指向深度学习的初中数学单元作业设计
作者： 甘磊 高灵敏
［摘要］作业是教学过程的重要环节.“双减”背景下，随着学校教育教学改革的顺利推行，作业的改革与创新具有举足轻重的作用. 作业设计应以深度学习为导向，分层次、多维度地促进学生核心素养的发展. 文章以“勾股定理”的单元作业设计为例进行了探究.
［ 关键词 ］深度学习；作业设计；勾股定理；核心素养
设计缘起
研究表明，越来越多的教育教学研究者在“深度学习可以促进学生核心素养发展”这一观点上达成共识，并且开始关注如何在数学课堂中落实深度学习，从而促进学生核心素养的发展.《义务教育数学课程标准（2022 年版） 》（以下简称“新课标”） 明确指出，核心素养具有整体性、一致性和阶段性［1］ 7.基于此，教师要把握教学内容，开展以单元为单位的整体教学设计，以助力学生的深度学习.就目前已有研究来看，关注作业设计如何助力深度学习的研究相对较少，而聚焦课堂教学其他环节的理论研究则比较多.作业作为链接课程、教学与评价的重要环节，是教学活动的补充和延续［2］ .合理的作业设计是学生进行深度学习的重要途径.鉴于此，笔者结合多年一线教育教学实践，尝试从数学作业设计这一环节入手，以“勾股定理”的单元作业设计为例，探究指向深度学习的作业设计途径， 旨在助力学生核心素养的发展.
教材分析
1. 单元目标分析经历勾股定理的探索过程，培养合情推理能力，体会数形结合思想；能用勾股定理求直角三角形的未知边长；能应用已有的数学知识验证勾股定理；经历用多种拼图方法验证勾股定理的过程，培养有条理思考与表达能力，从中感受勾股定理的文化价值［3］ .
2. 单元内容分析
本章起始课以方格为背景，通过学生自主观察、合作探究、转化等思维活动，引导学生猜想结论.随后，运用“割”“补”法进行面积计算，数形结合，验证猜想，从而证明猜想的正确性，合理地得出勾股定理.通过介绍《周髀算经》中的“勾三股四弦五”、2002年国际数学家大会的会标“弦图”，渗透爱国主义教育，培养学生的爱国情怀.数学实验部分，利用4张完全一样的直角三角形纸片，通过不同方法计算图形面积，再次验证勾股定理的正确性. 第二节利用情境“在△ABC 中a2+b2 = c2，△ABC 是否为直角三角形？”验证勾股定理逆定理的正确性.第三节通过两个情境，感受数学的转化思想，并在潜移默化中体会勾股定理的文化价值，增强应用意识.
3. 学生学情分析
学生的身心发展具有个别差异性，所以在设计指向深度学习的作业时应考虑学生的具体情况.从学生已有的知识储备来看，虽然他们对于勾股定理并不熟悉，但在小学阶段已接触过用“割”“补”法求面积.因此，对于勾股定理网格中的面积求证法，教师只须稍加提示，学生便能轻松掌握. 在探究求证过程中，教师应鼓励学生合作探究；在体验新知形成的过程中，让学生切身感受到勾股定理存在的必要性和合理性.
单元作业设计的整体思路“双减”背景下，为了更好地促进深度学习，作业设计不仅要在难度上体现层次性，而且要在内容上体现递进性.通过递进式呈现作业内容可以满足学生不断挑战作业难度的需求，确保不同层次的学生在面对不同难度的作业挑战时都能获得不同程度的满足感与成就感.根据喻平教授的作业类型划分［4］，在设计单元作业时每一课时的作业都应进行分层设计，即每一课时的作业都应包含“基础性作业”“综合性作业”“素养提升性作业”三个层次.基础性作业面向全体学生，体现了新课标中的“使得人人都能获得良好的数学教育”［1］ 2理念；综合性作业面向大多数学生，注重培养学生的个性化解决能力和灵活应用能力，体现了新课标中的“不同的人在数学上得到不同的发展”［1］ 2理念；素养提升性作业面向少部分学有余力的学生，旨在激发他们的思维灵活性及深刻性.下面，笔者以“勾股定理”为例，探讨如何利用作业设计来助力学生的深度学习.
