的中考题（略去）。笔者观察到教室中后排的一些学生基本没有动笔，“坐等”教师安排讲评、记录解答过程。
（四）课堂小结
教师组织学生谈谈本节课的收获有哪些？（由于这类课堂小结过于空泛、指向不明，教师请了两个学生交流，学生也多是泛泛而谈，这里略去）。随后布置了某教辅资料上的一页作业。
听课简评：整节课的课堂氛围较沉闷。究其原因，一方面本课研究的专题有一定的难度；另一方面，教师虽然对所选例习题根据由易到难的顺序进行编排，但是对于难点的突破、关键步骤的铺垫与启发，在课前仍然没有做出充分的预设。以下笔者给出教学再设计，希望能在本专题教学的难点辨析和关键步骤的揭示上有所突破。
二、“含参不等式（组）整数解”专题教学再设计
（一）复习回顾，铺垫问题
问题1 解不等式x-3<1，并在数轴上表示解集，再标注该不等式的正整数解。
问题2 解不等式组x-3<1
x>0，并在数轴上表示解集，再标注该不等式组的整数解。
设计意图：从两个基础问题出发，让学生练习之后并对比，这两个问题有什么联系？看出两个问题都需要在数轴上标注出正整数1，2，3，它们之间具有一致性，只是设问方式的不同而已。
（二）自主提问，变式思考
问题1变式：当x< 时，满足的正整数解有且只有1，2，3？（填一个符合要求的实数）
设计意图：把上面的“问题1”逆向设问，让学生补出一个符合要求的实数a，这是一道开放式问题，学生可以填补的实数a有无数个，但它们都在一个范围内，引导学生分析出a的取值范围3<a≤4.接着给出一组改编后的“含参”不等式整数解问题。
改编题1：当不等式x<a，满足的正整数解有且只有1，2，3时，则a的取值范围是 .
改编题2：若不等式x-a<1，有且只有
个正整数解，则a的取值范围是 .
设计意图：“改编题1”与“问题1变式”本质上一致，学生可直接看出答案。“改编题2”以开放题的形式呈现，让学生参与设计问题，巩固同类问题的解题方法。教学时要让学生上台讲解，引导学生结合数轴、数形结合分析，充分展开解题过程，在“拉长过程”中让更多的学生掌握解题方法。随后，继续安排一道“变式再练”题，巩固学习效果。
变式再练：若不等式2x-a>1，有且只有
个负整数解，则a的取值范围是 .
问题2变式：若不等式组x-a<1
x>0，有且只有 个整数解，则a的取值范围是 .
设计意图：对开课阶段的“问题2”进行变式，增加“含参”元素，并且继续以“结构不良”的设问方式呈现给学生。让学生参与补全条件，并借助数轴、数形结合分析求解。对于班级优秀学生来说，已可自主模仿之前的解题方法，这时教师不必直接讲授或过多干预，而应该让优秀学生上台讲解这道题如何解决，教师可以通过必要的追问、暴露他们的思维过程，让基础一般的学生学习体会并模仿解法。在多数学生都学会解法之后，继续安排以下两道改编题，巩固学习效果。
改编题1：若不等式组2x-a>1
x<0，有且只有
个整数解，则a的取值范围是 .
改编题2：若不等式组2x-a>1
x≤1，有且只有
个整数解，则a的取值范围是 .
设计意图：由于这两道题的条件开放，教学讲评时可以分组研究，选两个小组分别汇报展示即可。另外，这两道“改编题”的关键在于组织学生辨析参数a的取值范围中两个边界值该如何“取等”。
（三）巩固再练，当堂反馈
反馈题：若关于x的不等式组2x+3>12
x-a≤0恰有3个整数解，则实数a的取值范围是 .
设计意图：这是一道中考题，组织学生先独立练习，然后集中讲评时要追问学生是如何理解这道试题中的“恰有3个整数解”（让学生想清这与本课中出现的“有且只有”是同一意思）。
（四）课堂小结
小结问题1：本课主要学习了“含参”不等式（组）的整数解问题，你觉得这类问题的解题关键是什么？可举例说说。
小结问题2：本课最后练习的一道“反馈题”是一道中考较难题，很多同学都成功解决了。你今后再遇到这类中考较难题时，你积累了哪些解法经验？
设计意图：“小结问题1”主要是让学生梳理解题经验；“小结问题2”主要是让七年级学生对中考较难题不要有畏难情绪，只要认真分析题意，将问题的包装逐一剥离，暴露出问题的关键，然后调用已学的数学概念、性质或方法，往往就能顺利解决。
三、关于微专题教学的几点思考
（一）选编变式题组，体现“一境多用”
江苏省中小学教研室中学数学教研员李善良教授在《高中数学课程改革：探索与实践》一书中特别提出要“注重一境多用，让学生形成整体的认识，防止出现一个内容一个情境、情境遍地开花的现象。”上文在专题教学的再设计中突出体现了“一境多用”，整节课的教学内容围绕开课阶段“问题1”“问题2”的改编、变式与拓展，并且以变式题组的方式呈现，让学生感悟出同类习题之间的关联，避免刷题式学习。
（二）预设留白问题，追求开放教学
《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求“重视设计合理问题”，并指出“问题提出应引发学生认知冲突，激发学生学习动机，促进学生积极探究。”对比可见，上文课例中专题教学的“再设计”，主要就是将听课中一些习题、题组进行留白呈现，引导学生参与设计、分组交流、大组展示，使得课堂教学从封闭走向开放，原先课堂上的比较沉闷的现状有望得到改善。
（三）重视数形结合，让思维可视化
北京市中学数学特级教师张鹤老师发文指出：“思维是可以教的”，并认为“学生思维水平的提高，就在于教师在帮助学生在知识学习的过程中掌握理解数学问题的思维特征和解决数学问题的思维规律”。在上文关注的微专题教学过程中，需要突出数形结合的分析方法，让不同的学生上台演示如何借助数轴分析参数的取值范围（包括两个边界值的确定、“取等”的辨析）。当然，重视数形结合的分析方法，也是让思维可视化的教学追求。