定理教学解读 专题探究设计

关键词：初中数学；斜中半定理图形微设计应用

中图分类号：G633.6   文献标识码：B    文章编号：1009-010X（2024）35-0057-03

一、定理教学解读

“斜中半”定理是初中数学八年级下册的知识内容，是直角三角形性质的深入研究，学生已初步掌握了全等三角形和中线性质等知识，对于后续构建几何模型，开展几何分析推理具有极大的帮助，也是提升学生解题能力，树立模型意识的关键。“斜中半”定理及其证明过程，涉及到了直角三角形、全等三角形、三角形中线等性质，教学探究中需要解读定理内容，重点构建证明过程，精设教学环节。

二、教学环节设计

“斜中半”定理的教学建议设置四个环节来指导，包括引例分析、定理构建、定理应用、逆向拓展。各环节教学时可围绕其核心内容来设置问题，引导学生思考，下面开展教环节探究。

（一）引例呈现，初步感知

引例：如图1所示，在四边形ABCD中，∠BCD=∠BAD=90°，AC，BD相交于点E，点G，H分别是AC，BD的中点，若∠BEC=80°，那么∠GHE等于多少？

解析：作图，连接AH，CH，如图1的虚线所示。

已知在四边形ABCD中，∠BCD=∠BAD=90°，H是BD的中点，可得AH=CH=BD。

又知点G是AC的中点，所以HG是线段AC的垂直平分线，则∠EGH=90°。而∠BEC=80°，则∠GEH=∠BEC=80°，所以∠GHE=90°-80°=10°。

教学预设：教学中引导学生关注解析过程，注意结论“AH=CH=BD”的推理过程。设置如下问题：

问题1：该结论是如何得出的？是否与∠BCD=∠BAD=90°及点H是BD的中点相关？

问题2：若上述两个条件任意其一缺失，是否还可以得出同样的结论？

教学引导：利用上述两个问题，引导学生初步生成如下“条件”与“结论”的对应关系。

条件：①∠BCD=90°，②点H是BD的中点；结论：CH=BD。

条件：①∠BAD=90°，②点H是BD的中点；结论：AH=BD。

（二）定理构建，证明生成

上述环节引导学生初步感知“斜中半”定理，学生对其已经有了一定的了解，该环节则需要完整的呈现定理，并指导学生进行证明，使学生充分理解。

1.定理呈现

斜中半定理：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

几何语言：如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC的中线，则AD=BC。

教学引导：教学中引导学生掌握文字和几何两种语言关于该定理的描述，需要借助几何图形让学生直观理解，同时基于图形构建AD=BD=DC=BC。

2.定理证明

完成定理构建后，需要进一步引导学生加以证明，充分理解定义，明晰定理的合理性。证明的基本思路为：构造全等三角形，利用全等性质来推导。

证明：以图2的图形结构为例证明，延长AD到E，使DE=AD，连接CE，如图3所示。

因为AD是斜边BC的中线，则BD=CD。结合∠ADB=∠EDC，AD=DE，可证明△ADB≌△EDC（SAS）。由全等性质可得AB=CE，∠B=∠DCE，所以有AB∥CE，∠BAC+∠ACE=180°。

而∠BAC=90°，则∠ACE=90°。因为AB=CE，∠BAC=∠ECA=90°，AC=CA，可证明△ABC≌△CEA（SAS），则BC=EA。因为AE=2AD，BC=2AD。

教学引导：教学中借助具体图形来引导学生证明“斜中半”定理，即构建“Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC的中线”与“AD=BC”的推理关系。

整个证明过程需要引导学生注意两点：一是关注作辅助线的过程，核心目标为构建全等三角形；二是关注证明的推理过程，按照“已知条件→提取模型→推理条件→得出结论”的思路来分析构建。同时证明过程注意数形结合，充分利用图形的直观性。

（三）定理应用，知识强化

“斜中半”定理在几何问题中有着广泛的应用，教学探究中有必要引导学生开展应用探究，利用定理求解实际问题。

问题1：如图4所示，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠ACB=30°，D是AB上一点（不与A、B重合），DE⊥BC于E，若P是CD的中点，请判断△PAE的形状，并说明理由。

解析：利用“斜中半”定理，在Rt△CAD中，∠CAD=90°，P是斜边CD的中点，则PA=PC=CD，可得∠ACD=∠PAC，从而有∠APD=∠ACD+∠PAC=2∠ACD。

同理：在Rt△CED中，PE=PC=CD，∠DPE=2∠DCB，所以PA=PE，即△PAE是等腰三角形。

从而有∠APE=2∠ACB=2×30°=60°，则△PAE是等边三角形。

教学引导：上述判断三角形的形状，核心方法是利用直角三角形的“斜中半”定理，教学引导中，让学生充分分析已知条件，判断是否满足使用条件，再开展解析推理。该定理有两个基础条件，缺一不可，教学中可引导设问，让学生充分思考。

（四）逆向拓展，完善定理

“斜中半”的逆向构建依然成立，即“斜中半”逆定理。教学中需要对其进行逆向拓展，完善定理，指导学生灵活使用。同样分为两个部分：一是逆定理内容解读；二是结合实例强化应用。

1.逆定理解读

定理：如图5所示，CD是△ABC的中线，CD=AB。则△ABC为直角三角形。

拆解：条件——CD是△ABC的中线，CD=AB；结论——△ABC为直角三角形。

教学预设：对于该定理的证明，核心思路是角度推导，在三角形中利用内角性质、等角代换来完成。

CD是△ABC的中线，推得AD=BD=AB。而CD=AB，则AD=CD=BD，从而有∠A=∠ACD，∠B=∠DCB。

在△ABC中，由内角性质可得∠A+∠B+∠ACD+∠DCB=180°，则∠A+∠B+∠A+∠B=180°，可得∠A+∠B=90°，则∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°，可证△ABC为直角三角形。

2.逆定理应用

问题2：如图6，在△ABC中，点D是边AB上的中点，连接CD，将△BCD沿着CD翻折，得到△ECD，CE与AB交于点F，连接AE。若AB=6，CD=4，AE=2，则点C到AB的距离为？

教学预设：本题目需要指导学生利用“斜中半”逆定理来分析推理，整个过程必须严格按照定理的使用要求，满足条件再推导。

作图：连接BE，延长CD交BE于点G，作CH⊥AB于点H，如图6的虚线所示所示。

折叠特性推理：由折叠的性质可得：BD=DE，CB=CE，则CG为BE的中垂线，故BG=BE。

中点特性推理：D为AB中点，则BD=AD，

S△CBD=S△CAD，AD=DE。

“斜中半”逆定理使用：AD=DE=BD=AB，可推得∠BEA=90°。

线段长求解：在Rt△BEA中，由勾股定理可得BE=4，则BG=2。

因为S△ABC=2S△BDC，则2×CD·BG=AB·CH，可解得CH=。

教学引导：逆定理的构建中同样借助图形，让学生明晰其中的条件与结论。应用强化解析时，引导学生关注其推理过程，明晰每一步的核心目标，特别注意逆定理的推理构建，形成“条件”与“结论”的对应关系。

三、写在最后

“斜中半”作为初中几何的重要知识定理，其教学环节设计具有一定的代表性，上述所探究的探究方法同样适用于其他知识定理教学。教师要围绕定理深入解读，结合实例强化应用，帮助学生掌握定理应用的方法。