单元作业设计案例呈现
1. 夯实基础性作业
作业是教学过程的重要环节，其首要功能是巩固新知.在选取与设计作业内容时，要关注学生的认知水平.只有设置合理比例的基础性作业，筑牢浅层学习的基础，才能为深层学习打好基础.此外，合理的基础性作业可大大增强学生学习数学的信心，提高他们的学习兴趣.
设计意图 “勾股定理”一章内容较少，只有三节，包括勾股定理、勾股定理的逆定理、勾股定理的简单应用.作业1第（1） 题是勾股定理的直接应用，题目设定在直角三角形中已知两边求第三边，可直接利用勾股定理求出斜边，再利用矩形面积公式求出答案.本题的设计也是对章节起始课引入面积法的一种回应.第（2） 题则是对勾股数这一概念的考查，也是对勾股定理逆定理的巩固.满足勾股数的条件，首先三个数都是正整数.第（3）题、第（4）题是针对勾股定理逆定理的设计，第（3）题先判断“形”，再计算“积”，解答此题的关键是先由三边之间的关系确定三角形为直角三角形，再明确直角边，利用三角形面积公式去求解；第（4）题是由“积”之间的关系判断“形”.这两题的设计不仅考查了学生对勾股定理逆定理的理解，还培养了学生的几何直观与运算能力.第（5）题由“数”到“形”，是勾股定理逆定理的直接应用，主要考查学生的运算能力.特别是第①数组，学生往往容易与第③数组、第④数组混淆.作业1以基础知识为主，重在筑牢浅层学习的基础，为学生的深度学习打好基础.
2. 精选综合性作业
深度学习是在理解基础上的学习， 而数学理解的基础是数学应用［5］ .作业的选取，要关注学生的个性发展.精选综合性作业，可以巩固学生对新知的应用能力，有效发展学生的数学思维，提升学生的数学学习能力，进一步促进学生的深度学习.
【作业2】
（1）如图3， △ABC中， AB =AC=13，BC=10，BD是△ABC的高，求BD 的长.
（2）如图4，长方形纸片ABCD中， AB=12， BC=5， 点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A´处，求AE的长.
（3）如图5，Rt△ABC中，∠C =90°， AD平分∠BAC， CD=1.5，BD =2.5，求AB的长.
设计意图 作业2中的3道题，在“勾股定理”一章中属于中档综合题，并且是最近几年常考的题型.第（1）题是方程思想在几何题中的应用，要求的量BD是解题的“ 桥梁”，是Rt△ABD，Rt△CDB 的公共直角边.这种情况下，一般不直接设元，而应设间接未知数，设AD 或CD，然后，利用勾股定理求出AD或CD的值，再二次利用勾股定理求出BD的长.第（2）题是勾股定理中最常见的折叠类问题，解决折叠类问题的关键在于厘清折叠前后的对应边和对应角（即相等的边、角）.本题中，由折叠可知AE = A´E，AD = A´D=BC=5.可采用设元法，设AE = A´E =x，在Rt△A´BE 中求解.第（3） 题图形看似简单，实则综合性较强.这道题综合了角平分线性质、全等、方程以及勾股定理等多个知识点，教师需引导学生回顾角平分线性质，转移CD.学生自然联想到过点D 作DE⊥AB，利用勾股定理在Rt△BDE 中求出BE的值. 接着，利用全等证AC=AE，设AC= AE = x，二次利用勾股定理在Rt△ABC中列方程求出AE的值，进而得出结论.作业2设计的3道题综合性较强，题目的设置由浅入深，层层递进，因此解题方法并非无迹可寻，而是重在过程性引导.通过引导，帮助学生厘清解题思路，探究解题过程，从而培养学生应用勾股定理解决问题的能力.归根到底，数学知识的学习，重在培养适应学生发展所需的核心素养，发展学生应用数学知识发现问题、分析问题、解决问题的能力.
