基本不等式的10种题型解法分析
作者： 严慧健 王妍辉
基本不等式可以作为不等式论的基本定理，它成为 支撑其他许多非常重要结果的基石，同时也是解决许多最值问题的有力工具。近几年高考题中也经常出现利用基本不等式解题的题目，富有趣味性和挑战性，为国家选拔人才起了一定的作用。在生活实践中，为了解决一些最优问题，经常会用到基本不等式，从而简化程序，达到选择最佳方案解决问题。下面我们来介绍十种常见的解题方法：
01、直接法
【分析】：设a＞0，b>0，则a，b的算术平均数为a＋b2，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：a＋b2 ab，即两个正数的算术平均数不小于几何平均数。
例题1、若a、b都是整数，则 的最小值为。
[解析]原式= ，当且仅当 时，即b=2a时，取“=”
02、配凑法
【分析】：加上一个数或减去一个数使和（积）为定值，然后利用基本不等式求解；
1、通过凑项、拆项、变系数等方式凑成和为定值或积为定值的形式；
2、注意验证取得的条件。
例2、设0<x<32，则函数y＝4x（3－2x）的最大值为（ ）
A.94B．4 C.92D．9
[解析] y＝4x（3－2x）＝2·2x·（3－2x）≤2·（2x＋3－2x2）2＝92.
当且仅当2x＝3－2x，即x＝34时取等号，∴当x＝34时，ymax＝92.
03、乘“1”法
【分析】：乘“1”法是指凑出1，利用乘“1”后值不变的性质，通过变形后达到运用不等式的条件，即积为定值。
主要解决形如“x+y=t，求 得最值”问题，先将 转化为 ，再利用基本不等式求最值。
例3、已知a>0，b>0，且a＋b＝2，则2a＋12b的最小值是（ ）
A．1 B．2 C.94D.92
[解析]： 因为a>0，b>0，且a＋b＝2，所以a＋b2＝1，
所以2a＋12b＝12（a＋b）（2a＋12b）＝12（2ba＋a2b＋52）
≥12×（2＋52）＝94，当且仅当a＝43，b＝23时，等号成立．
04、其他代换
【分析】：通过“1”的代换，把求解的目标化为可以利用基本不等式来求最值的式子，达到解题目的。
例4、已知实数x>0，y>0，且满足x+y=1，则 的最小值为
[解析]： = =2+ ≥2+2 =2+2 ，当且仅当 时，即x= y=2- 时，取“=”
05、同除法
【分析】：两边同除以一个式子，再利用乘“1”法通过变形后达到运用基本不等式来解题。
例5、已知a>0，b>0，且a＋2b＝3ab，则ab的最小值
[解析]：左右两边同除以ab，得
所以
当且仅当 ， 即 时，取“=”
06、和积互消
【分析】：和利用一次基本不等式，从而出现平方，再利用一元二次不等式达到解题目的。
例6：已知x、y都是正数，且满足x+2y+xy=30，则xy的最大值为
[解析]：因为 ，所以 ，
令 则
即 ，因为t>0，所以 所以
当xy=18时，又x=2y，所以x=6，y=3
因此当x=6，y=3时，xy取最大值18.
07、构造分母
【分析】：根据所求式子的结构特点，利用待定系数法把已知用所求式子的分母表示，在进行字母代换来简化，再利用基本不等式解题。
例7、已知正实数x、y满足4x+3y=4，则 的最小值为
[解析]：由4x+3y=4得2（2x+1）+（3y+2）=8
令a=2x+1，b=3y+2，可得2a+b=8
原式
=
当且仅当 时，取“=”
08、分离分子型
【分析】：根据分子及分母的特点，对分子进行变形，从而出现积为定值，最后利用基本不等式解题。
例8、若4x>y>0，则 的最小值为
[解析]：原式
当且仅当3y=4x时取“=”
09、消元法
【分析】：当所求最值的代数式中的变量计较多事，通常利用已知条件消除部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，再利用基本不等式解题。
例9、若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最
小值是____________．
[解析]： 因为正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，所以y＝1－x26x.由x>0，y>0，即x>0，1－x26x>0，解得0<x<1.所以x＋2y＝x＋1－x23x＝2x3＋13x≥22x3·13x＝223，当且仅当2x3＝13x，即x＝22，y＝212时取等号．故x＋2y的最小值为223.
10、同乘方程型
【分析】：根据已知条件两边同乘以所求的式子，转化为一元二次不等式求解。
例10、已知为xy正数，且 ，则 的最大值为
[解析]： ，同乘 得：
所以
又
上式可化为
解得