谈高中数学分类讨论

分类讨论思想与方法在学生学习与人们日常生活中随处可见，它也贯穿于整个高中数学教与学过程，从第一章节的集合，一直到最后的摡率与统计，每一处知识点与应用题目都有分类讨论的身影，学生们通过知识的学习、教师对典例的讲解和大量题目的实践练习，都积累了很多的解题经验与技巧，但对于绝大多数学生来说，还没有把握解决分类讨论题目，常在问题入手突破、具体分类实施、收尾总结等环节出现错误，原因在于对分类讨论的意义、标准、原则、架构等还没有清晰的认识。

一.理论体系

1.分类讨论思想与转化思想、方程思想、数形结合思想合称为数学四大思想。分类讨论思想是把所研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，即按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想。

2.分类讨论法是一种不得己而为之的方法，是一种被动解决问题的行为。处理问题时，不能用其他方法整体解决，只能化整为零，各个击破，归类处理。

3.分类讨论原则：不重不漏，即分出的各类情况不能出现重复，也不能出现遗漏情况。

4.解答分类讨论问题时的基本步骤是：先要确定讨论对象及要讨论对象全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，原则是标准统一、不重不漏；再次对所分类分别进行研究，获取每一类的结论，可能对有的类还需进一步分类讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后归纳小结，得出结论.注意分类时要统一标准。

二.实例辩析

例一已知二次函数f（x）＝x2+2x+3，当xϵ[t，t+1]时，求f（x）的最小值g（t）.

错解：由f（x）=x2-2x+3=（x-1）2+2，xϵ[t，t+1]，

知函数的对称轴为直线x=1，

所以当t≤1≤t+1，即0≤t≤1时，g（t）=f（1）=2;

当t+1<1，即t<0时，f（x）在[t，t+1]上是减函数，

所以g（t）=f（t+1）=t2+2.

当t>1时，f（x）在[t，t+1]上是增函数，所以

g（t）=f（t）=t2-2t+3.

综上可得g（t）=

错因：分类标准不清楚，应以单调性为标准分3类，

当t≥1时，f（x）在[t，t+1]上是增函数，

当t≤0时，f（x）在[t，t+1]上是减函数，

当0<t<1时，f（x）在[t，t+1]上不是单调函数。

正确结果应为g（x）=

例二已知函数f（x）=|x-3|+|x+1|，作函数f（x）的图像。

分析：f（x）是分段函数，所以按其零点分区间去掉两个绝对值来分类讨论

解：当x≤-1时， f（x）=3-x-x-1=-2x+2;

当-1<x≤3时，f（x）=3-x+x+1=4;

当x>3时，f（x）=x-3+x+1=2

即f（x）=          （图像略）

例三 设xϵR，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数.

例如：[-5.1]=-6，[π]=3.巳知函数 f（x）=，则函数y=[f（x）]的值可能为_________。

解析：要求[f（x）]的可能值，先要弄清f（x）的值域，

当x=0时，f（x）=0；当x≠0时，f（x）=

∵ϵ（-∞ ，-2]U[2，+∞）∴f（x）ϵ[-，0）U（0，].

综上，得f（x）ϵ[-，].

当f（x）ϵ[-，0）时，[f（x）]=-1；当f（x）ϵ[0，]时，[f（x）]=0.

所以填空为 -1或0.