3. 注重创新性作业
新课标倡导创新导向，因此作业的选取应紧跟新课标要求，凸显学生的主体地位，同时关注学生个性化、多样化的学习及发展要求.在选取素养提升性作业时应注重知识的衔接和过渡，确保学生能从浅层学习自然过渡到深度学习，避免作业难度过大导致学生无从下手.必要时，可设置前置性作业.
【作业3】
勾股定理神秘而美丽，古今中外出现了多种多样的证法.教材介绍了美国第20任总统加菲尔德的证明方法，简称“总统证法”；我国数学家赵爽利用“赵爽弦图”证明了勾股定理.上述证法各有千秋，值得我们借鉴和学习，其中“面积法”运用得比较多.下面，请利用面积法，借助图6、图7，完成勾股定理的证明过程.
（1） 如图6，将两个全等直角三角形按图示方法摆放，其中∠DAB =90°，求证：a2+b2 =c2.
（2） 如图7，若将两个全等直角三角形按图示方法摆放， 其中∠DAB = 90°，求证：a2+ b2=c2.
设计意图 勾股定理具有悠久的历史，古今中外出现了很多种证法.作业3解题难度较大，可设置前置性作业
作为铺垫.上课伊始，教师可出示总统证法和赵爽弦图的拼图，介绍总统证法和赵爽证法.经典证法的回顾，可使学生在探究过程中与古人和同伴发生思维碰撞，深刻感悟数学领域面积法的精妙之处，体会勾股定理的证明过程.在继承中创新，在创新中发展学生的核心素养，推进学习的深度与广度，真正实现深度学习.
思考与感悟
以上案例表明，指向深度学习的单元作业设计可有效促进学生核心素养的发展，大大提高作业质量.作业质量的提高是“双减”工作的重要保障.为了更有效地推进深度学习，作业设计需注意以下几点：
1. 时刻关注学生学习中的生成性变化
教学过程是一个生成性过程，同理，作业完成过程亦是一个生成性过程.在作业探究过程中，通过题设的变化以及点、线元素的增减，可生成新的问题和新的几何图形.在解决这些新问题的过程中，学生会不断地进行新的思考.在勾股定理的单元作业设计中，教师既要关注学生探究规律的过程，又要关注学生思维的发展变化.教师应及时调整作业内容，使作业设计更加符合学生的思维发展规律，更好地助力学生实现深度学习.
2. 关注浅层学习与深度学习的自然衔接
单元作业内容的选取应紧扣章节核心，无论是小到每一道题的每一小问，还是大到一个课时乃至一个单元的作业设计，都要遵循由浅入深、层层递进的原则，确保知识的衔接性与系统性.同一单元的不同课时存在千丝万缕的联系，因此甄选单元作业的内容时，应从结构化、整体化的角度出发.选取的内容既要覆盖整个单元的知识点，又要确保结构层次清晰，做到由浅入深、巧妙关联，切忌出现断崖式作业.文中提到的作业1、作业2、作业3的选取恰当地诠释了由浅层学习向深度学习的自然过渡，让学生在深度学习的过程中形成关键能力与必备品格.
3. 关注作业的评价与激励功能
深度学习的过程重在体现数学的育人价值，因此要充分发挥评价的育人导向作用.在作业评价方面，应注重作业评价方式的多样性和评价角度的多元性，以实现“以评促学”和“以评促教”.
对于作业的评价，不能只关注结果，而应贯穿学生完成作业的整个过程，包括学生的态度、正确率以及由此衍生出来的解决问题的能力等.对于优秀作业和典型性问题作业，可采用师生交流、生生交流等多元化的评价方式，通过评价激励学生，并在激励中使学生的思维得到升华.总之，高质量的单元作业设计，其内容的选取应符合“双减”背景下“减负提效”的作业要求，真正做到促进学生的深度学习，推动学生的发展，助力学生核心素养的形成.